图像的多尺度几何分析及其应用

图像的多尺度几何分析及其应用

摘要:小波分析联合时间-尺度函数分析非平稳信号，从根本上克服了Fourier分析只能以单个变量描述信号的缺点，然而小波对于信号高维奇异性的几何特征并不能够稀疏的表示。多尺度几何分析理论提供了线性奇异和面性奇异的高维函数的最优表示。本文主要综述性的介绍了多尺度几何分析的产生及发展，重点介绍了shearlet的算法，与其在边缘检分析中的应用，并展望多尺度几何分析的发展方向。

关键词：傅里叶变换，小波变换，多尺度几何分析，shearlet，边缘分析

1. 引言

生物学家对人类视觉系统的研究结果表明，人类视觉系统能自动调节以使用较少的视觉神经细胞来捕捉自然场景的本质信息，在图像表示中，如果图像的表示方法有如下的五个特性，则能达到图像的最优表示[1]:

①“多分辨率”，使图像从低分辨率到高分辨率逐步的逼近目标，即带通性；②“局域性”，在空域和频域，我们所选择的基函数必须是局部的，并且能随尺度变化；③“临界采样”，具有较低的冗余结构；

④“方向性”，用长条形的图形逼近曲线，并且使用最少的系数逼近奇异曲线；⑤“各向异性”，基的长条形结构实际上是方向性的一种体现，并且这种长条形的长度宽度比例不同，能处理图像边缘轮廓的平滑

性。

小波分析因为没有“方向性”和“各向异性”只有其它三种特点而导致不具有对具有线性奇异和面奇异特点的高维函数最稀疏的表示[2]。寻找更有效的奇函数，发展一种新的高维函数的最优表示方法势在必行，多尺度几何分析（Multiscale Geometric Analysis MGA）[3]方法便应运而生了。多尺度几何分析能满足上述图像有效表示的所有条件，在图像分析中获得了较大成功，体现出了一定的优势和潜力[4]。目前，多尺度几何分析工具主要有主要包括Ridgelet[5] ，Curvelet[6] ，Beamlet[7]，Contourlets[8] ，Directionlet[9]，Shearlet[10]等。

2．Shearlet变换

Shearlet因其良好的多分辨性和多方向分解特性，使得它可以对图像进行灵活的多分辨和多方向分解，对图像中的边缘和纹理等细节信息能给出接近最优的表示性能，是一种更为灵活的数字图像表示方法。shearlet的构造方法为[10]：

3．Shearlet变换在图像边缘中的分析

边缘检测和分析是多种图像处理和计算机可视应用程序的主要

任务。事实上，由于边缘通常是自然图像最突出的特征，因此边缘的定位对于更高级别的应用程序来说是基本的低级任务，例如形状识别、3D重现、数据增强和恢复等。

其中是某个适当选择的阈值。很显然，这种对边缘的表示方法太简单，并不能直接地转化为一种有效的边缘检测机制，这是因为图像通常会被噪声影响且微分算子对噪声极其敏感。因此，为了密切注视噪声的干扰，在大多数常见的边缘检测机制中，图像首先会被处理得平滑。例如，在经典的Canny边缘检测算法中，首先用可度量的高斯函数对图像进行卷积为

以上描述的Canny边缘检波器或小波方法的主要限制是两种方法在本质上都是各向同性的。因此，它们在处理边缘的各向异性时不是很有效率。精确地标识边缘位置是特别困难的，这是由于噪声的存在以及当几个边缘靠得太近或者彼此交叉的时候，例如三维物体的二维投影。在这些案例中，以下传统边缘检波器的局限性特别的明显：1）辨别靠近的边缘存在困难。各向同性的高斯滤波导致边缘紧

靠在一起，模糊成一条单个曲线。

2）粗劣的角度准确性。在曲率或者交叉曲线的形状突变中，各向同性的高斯滤波导致边缘方位的不精确检测。这会影响拐点和结点的检测。

Shearlet架构具有这样一种优势，即它可以提供已被证明了的数学方法来有效地描绘边缘信息。事实上，连续的shearlet变换可以通过对边缘的渐近线进行良好的缩放来精确地描述边缘的几何学信息。结果可以归纳如下。

设图像是在的分段光滑函数。也就是说，假设在上的任意处都是光滑的，除了在有限多的分段光滑曲线上以外，用Γ表示有限多的分段光滑曲线，在中可能会有跳跃不连续点。则函数的连续shearlet变换的渐近线衰减特性如下[12]：

以上这些理论表明了连续的shearlet变换精确地描述了边缘和图像的其他奇异矩阵点的几何信息。这与小波变换形成了对比，小波变

换不能提供边缘方位的任何信息。因此，shearlet对于图像的边缘方面，有着更精确地描述。

4．小结

图像的应用越来越广泛，现代科技发展了一种“新”的多维工具，能够捕捉图像几何结构特征，多尺度几何分析技术，就是根据这些要求而发展起来的新理论，其中shearlet变换在图像去噪，去模糊，边缘的定位分析方面都有着优势，但由于仍处于发展初期，有许多理论基础、应用潜能和仿真的结果证明尚待开发和完善。

参考文献：

[1]DO M N，VETTERLI M The Contourlet transform: an efficient directional multiresolution image representation［J］. IEEE Trans.on Image Processing，2005，14( 12) : 2091- 2106.

[2]宋蓓蓓. 图像的多尺度多方向变换及其应用研究[D]，西安: 西安电子科技大学，2008.

[3]邓承志. Shearlet 变换与图像处理应用[J]，南昌工程学院学报，2011.

[4]焦李成，谭山. 图像的多尺度几何分析: 回顾和展望[J].电子学报，2003，31( 12A) : 1975 －1981.

[5] E.J. Candès. Ridgelets: Theory and applications. Ph.D.

dissertation，Dept. Statistics，Stanford University，1998.

[6] J.L. Starck，E.J. Candès，D.L. Donoho. The Curvelet Transform for Image Denoising. IEEE Trans. on Image Proc.，V ol.32，Nol.11，pp.670-684，2002.

[7] D.L. Donoho，X.M. Huo. Beamlets and multiscale image analysis. In Multiscale and multiresolution methods，Lecture Notes in Computational Science and Engineering，V ol.20，pp. 149-196，2001.

[8] M.N. Do，M. Vetterli. Contourlets. Beyond Wavelets，Academic Press，2003.

[9] V. Velisavljevic，B. Beferull-Lozano，M. Vetterli，and P. L.Dragotti. Directionlets: Anisotropic multi-directional representation with separable filtering［J］，IEEE trans. on Image Processing，2006，15(7): 1916-1933.

[10] Guo K，Labate D. Optimally Sparse Multidimensional Representation using Shearlets［J］. SIAM J Math Anal，2007，39( 1) :298 －318.

[11] S. Mallat and S. Zhong，Characterization of signals from multiscale edges，IEEE Trans. Pattern Anal. Mach. Intell. 14(7) (1992)，710–732.