线性代数知识点归纳同济 第五版

线性代数复习要点

第一部分 行列式

1. 排列的逆序数

2. 行列式按行（列）展开法则

3. 行列式的性质及行列式的计算

1. 行列式的计算：

① (定义法)12121211

12121222()

1212()n n n

n n

j j j n j j nj j j j n n nn

a a a a a a D a a a a a a τ=

=-∑

L

L L

L L M M M L

1

②（降阶法）行列式按行（列）展开定理：

行列式等于它的任一行（列）的各元素与其对应的代数余子式的乘积之和. 推论：行列式某一行（列）的元素与另一行（列）的对应元素的代数余子式乘积之和等于零.

③ (化为三角型行列式)上三角、下三角、主对角行列式等于主对角线上元素的乘积.

④ 若A B 与都是方阵（不必同阶）,则

==()mn A O A A O

A B O B O B B O A A

A B B O B O

*==**=-1

例 计算

2-100-1

300001100-25

解

2-100

-1

30000110

-2

5

=2-1115735-13-25⋅=⨯= ⑤ 关于副对角线：

(1)

2

1121

21

1211

1()n n n

n

n n n n n n n a O

a a a a a a a O

a O

---*

==-K N

N 1

⑥ 范德蒙德行列式：()1

2

2

22

12

11

11

12n

i

j

n

j i n

n n n n

x x x x x x x x x x x ≤<≤---=-∏L L L

M M

M

L

111

例 计算行列式

⑦ a b -型公式：1

[(1)]()n a b b b b a b b

a n

b a b b b a b b b b a

-=+--L L L

M M M O M L

⑧ (升阶法)在原行列式中增加一行一列，保持原行列式不变的方法.

⑨ (递推公式法) 对n 阶行列式n D 找出n D 与1n D -或1n D -,2n D -之间的一种关系——称为递推公式，其中

n D ,1n D -,2n D -等结构相同，再由递推公式求出n D 的方法称为递推公式法. (拆分法) 把某一行（或列）的元素写成两数和的形式，再利用行列式的性质将原行列式写成两行列式之和，

使问题简化以例计算. ⑩ (数学归纳法) 2. 对于n 阶行列式A

，恒有：1

(1)n

n

k n k

k k E A S λλ

λ-=-=+-∑，其中k S 为k 阶主子式；

3. 证明

0A =的方法：

①、A A =-； ②、反证法；

③、构造齐次方程组0Ax =，证明其有非零解； ④、利用秩，证明()r A n <； ⑤、证明0是其特征值.

4. 代数余子式和余子式的关系：(1)(1)i j i j ij ij

ij ij M A A M ++=-=-

第二部分 矩阵

1. 矩阵的运算性质

2. 矩阵求逆

3. 矩阵的秩的性质

4. 矩阵方程的求解

1. 矩阵的定义 由m n ⨯个数排成的m 行n 列的表111212122212n n m m mn a a a a a a A a a a ⎛⎫

⎪ ⎪

=

⎪

⎪⎝⎭

L L M M M L

称为m n ⨯矩阵. 记作：()ij m n A a ⨯=或m n A ⨯

① 同型矩阵：两个矩阵的行数相等、列数也相等. ② 矩阵相等: 两个矩阵同型，且对应元素相等. ③ 矩阵运算

a. 矩阵加（减）法：两个同型矩阵，对应元素相加（减）.

b. 数与矩阵相乘：数λ与矩阵A 的乘积记作A λ 或A λ，规定为()ij A a λλ=.

c. 矩阵与矩阵相乘：设()ij m s A a ⨯=, ()ij s n B b ⨯=,则()ij m n C AB c ⨯==， 其中

注：矩阵乘法不满足：交换律、消去律, 即公式00AB BA

AB A ==⇒=或B=0

不成立.

a.

分块对角阵

相

乘

：

11

11

2222,A B A B A B ⎛⎫⎛⎫

== ⎪ ⎪

⎝

⎭⎝⎭⇒11112222A B AB A B ⎛⎫= ⎪⎝⎭,1122n

n

n A A A ⎛⎫= ⎪⎝

⎭

b. 用对角矩阵Λ○左乘一个矩阵,相当于用Λ的对角线上的各元素依次乘此矩阵的○行向量；

c. 用对角矩阵Λ○右乘一个矩阵,相当于用Λ的对角线上的各元素依次乘此矩阵的○列向量.

d. 两个同阶对角矩阵相乘只用把对角线上的对应元素相乘.