高等数学不定积分的计算教学ppt

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第四章 不定积分
3x
第一节 不定积分的计算
1 u 1 u 1 3x e dx 3 e d(3 x ) 令u 3 x 3 e du 3 e C
1 3x u回代 e C 3
将上例的解法一般化: 设Fra Baidu bibliotekF ( u) f ( u), 则
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第四章 不定积分
第一节 不定积分的计算
常用的凑微分形式有: dx 1 1 2 2d( x ); dx d ax b ; xdx d( x ); a 2 x 1 1 1 1 dx d( ); dx d(a ln x b); 2 x x x a 1 ax e x dx d(e x ); e dx d(e ax ); a cos xdx d(sin x ); sin xdx d(cos x );
第四章 不定积分
第一节 不定积分的计算
1 5 令u=2x 3 u du 2 1 1 6 1 u C u回代 (2 x 3)6 C . 2 6 12

1 f (ax b)dx f (ax b)d(ax b). a
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例6 计算
(2 arctan x )2 1 x 2 dx .
1 dx d(arctan x ) 2 1 x

1 f (arctan x ) dx f (arctan x )d(arctan x ) 2 1 x
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第四章 不定积分
第一节 不定积分的计算
2、被积函数中, 其中一部分函数“正好”是另一部 分函数的导数。 1 1 2 ln x dx d(ln x ) dx 例4 计算 x x
1 原式 (1 2ln x ) dx (1 2ln x )d(ln x ) x 1 1 (1 2ln x )d(1 2ln x) 令u=1-2lnx udu 2 2 1 1 1 2 1 2 2 u 回代 (1 2ln x ) C. u C u C 4 2 2 4 1 f (ln x) x dx f (ln x)d(ln x).
f (x
n
)x
n 1
1 dx f ( x n )d ( x n ). n
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第四章 不定积分
第一节 不定积分的计算
2 被积函数中, 其中一部分函数“正好”是另一部分 函数的导数. 1 1 2 ln x dx d(ln x ) dx 例4 计算 x x
f (cos x )sin xdx f (cos x )d(cos x ), f (sin x )cos xdx f (sin x )d(sin x )
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第四章 不定积分
第一节 不定积分的计算
tan xdx ln cos x C; cot xdx ln sin x C;
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第四章 不定积分
第一节 不定积分的计算
dx 例7 计算（） 1 (a 0); （） 2 2 ; 2 2 2 a x a x dx dx a2 x2 a2 x2 1 1 dx dx x 2 2 x 2 a 1 ( ) a 1 ( )dx x a a arcsin C ; 2 2 1 a 1 x 1 a x x d( ) d( ) x 2 a 2 a dx 1 x a ( C); x2 2 arctan1 1 a a x a a a 1 x arctan C ; x a a arcsin C ; a Nanjing College of Information and Technology
如果 u ( x )（可微） du d( ( x )) ( x )dx
f (u)du F (u) C .

f [ ( x )] ( x )dx = f [ ( x )]d ( ( x )) 令u ( x ) f ( u)du F ( u) C F ( ( x )) C
——换元法积分公式
将上述作法总结成定理, 使之合法化, 可得
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第四章 不定积分
第一节 不定积分的计算
定理4.2.1 函数, 那么
设f(u)具有原函数F(u) , (u)是连续
f [ ( x)] ( x)dx F[ ( x)] C .
第一节 不定积分的计算
例3 计算 (1) x e dx;
3 x4
(2) x 2 ( x 3 1)10 dx .
10
1 11 u du u C 11 1 1 令u=x 3 1 u10du u11 C 3 33 1 3 u回代 ( x 1)11 C . 33
1 3 10 3 ( x 1) d( x 1) (2)原式 3
u u e d u e C
1 x4 4 e d x (1) 原式 4
4 1 x 1 1 令u=x 4 e udu e u C u回代 4 e C ; 4 4
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第四章 不定积分
第四章 不定积分
第一节 不定积分的计算
dx 例7 计算（） 1 (a 0); （） 2 2 ; 2 a x a2 x2 dx x a 2 x 2 arcsin a C ;
dx 1 x a 2 x 2 a arctan a C ;
dx
3 tan xdx;(4) cot xdx; 例7 计算 （）
2

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第四章 不定积分
第一节 不定积分的计算
第一类换元积分法（凑微分法）是一种非常有效
的积分法。首先，必须熟悉基本积分公式，对积分公 式应广义地理解，如对公式 1 dx ln | x | c ，应理解 x 1 为 du ln | u | c ,其中u可以是x的任一可微函数; 其 u 次，应熟悉微分运算，针对具体的积分要选准某个基 本积分公式，凑微分使其变量一致.
d[ ( x )]
使用此公式关键在于将要求的积分 g( x )dx
转化为 f [ ( x )] ( x )dx
g( x )dx f [ ( x )] ( x )dx f [ ( x )]d ( x ) f ( u)du F ( u) C F [ ( x )] C .
第四章 不定积分
第一节 不定积分的计算
解决方法
利用复合函数的中间变量, 进行换元 .
1 sin10 xdx 10 sin10 xd 10 x 1 1 令u 10 x sin udu cos u C 10 10
1 u回代 cos10 x C . 10 1 [ cos10 x C ] sin10 x 说明结果正确 10
例2 计算 (2 x 3) dx .
5
5
1 6 u du 6 u C
5
1 解: 原式 (2 x 3) d(2 x 3) 2 1 (2 x 3)5 d(2 x 3) 2 Nanjing College of Information and Technology
第四章 不定积分
第一节 不定积分的计算
第四章
不定积分
第一节 不定积分的概念
第二节 不定积分的计算
第四章 不定积分
第一节 不定积分的计算
第一节
本节主要内容:
不定积分的概念
一.换元积分法
(一) 第一类换元积分法 (二) 第二类换元积分法
二.分部积分法
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第四章 不定积分
第一节 不定积分的计算
Ⅱ. 被积函数是两个函数乘积形式 1. 被积函数中含有两个多项式, 其中一个多项式的 次数比另一个多项式的次数高一次，设高一次的多 项式为中间变量，目的是约去另一个因式. 例3 计算
(1) x e dx;
3 x4
(2) x 2 ( x 3 1)10 dx .

1 f (ln x ) dx f (ln x )d(ln x ). x
6 sin x cos xdx 例5 计算
sin xdx d(cos x )
f (cos x )sin xdx f (cos x )d(cos x ), f (sin x )cos xdx f (sin x )d(sin x )
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第四章 不定积分
第一节 不定积分的计算
我们总结出凑微分法求不定积分的情况如下: Ⅰ. 被积函数是一个复合函数
与公式作对比, 公式中自变量x变成了ax+b的形式, 这时设ax+b为中间变量， dx 1 d(ax b) a
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第一节 不定积分的计算
例5 计算 sin x cos 6 xdx
sin xdx d(cos x )
原式 cos6 xd(cos x ) u6du
1 7 1 u C cos7 x C . 7 7
sec x tan xdx d(sec x ); csc x cot xdx d(csc x ).
sec2 xdx d(tan x );
dx 1 x
2
csc2 xdx d(cot x );
dx d(arctan x ); 2 1 x
d(arcsin x );
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第四章 不定积分
第一节 不定积分的计算
(2 arctan x )2 dx . 例6 计算 2 1 x
原式
2
1 dx d(arctan x ) 2 1 x
1 (2 arctan x ) dx 2 1 x
(2 arctan x )2 d(arctan x ) (2 arctan x ) d(2 arctan x ) 1 (2 arctan x )3 C 3 1 f (arctan x ) dx f (arctan x )d(arctan x ) 2 1 x
第四章 不定积分
第一节 不定积分的计算
一.换元积分法
(一) 第一类换元积分法(凑微分法)
引例 :
cos10 xdx ? cos10 xdx sin10 x C
3x e dx ? 3x 3x e dx e c
求导数验证结果
求导数验证结果
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