间接效用函数与消费中的对偶性

间接效用函数与消费中的对偶性

（一）间接效用函数

1、直接效用函数：效用是消费量的函数，)(x u u =。

2、间接效用函数：令),(w p x x **=为效用最大化问题的解，

)],([),(w p x u w p v *=为间接效用函数。w 为收入。

3、直接效用函数描述的偏好独立于市场，间接效用函数反映最优化程度和市

场价格。

4、推导罗伊恒等式

w

w p v p w p v w p x j j ∂∂∂∂-=),()

,(),(，n j ,,2,1 = 推导：由于)(max ),(x u w p v =，所以，),(w p v 关于w p ,得偏导数，按包络

定理等于求)(max x u 关于w p ,的导数，求导如下：

)()(),(x p w x u x L ⋅-+=λλ

),(),(),(w p x x w x L w m p v =***=∂∂=∂∂λλ

x p

x L p m p v ⋅-=∂∂=∂∂***λλ),(),( x w

m p v p m p v =∂∂∂∂-)

,()

,( 罗伊恒等式的含义：如果间接效用函数已知，且连续可导，那么，就可

以求出马歇尔需求函数。

（二）对偶性定理

1、对偶性问题：是指一些成对的问题和概念，它们阐述的行为原则是一致的，只是（目标函数和约束条件的）表达正好相反。（见肖红叶著《高级微观经济学》35页。）

2、用对偶性定理描述直接效用函数与间接效用函数的关系，或直接效用函

数与间接效用函数间存在对偶关系。

显示偏好理论（46页）（参阅厉以宁《西方经济学》67-71页、肖红叶著《高级微观经济学》18页、黄亚钧、姜纬《微观经济学》第一版63-67页）

1、前面是从偏好（或效用函数）到最优选择，显示偏好理论则是从主体的选

择行为观察主体的偏好。

2、假定（见肖红叶著《高级微观经济学》18页。）

（一）显示偏好弱公理

1、在0p 价格下，消费者既可以购买0q （这是一个商品组合！），也可以购买1q （这是一个商品组合！），但他购买了0q ，这一行为显示消费者相对于1q 更偏好0q 。假定消费者购买0q 正好花光了所有收入，即000y q p =。而

010y q p <。当价格变为1p 后（看来价格上升了）

，花光所有收入0y ，消费者也只能买1q ，即011y q p =（当然也可以假定111y q p =，由于价格上升了，由000y q p =可知，00001y q p q p =>，即在1p 价格下，消费者买不起0q 。由于011y q p =，所以，1101q p q p >，即不存在1101q p q p <。

2、上述情况对应于图1，0q 所在的预算约束线对应收入0y 和价格0p ，因为，当收入和价格给定时，就可以得到一条确定的预算约束线。1q 所在的预算约束线对应收入1y 和价格1p 。当预算线是0q 所在的预算约束线时，消费者既可以购买0q （000y q p =），也可以购买1q （010y q p <），但他购买了0q ，这一行为显示消费者相对于1q 更偏好0q 。当预算线是1q 所在的预算约束线时，消费者购买了1q ，没有购买0q ，这是因为在现在的预算约束下，他买不起0q ，而不是显示消费者相对于0q 更偏好1q 。偏好还是0q 优于1q 。也就是说，这两次购买行为中，消费者显示的偏好是一致的。

3、图2表示消费者的选择违反了显示偏好弱公理。当预算线是0q 所在的预算约束线时，消费者既可以购买0q ，也可以购买1q （两者都在预算约束线内），但他购买了0q ，这一行为显示消费者相对于1q 更偏好0q 。当预算线是1q 所在的预算约束线时，消费者既可以购买0q ，也可以购买1q （两者都在预算约束线内），但他购买了1q 。显示消费者相对于0q 更偏好1q 。也就是说，这两次购买行为中，消费者显示的偏好是不一致的。

（二）显示偏好的强公理

如果0q 显示出比1q 更可取，1q 显示出比2q 更可取，2q 显示出比3q 更可取，……，1-k q 显示出比k q 更可取，则k q 必定不会显示出比0q 更可取。这是显示偏好的可递性

1q 2q

2

q 1

1图2图