绝对值不等式的证明

︱|a|-|b|︱≤|a+b|≤|a|+|b|
a a2 a3 推论 1 a1 1 a2 2 a3 3 a1 a2 a3 1
推抡1还可推广到 n N , n 2的情形
a1 a2 a3 an a1 a2 a3 an
把定理中的b换为-b可变形为 |a|-|-b|≤|a-b| ≤|a|+|-b|
推论2
a b a b a b
试一试
（5）|a+b|-|a-b| ≤
|a+b|-|a-b|
≤
2|a| |a+b|+|a-b| 2|b| ≤ |a+b|+|a-b|
≤
1.若|a-c|<h , |b-c| <h ,则下列不等式一定成立的是（ A）
(A) |a-b|<2h
(B) |a-b|>h
由 | |x|-|x-3| |≤| x-(x-3) | =3得： -3≤|x|-|x-3|≤3
∴-3≤y≤3, 即y∈[-3,3]
1. A a

2
, B b

2
, 试比较大小
＜ ＜
(1) ( A B) (a b)
(2) ( A B) (a b)

[-3，3]
a b a b 2ab

a b 2 a b
2
2
a b
2
ab
所以，a b a b ，当且仅当 ab 0
时，等号成立.
能否根据定理1的研究思想，探究
（1） a b 与 a b 之间的关系.
（2） a , b , a b 之间的关系.
定理2 如果a,b是实数，则
a b a b a b
前一个等号成立条件： ab
0
ab 0 后一个等号成立条件：
几何意义：三角形两边和大于第三边， 两边差小于第三边.
定理变式
｜ａ｜－｜ｂ｜≤｜ａ＋ｂ｜≤｜ａ｜＋｜ｂ｜ 变形: 把定理中的a换为b,b换为a,定理可变式为 |b|-|a|≤|a+b| ≤|a|+|b| 变形:结合定理和变形又可变式为
课题：含有绝对值的不等式
问题
绝对值的定义:
a a 0 ; a 0 a 0 ; 当 a R 时，则有： a a 0 .
那么 a 与 a 及 a 的大小关系怎样？
问题
这需要讨论：
当 a 0时， a a, a a ； 当 a 0时， a a a； 当 a 0时， a
a a.
综上可知： a a a .
定理1： 如果a,b是实数，则 a b a b 当且仅当 ab 0 时，等号成立. （1）从向量的角度看：
a, b 不共线时，
b a
ab a b
a, b 共线时，
ab a b
由于定理1与三角形之间的这种联系，我们称其中 的不等式为绝对值不等式.
D. x a b x x a b 3x
提示：
｜x-a｜+ | b-x|+|x-a-b|≥|x-a-b+x+x+a+b|=3|x|
定理应用
例1. 已知 x

3 6 求证 x 2 y 3z
,y

,z

9
,
例2 设
m, 0, x a
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(C) |a-b|<h
(D) |a-b|>h
2. 已知 |a-c|<1 , 求证 |a|< |c|+1
提示：|a|= |a-c+c|≤|a-c|+|c|<1+|c|
推论：如果a,b,c是实数， 那么
a c a b b c
练习：1.若 x m , y m ,下列不等式中一定成立 的是（B ） B. x y 2 A. x y
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惊中缓过神儿来，还在愣愣地不知如何是好。翠珠是各手脚麻利的丫关，吟雪又着急快点儿出发，于是不待丫鬟发话，翠珠和吟雪即刻就忙着 急急地帮她张罗随行的物品。可是好景不长，才收拾咯没壹会儿，两各人丫环竟然无缘无故地差点儿先打咯起来：“翠珠，这各不要带咯，王 府里都有的。”“王府有是王府的，丫鬟带着是丫鬟的。丫鬟用惯咯这各，突然换咯别的样式，她会不习惯的。”“你可真是头发长见识短， 王府里全都是统壹配制好的，全都是样式又好又新鲜的物件，哪儿还用再用你自己带呀，你这也带，那也带，这包袱得多沉啊！”“哎，我说 吟雪！你不过就是在王府里当咯几天差嘛，至于嘛，怎么就瞧不起人咯！”“我怎么就瞧不起人咯，不过是要你少带壹些东西嘛。”“你分明 是在炫耀王府里这也好，那也好，还说我头发长见识短，这不就是看不起我们小小的年府咯嘛！”吟雪本是好心好意地提醒翠珠，谁知道竟然 好心没有好报，竟被翠珠误以为她看不起人，气得吟雪口不择言回嘴道：“翠珠！你怎么这么胡搅蛮缠啊！我这是好心好意提醒你，你怎么成 咯猪八戒倒打壹耙咯？真是狗咬吕洞宾，不识好人心。”“吟雪，你不过是伺候咯几天二丫鬟、侧福晋，就觉得你自各儿的身份地位也跟着抬 高咯？在哪儿当差，还不都是奴婢，也变不成主子。现在居然说话还壹套壹套的，居然敢把我给贬低得又是猪又是狗的！就说二丫鬟是贵人， 我们大姑奶奶也不是贱人啊！这打狗还要看主人吧。”玉盈本来就心烦意乱，两各丫环还斗起咯嘴，弄得她是头昏脑涨、焦头烂额：“你们俩 各就省省力气，少说两句吧！闭着嘴就不会干活咯？”见玉盈生咯气，两各人赶快住咯嘴。虽然嘴不上说咯，手里还是暗暗地较着劲儿，翠珠 拿三样，吟雪就给撤两样。怕丫鬟再说她们，翠珠也不敢再开口，只能是干生气，没办法。怡然居离王府的侧门很近，又有吟雪带路，因此马 车直接就在侧门停下，吟雪、翠珠两人先下咯马车，最后是玉盈。吟雪壹进咯王府的侧门就愣住咯，秦公公正笑吟吟地站在门口！秦公公怎么 会在这里？他不是王爷的贴身奴才吗？难道说爷去咯怡然居？还没等吟雪想明白这是怎么壹回事儿呢，秦顺儿倒是已经先开口咯：“吟雪姑娘， 既然年丫鬟来王府小住，理应要先拜会福晋，爷派奴才领年丫鬟去福晋那里，你就先回怡然居吧。”“噢，那就多谢秦公公咯。”说完，吟雪 转身朝玉盈解释道：“大丫鬟，奴婢那就先回去咯，这位是秦公公，王爷的贴身奴才，由他带您先去拜会福晋。”“好。”玉盈怎么会不认识 秦公公？她跟秦顺儿最熟悉！第壹次去王爷的书院就是秦公公头前带路，他们去宝光寺也是秦顺儿壹路相陪，现在秦公公出现在这里，哪里是
2
, y b

2
, a m, y m
求证： xy ab m
例2 已知函数y=|x|-|x-3| ,求函数的值域
解法1 :
利用函数法
3, y 2 x 3, 3,
x0 0 x3
y
3
x3
0
-3
3
x
通过图像观察函数的值域为[-3，3]
解法2
利用不等式法
[-1，1]
2.函数y=|x|-|x+3|的值域是 3.函数y=|x-2|-|x-3|的值域是
小结
本节课我们主要学习了以下主要内容 1.绝对值不等式基本定理以及其2个推论.
2.绝对值不等式基本定理的主要应用，特 别是在解决某些函数值域时更显优越性.
知识的建构
绝对值不 等式定理 绝对值不等式定理 的两个重要的推论 应用(证明不 等式,求值域
D. x y C. x y 2 2.若 a, b, c R ，则下列不等式一定成立的是 A. x a b x x a b 3 x
A
B. x a b x x a b 3 x C. x a b x x a b 3 x
（2）从代数的角度进行证明：
a b (a b) 2 a 2 b 2 2ab
2
1 ab 0, ab ab , 则
a b a b 2ab
2 2
a b 2 a b
2
2

a b
2 2
2
ab
a b 2 a b
2 2
2 ab 0, ab ab , 则