源于教材_高于教材

要让学生学会思考，学会选择.本节课中，通过师生一同 探索多种解题方法，让学生学会依据题目的结构特点， 合理地选择方案，有效地选取方法，体验出各种解法的 优劣，形成了思维优化的解题经验.另外，在总结和评价 中，学生亲身体会到各种解法需要的潜在数学能力和数 学素养，在各种方法的比较中，更加真切体会到自身的 不足和如何合作学习，进而明确了今后在数学学习中的 努力方向.
（上接第 30 页）
三、活学活用，方显本质
例3 证明：函数（f x）= sinx 在区间 0，π 上单调递
x
2
减.
证明：f （′ x）= cosx·x-sinx .设g（x）=cosx·x-sinx. x2
g（x）=cosx·x-sinx＜cosx·tanx-sinx=0，即f ′（x）＜0，命
题得证.
tanx.由图可知：S△AOB＜
A.sin（sinα）＜cosα＜cos（cosα）
B.sin（sinα）＞cosα＞cos（cosα）
C.sin（cosα）＞cosα＞cos（sinα）
D.sin（cosα）＜cosα＜cos（sinα）
2 坌 2 坌 解 ： 由 α ∈ 0，π ，得 cosα ∈（0，1）奂 0，π ，则
，且x＜y＜z，sin（y-x）＜y -x，
sin（z-y）＜z-y，sinx＜x，则sin（y-x）+sin（z-y）+sinx＜y-x+z-
y+x=z＜ π . 2
D 坌 训练2：证明：当x∈
0，π 2
时，tanx+sinx＞2x.
2tan x 2tan x 4tan x
证 明 ：tanx+sinx=
训练3：证明：cos222°+4cos223°＞4.
证 明 ：经变形即证明cos222°＞4sin223°，即证明cos22°
＞2sin23°，即cos22°＞
%
姨
2（cos22°
-sin22°），即证明tan22°
＞1-
%
姨
2
.
2
根据定理可知tan22°＞tan20°＞
π
＞
1
＞1-
%
姨
2
.
93
2
经典模拟试题： 已知α、β、γ是锐角三角形的三个内
角 ，且 满 足 cosα =α，sin（cosβ）=β，cos（sinγ）=γ. 试 比 较 α、
β、γ的大小
解析：利用反证法.
假设β≥α，则cosβ≤cosα，且cosβ、cosα∈
0，π 2
，则
cosα≥cosβ＞sin（cosβ），即α＞β，与假设矛盾，则假设不成
立，则β＜α.
假设γ≤α，则sinγ＜γ≤α，即sinγ＜α，且sinγ、α∈
2+
2=
2＞
1-tan2 x 1+tan2 x 1-tan4 x
2
2
2
4tan x ＞2x. 2
经 典 模 拟 试 题 ：在锐角三角形中，求证：sinA+sinB+
sinC+tanA+tanB+tanC＞2π.
证明： 由训练2可知tanA+sinA＞2A，tanB+sinB＞2B，
tanC+sinC＞2C，则sinA+sinB+sinC+tanA+tanB+tanC＞2（A+
B+C）=2π.
（下转第 47 页）
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高中版
2014 年 4 月
教育纵横
数坛 在线
方程、数形结合、等价转化与化归、分类讨论与整体等数 学思想方法，使学生的思维在灵活性、广阔性、深刻性、 创新性等方面得到了充分的锻炼.
2.解题教学要有效实现课堂的教学高效 数学是思维型学科，数学教学是一个既要“结果”， 更要“过程”的思维教学“. 讲解题，不讲怎样解题”，“讲 解法，不讲如何想到解法”，最后沦落为“解法若干加技 巧若干”的灌输式教学模式，只会给学生加重学习负担， 禁锢学生的思维形成与发展.本节课我们依照波利亚的 解题理论，引导学生主动从拟定解题方案开始，到独立 寻找问题的解答，充分放手让学生独立思考，自主实践， 既充分调动学生学习的积极性，又给予了学生集思广 益，互相学习的机会.实现了高效课堂的构建模式. 3.解题教学要积极促进学生的情感体验 波利亚说：“数学问题的解决仅仅只是一半，而重要 的是解题后的回顾与反思”. 我们解题教学的目的就是
的 关 系 . 本 文 举 例 说 明 该 三 角 不 等 式 在 数 学 竞 赛 、高 考
模拟卷中的一些运用.
定理：若0＜x＜ π ，则sinx＜x＜tanx. 2
证明：如图，在单位圆中，记∠AOB=x，0＜x＜ π ，则有 2
S△AOB=
1 2
sinx，S扇形OAB=
1 2
x，S△OBC=
1 2
教材 教法
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2014 年 4 月
源于教材，高于教材
筅江苏省扬中市新坝中学 张兆伟
在高中数学人教B版教材必修4单位圆与三角函数
经典模拟试题： 设α是锐角三角形的一个内角，则
线一节中，课本思考与讨论中出现结论sinx＜x＜tanx，x∈ （ ）.
2 2 0，π 2
，这个不等式揭示了锐角x的弧度数与sinx、tanx
0，π ，则cos（sinγ）＞cosα，即γ＞α，与假设矛盾，则假设 2
不成立，所以α＜γ.
综上所述，β＜α＜γ.
教材是一座宝藏，里面蕴含着取之不尽、用之不竭
的资源.研究教材，吃透教材，整合教材，开发教材，才是
从容应对各类试题最有效的方法与策略.对中学一线教
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
师而言，教材的使用不仅仅要求教师按部就班地传授书
2
2
2
2
2
4
例1 证明sin20°＜ 7 （. 第12届全俄数学竞赛试题） 20
证明：sin20°=sin π ＜ π ＜ 7 ，则该不等式成立. 9 9 20
2 坌 训练1：坌x、y、z∈ 0，π ，且x＜y＜z，证明：sin（y-x）+ 2
sin（z-y）+sinx＜ π . 2
2 坌 证 明 ：坌x、y、z∈ 0，π 2
参考文献： 1. 波 利 亚 . 怎 样 解 题 ［M］. 阎 育 苏 ， 译 . 北 京 ： 科 学 出 版 社，1982. 2.陈光建，郑日锋.一花一世界 一题一天地［J］.中小 学 数 学 （高 中 ），2013（4）. 3.李 红 春.平 中 见 奇 凡 而 不 俗 ［J］. 中 学 数 学 （ 上 ）， 2012（4）. FH
例2 设0＜x＜ π ，证明sinx＞x- x3 （. 第三届希望杯邀
2
4
请赛）
证 明 ：当0＜x＜ π 时，sinx=2sin x ·cos x =2tan x ·
2
2
2
2
一、本色出演，原汁原味
2 坌 % 2 坌D cos2 x =2tan x · 1-sin2 x ＞2· x · 1- x %2 =x- x3 .
2
2
2 坌 2 坌 sin（cosα）＜cosα.由α∈
0，π 2
，得 sinα ＜α. 又 α ∈
0，π 2
时，y=cosx为减函数，则cosα＜cos（sinα）.
S扇形OAB＜S△OBC，即
1 2
sinx＜
1 2
x＜
1 2
tanx，则sinx＜x＜tanx.
二、强强联手，变形半角
y AC
O
Bx
本上的知识，而且要求教师有意识地让教材中隐性的数
学知识以及解决数学问题的数学经验、数学思维显性
化.源于教材，高于教材，让教材更好地服务于教学工作.
参考文献：
1. 武 增 明 . 用 sinx≤x≤tanx 巧 解 三 角 竞 赛 题 ［J］. 中 学
数学月刊，2006（9）. WG
高中版
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