高考数学反函数利用函数图象解题
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反函数、利用函数图象解题
一. 教学内容：
反函数、利用函数图象解题
二. 重点、难点 1. 求反函数
（1）判断是否有反函数
（2）将0)(=-y x f 看成关于x 的方程，y 为参数，解出)(1
y f x -=
（3）写成习惯形式)(1
x f
y -=，注明定义域
2. 图象
（1）基本函数的图象 （2）函数图象的平移
（3）含绝对值的函数图象的画法
【典型例题】
[例1] 求下列函数反函数
（1）
122+=x
x
y （2）)2(log 32++=x y （3）196--+=x x y 答案：
（1）122+=x x y x
x y y 22=+⋅ y y x =-)1(2 y y x
-=12
y y x -=1log 2 ∴
x x
x f y -==-1log )(2
1 )1,0(∈x
（2）)2(log 32++=x y )2(log 32+=-x y 322-=+y x 22
3
-=-y x ∴ 22)(31
-==--x x f
y R x ∈
（3）196--+=x x y 1996)9(-+-+-=x x y
1)39(2-+-=x y
2)39(1+-=+x y 391+-=+x y 319-+=-y x
9)31(2+-+=y x ∴ 9)31()(21+-+==-x x f y ),8[+∞∈x
[例2] 一次函数)(x f y =，反函数还是自己，求)(x f y =
答案：
设b ax x f y +==)( )0(≠a ∴
a b x a x f -=
-1)(1
∴ ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧
-==a b b a a 1 ⎩⎨⎧==⇒01b a 或⎩⎨⎧∈-=R b a 1
∴ x x f y ==)(或b x x f y +-==)( R b ∈
[例3] )(x f y =，R x ∈，对一切R y x ∈,，)()()(y f x f y x f +=+
（1）求)0(f （2）判断并证明)(x f y =的奇偶性 答案：
（1）令0==y x )0()0()0(f f f += 0)0(=⇒f
（2）令x y -= )()()(x f x f x x f -+=- ∴ )()(x f x f -=- ∴ 奇函数
[例4] )(x f y =，),0(+∞∈x ，对一切),0(,+∞∈y x 满足)()()(y f x f y x f +=⋅
（1）求)1(f
（2）求证)()1
(x f x f -=
（3）若1>x 时，0)( （1）)1()1()1(f f f += ∴ 0)1(=f （2）令 x y 1 = ∴ )1()()1(x f x f x x f +=⋅ ∴ ) ()1(x f x f -= （3）任取21x x < )()()1 ( )()()(12212121x x f x x f x f x f x f x f -==+=- ∵ 112>x x ∴ 0 )(1 2 f 0)()(21>-x f x f ∴ 减函数 [例5] )(x f y =，对一切R y x ∈,有x y x y f y x f )12()()(++=-+且0)1(=f （1）求)0(f （2） ) 21 ,0(∈x ，不等式x x f a log 2)(<+恒成立，求a 的范围 答案： （1）令1=x ，0=y 2)0()1(=-f f 2)0(-=⇒f 令0=y x x f x f )1()0()(+=- ∴ 2)(2 -+=x x x f （2）x x f a log 2)(<+ x x x a log 2