递推关系

递推关系
递归公式是用它自身来定义的一个公式，我们习惯称之为递推关系或递推式。

如正奇数序列可以用递推式描述为：
f(n)=f(n-1)+2, n>1 且f(1)=1
当n为很大的值时，直接用递推来计算f(n)会很麻烦，所以希望能够用一种封闭的式子来描述这个序列，从它入手可以直接计算f(n)。

如果找到这样一种封闭的式子，则称递推式已经解出。

下面的内容给出了求解基本的递推式的一些方法。

递推关系如果具有如下这种形式，则称为常系数线性齐次递推式：
f(n)=a1f(n-1)+a2f(n-2)+…+a k f(n-k)
这里f(n)称为k次的。

当一个附加项包括常数或者n的函数出现在递推中，那么它就称为非齐次的。

一、线性齐次递推式的求解
令
f(n)=a1f(n-1)+a2f(n-2)+…+a k f(n-k)
的一般解含有f(n)=x n形式的特解的和。

用x n来代替上式中的f(n)，得到：
x n =a1x n-1+a2 x n-2 +…+a k x n-k
两边同时除以x n-k得到：
x k =a1x k-1+a2 x k-2 +…+a k
或者写成
x k -a1x k-1-a2 x k-2 -…-a k =0
以上两等式都称为原递推关系的特征方程。

下面我们只限于一阶和二阶的线性递推关系。

一阶齐次递推方程的解可以直接得到，令f(n)=af(n-1)，假定递推序列从f(0)开始，由于
f(n)=af(n-1)=a2f(n-2)=…=a n f(0)
所以f(n)=a n f(0)是递推的解。

如果递推的次数是2，那么特征方程变为x2-a1x-a2=0,令这个二次方程的根是r1和r2，递推的解是：
f(n)=c1r1n+c2r2n(r1≠r2)
f(n)=c1r n+c2nr n(r1=r2)
代入序列初始的值f(n0)和f(n0+1)解方程得到c1和c2的值。

例1序列1,4,64,256,…可以用递推关系表示为f(n)=3f(n-1)+4f(n-2)，且f(0)=1,f(1)=4，求此
递推式的解。

解：原递推式的特征方程是x2-3x-4=0，解此方程得到两个根r1=-1,r2=4
递推的解是f(n)=c1(-1)n+c24n，为求出c1,c2的值，代入f(0)和f(1)，得到
1=c1+c2
4=-c1+4c2
解此方程组得c1=0 c2=1，所以f(n)=4n。

例2f(n)=2f(n-1)-f(n-2), f(0)=1, f(1)=3。

解：原递推式的特征方程为x2-2x+1=0,它的两个相同的根为1，所以此递推关系的解为f(n)=C1*1n+c2*n*1n=c1+nc2.
代入f(0)与f(1)有：
c1=1 c2=2
所以f(n)=1+2n
例3f(n)=f(n-1)+f(n-2), f(0)=0, f(1)=1。

(斐波那契数列)
解：原递推式的特征方程为x2-x-1=0，方程的两个根为(1+√5 )/2和(1-√5 )/2，所以递推式的解为f(n)=c1*((1+√5 )/2)n+c2*((1-√5 )/2)n。

代入f(0)与f(1)得到
C1+C2=0
C1*(1+√5 )/2+C2*(1-√5 )/2=1
解此方程组得C1=1/√5 C2=-1/√5
所以f(n)= ((1+√5 )/2)n /√5-((1-√5 )/2)n /√5
（补充说明：(1+√5 )/2=1.618……，(1-√5 )/2=-0.618……
平常计算斐波那契数列时可以忽略后项，取前项的最近整数。

Pascal语言表达式为Round(((1+√5 )/2)**n/√5)
其中round为四舍五入，**为乘方。

）
二、非齐次递推关系的解
一般来说，没有容易且通用的办法来处理非齐次递推关系，这里只列出几种简单的非递推关系的求解。

1．f(n)=f(n-1)+g(n), n>=1。

其中g(n)是另外一个序列，它的解是：f(n)=f(0)+∑g(i)
(其中∑表示累加，i=1,2,…n下同)。

2．f(n)=g(n).f(n-1)，n>=1
它的解是：f(n)=f(0)*∏g(i) (其是∏表示累乘)
3．f(n)=g(n).f(n-1)+h(n)，n>=1
其中h(n)又是一个新序列，定义一个新函数f’(n)如下，令
f(n)=∏g(i)*f’(n), n>=1,f’(0)=f(0)
将原递推式中f(n)和f(n-1)代入相应式子，得到
∏g(i)*f’(n)=g(n)*(g(n-1)*g(n-2)*….*g(1)*f’(n-1))+h(n)
它简化为
f’(n)=f ’(n-1)+h(n)/∏g(i)，n>=1
所以f’(n)=f ’(0)+∑(h(i)/∏g(i)) ，n>=1
得出原递推关系的解是：
f(n)=∏g(i)*( f(0)+∑(h(i)/∏g(i) ) ，n>=1
例4求解递推关系f(n)=n.f(n-1)+n!，n>=1,f(0)=0。

解：令f(n)=n!*f’(n)，f’(0)=f(0)=0，那么
f’(n)=n(n-1)!f’(n-1)+n!
简化为：f’(n)=f’(n-1)+1
它的解是f’(n)=f’(0)+∑1=n
所以f(n)=n!*f’(n)=n*n!
例5求解递推关系f(n)=2f(n-1)+n，n>=1，f(0)=0。

解：令f(n)=2n f’(n), f’(0)=f(0)=0, 那么2n f’(n)=2(2n-1f’(n-1))+n
f’(n)=f’(n-1)+n/2n它的解是f’(n)=f’(0)+∑(i/2i)
由f’(0)=f(0)=0得到f(n)=2n f’(n)=2n∑(i/2i)=2n(2-(n+2)/2n)=2n+1-n-2
练习
求解下列递推关系
1．f(n)=3f(n-1) ,当n>=1；f(0)=5；
2．f(n)=2f(n-1) ,当n>=1；f(0)=2；
3．f(n)=5f(n-1) ,当n>=1；f(0)=1；
4．f(n)=5f(n-1)-6f(n-2) ,当n>=2；f(0)=1,f(1)=0；
5．f(n)=4f(n-1)-4f(n-2) ,当n>=2；f(0)=6,f(1)=8;
6．f(n)=6f(n-1)-8f(n-2) ,当n>=2；f(0)=1,f(1)=0
7．f(n)=-6f(n-1)-9f(n-2) ,当n>=2；f(0)=3,f(1)= -3
8．2f(n)=7f(n-1)-3f(n-2) ,当n>=2；f(0)=1,f(1)=1
9．f(n)=f(n-2) ,当n>=1；f(0)=1
10．f(n)=f(n-1)+n2,当n>=1；f(0)=0
11．f(n)=2f(n-1)+n ,当n>=1；f(0)=1
12．f(n)=3f(n-1)+2n,当n>=1；f(0)=3
/view/1490645.htm同余定理
/view/124599.htm费马大定理
/view/263807.htm费马小定理。