数学建模竞赛中部分优化问题

4米1根 6米1根
8米1根
余料1米
4米1根 6米1根
6米1根
余料3米
8米1根
8米1根
余料3米
合理切割模式的余料应小于客户需要钢管的最小尺寸
钢管下料问题
模式
1 4米钢管根数
6米钢管根合数 理切8割米钢模管式根数
1
4
0
0
2
3
1
0
3
2
0
1
4
1
2
0
5
1
1
1
6
0
3
0
7
0
0
2
建模实例与求解
余料(米) 3 1 3 3 1 1 3
为满足客户需要，按照哪些种合理模式，每种模式
切割多少根原料钢管，最为节省？
两种 标准
1. 原料钢管剩余总余量最小 2. 所用原料钢管总根数最少
决策变量
建模实例与求解
xi ~按第i 种模式切割的原料钢管根数(i=1,2,…7)
目标1（总余量） M Z 1 3 x 1 i x 2 n 3 x 3 3 x 4 x 5 x 6 3 x 7
ij
ij
模型求解
飞行管理问题
建模实例与求解
Ｔij=Ｔmax，这实际上强化了问题的要求，即考 虑了有些飞机可能已经飞出区域，但仍不允 许两架飞机的距离小于８Km
这个简化的模型可以输入LINGO软件演示：
CUMCM-1995Aa.lg4 结果：CUMCM-1995A-a.txt
客户需求
钢管下料
建模实例与求解
1.000000 1.000000 1.000000
飞行管理问题
建模实例与求解
在约10,000米高空的某边长160公里的正方形区域内, 经常有若干架 飞机作水平飞行。区域内每架飞机的位置和速度均由计算机记录其
数据，以便进行飞行管理。当一架欲进入该区域的飞机到达区域边
缘, 记录其数据后，要立即计算并判断是否会与区域内的飞机发生 碰撞。如果会碰撞，则应计算如何调整各架(包括新进入的)飞机飞 行方向角，以避免碰撞。现假定条件如下: 1. 1)不碰撞的标准为任意两架飞机的距离大于8公里; 2. 2) 飞机飞行方向角调整的幅度不应超过30度; 3. 3) 所有飞机飞行速度均为每小时800公里; 4. 4) 进入该区域的飞机在到达区域边缘时, 与区域内飞机的距离应
➢这是一个函数方程，用LINGO可以方便的解决。
最短路问题LINGO源程序(shorttest.lg4)
计算的部分结果为：
Feasible solution found at iteration: 0
Variable
Value
N 10.00000
F( 1) 17.00000
F( 2) 11.00000
模型１及求解
模型的建立
飞行管理问题
建模实例与求解
飞行管理问题
建模实例与求解
飞行管理问题
建模实例与求解
飞行管理问题
建模实例与求解
min
6
|
i|2
i1
(13)
s.t. |i| 300
(14)
f T ( )0
ij
ij
(15)
b 4c b t T 2 0(当 0且0 * ) (16)
ij
ij
ij
原料钢管:每根19米
4米50根
6米20根
8米15根
问题1. 如何下料最节省 ? 节省的标准是什么？
问题2. 客户增加需求：
5米10根
由于采用不同切割模式太多，会增加生产和管理成本， 规定切割模式不能超过3种。如何下料最节省？
建模实例与求解
钢管下料
切割模式 按照客户需要在一根原料钢管上安排切割的一种组合。
飞行管理问题
建模实例与求解
飞机编号 1 2 3 4 5 新进入
横座标x 150 85 150 145 130 0
纵座标y 140 85 155 50 150 0
方向角(度) 243 236 220.5 159 230 52
注: 方向角指飞行方向与x轴正向的夹角。试根据 实际应用背景对你的模型进行评价与推广。
70
需 50 求
0 20
23 15
其余为0； 最优值：27
按模式2切割12根,按模式5切割15根，余料27米
建模实例与求解
钢管下料问题1
目标2（总根数） M Z 2 x 1 i x 2 n x 3 x 4 x 5 x 6 x 7
约束条 件不变
4 x 1 3 x 2 2 x 3Leabharlann Baidux 4 x 5 50 最优解：x2=15,
在60公里以上; 5. 5) 最多需考虑6架飞机; 6. 6) 不必考虑飞机离开此区域后的状况。 7. 请你对这个避免碰撞的飞行管理问题建立数学模型，列出计算步 8. 骤，对以下数据进行计算(方向角误差不超过0.01度)，要求飞机
飞
9. 行方向角调整的幅度尽量小。设该区域4个顶点的座标为(0,0)，
模 4米 6米 8米 余 式 根数 根数 根数 料
14
0
03
约束 满足需求
4 x 1 3 x 2 2 x 3 x 4 x 5 50
23
1
0 1 x2 2 x4x 5 3 x620
32
0
1 3 x3x52x715
41 51
2 1
0 1
3 1
整数约束： xi 为整数
60
3
0 1 最优解：x2=12, x5=15,
P( 2, 4) P( 2, 5) P( 2, 6) P( 3, 4) P( 3, 5) P( 3, 6) P( 4, 7) P( 4, 8) P( 5, 7) P( 5, 8) P( 5, 9) P( 6, 8) P( 6, 9) P( 7, 10) P( 8, 10) P( 9, 10)
1.000000 0.000000 0.000000 1.000000 0.000000 0.000000 0.000000 1.000000 1.000000 0.000000 0.000000 1.000000 0.000000
F( 3) 15.00000
F( 4) 8.000000
F( 5) 13.00000
F( 6) 11.00000
F( 7) 5.000000
F( 8) 7.000000
F( 9) 9.000000
F( 10) 0.000000
P( 1, 2) 1.000000
P( 1, 3) 0.000000
建模实例与求解
建模实例与求解
➢ 最短路问题 ➢ 飞行管理问题 ➢ 下料问题 ➢ 露天矿的运输问题 ➢ 钢管运输问题
建模实例与求解
最短路问题
建模实例与求解
建模实例与求解
最短路问题
➢ 定义 f (i) 是由pi 点出发至终点p N 的最短路 程，由最优化原理可得 f(i) m j { c iij n f(j)}i ,1 ,2 , ,N 1 f(N ) 0
x 2 2 x 4 x 5 3 x 6 20 x5=5, x7=5,