爱因斯坦光电方程与光电效应实验外推法

[ 1]
时 , 就有 明显
的光电子发射出来 , 这就是光电效 应 . 金 属和半导体 材 料的光电效应 机制是 一个 非常复 杂的 多体 问题 , 通 过 简化 , 可以利用三个分开的步骤 , 即所谓 的单电子三 步 模型来理解光 电效应 机制 [ 5] : 第 一步 是入 射光 子在 固 体表面内侧激 发出高 热电 子 ; 第二步 是伴 随着 电子 与 电子、 电子 与 声子 的 非弹 性 散 射 , 高热 电 子 向表 面 扩 散 ; 第三步是穿过固体的表面势垒 逃逸到真 空中 . 由 于 半导体材料的量 子效 应高出 金属 几个 数 量级 , 不 仅对 紫外光 , 对可见 光和近红 外光都有响 应 , 故 现在光 电效 应实验中普遍使用的就是半导体材料的光电管 . 尽管如 此 , 为简单起见, 本文以金属光电效应为例进行讨论 . 通 常金 属 中的 电子 受 正离 子的 吸 引不 会 离开 金 属 , 只有在 外 界提 供 足够 的 能 量时 , 电 子 才 会脱 离 金 属 . 依据金属的 电子 气模 型 , 电子 被约 束在 深度 为 E 0 的势阱内 [ 6] , 当 T = 0 K 时 , 电子的 动能都不 会超过 绝 对零度时的费米能量 E F , 电 子填满 费米能量 以下的 能 级 . 当处于最大能量 E 0 F 上的 电子吸收一个光子 h 后 , 该电子要想脱离金属就必 须满足 h + E 0 F > E 0, 写成 电 子的 能 量 方 程 , 则 为 E 0 F + h = E0 + 1 mv 2 max , 其 中 2
源于动能最大的 那些 光电 子 . 比较 式 ( 12 ) 与式 ( 7 ) , 考 虑那些克服反 向电压 刚好 到达收 集极 的出 射电 子 , 则 这些电子 z 方向出射后的动能 E z = eU. 因此 , 式 ( 12) 与 式 ( 7 ) 是同一个方程 , 这也正是两 方程左边第 一项用 相 同符号的原因 . 正如式 ( 7) 与 式 ( 1 ) 相对应 一样 , 式 ( 12) 与式 ( 2 ) 相对应 .
解析形式清 晰地给 出在 J - U 曲线 反向 电压 段 , 阴极 光电流密度 J ( U) 光滑渐进地 趋于零 , 常温下 阴极光电 流根本就没有截 止电 压 US 这 一概 念 . 上述分 析表 明 , 常温下 , 阴极光电流密度 J - U 曲线 是光滑 的 , 不能因 此就把它同 绝对零 度下 的 J - U 曲 线混 为一 谈 . 教材 中对爱因斯坦方程和方程 ( 7 ) 不 加区分 , 显然是 不合理 的 . 认为背景电流的存在掩盖 了截止电 压 , 从而 无法准 确定出截止 电压 US, 显 然 也是 不恰 当的 . 从 阴极 光电 流 I - U 曲线中 , 确定出不存在的截止 电压 US, 这才是 实验误差的主要来源 . 从式 ( 11) 可以看出 , 反向 电压数 值 U 很大的 情况 下 , J ( U) 很小 , 其所对应的 是高能电 子 , 尽管这 些电子 随能量的增加快速地减少 . 换句话 说 , U 越接 近传统意 义的截止电压 US , J ( U) 越小 , E z 就 越大 , 因 此 E z 绝 不是可以 忽 略的 量 . 为 了与 爱因 斯 坦 光电 方 程 ( 2 ) 比 较, 令 A = A Ez , 则由式 ( 7 ) 或 ( 12) 得 到了实 验中实 h = A + eUS ( 13 ) 际上发挥作用的准爱因斯坦光电方程 : 其中 US 的值为式 ( 12) 的电压 U. 准爱因斯坦 光电方程 ( 13) 与爱因斯坦光电方程 ( 2) 是不 同的 , 表现 在 : 首 先 , US 是两 极 板间 的反 向 电压 值 , 不 是光 电 流为 零时 的 截止电压 ; 其次 , 新常 数 A = A 同 , 误差 E z 有时甚至很大 . E z 与 功 函数 不 0 K 时, 出 0, 从而 E z 是 光电流 密度 J 和温
0
光电效应外推法测量普朗克常 量实验是 国内外高 校普遍开设的近代 物理 实验 . 该实 验以 其内 容重 要且 基本 , 设计巧妙又 简单 而著称 . 然而 , 正 如所 有作 过该 实验的人所感受到的那样 , 实验中的截止 电压 US 很难 确定 , 并且实 验 误差 较 大 . 对 于 光电 效 应实 验 误差 问 题 , 国内外几乎所 有的 教材 都依据 爱因 斯坦 光电 方程 或多或少地讨论了 US 的确定 方法 , 认为实验 误差起因 于暗电流、 本底电流、 收集极光电流 和热电子发 射构成 的背 景 电 流 的 存 在 , 从 而 很 难 准 确 定 出 US. 此 外 , DuBridge 早在上世纪 30 年代就指出
第 22 卷第 3 期 2003 年 3 月
大 学 物 理 COLLEGE PHYSICS
Vol. 22 No. 3 Mar. 2003
爱因斯坦光电方程与光电效应实验外推法
杨际青
( 河海大学 数理系 , 江苏 南京 210098)
摘要 : 讨论了爱因斯坦光电方程 , 指出现今在光电效应实验中普遍使用的爱因斯坦光电方 程只是在 T = 0 K 时 才成立 . 对室温下光电流的 J - U 曲线的分析表明 , 除 T = 0 K 情况外 , 光电子无明 确的最大 动能 , 也 无明确的 截止 电压概念 . 改进了光电效应实验外推法 , 指出 截止电压 的确定必须在靠近零的同 一光电流 数值下进行 . 结果 表明 只有在以准 爱因斯坦光电方程取代原有的 爱因斯 坦光 电方程 的情 况下 , 光 电效应 外推 法中内 在的 矛盾才 可以 消 除. 关键词 : 爱因斯坦光电方程 ; 光电流 ; 截止电压 ; 外推法 中图分类号 : O 483 文献标识码 : A 文章编 号 : 1000 0712( 2003) 03 0027 03 当光照射到一个清洁的金 属或半导 体材料表面 上 时 , 入射光的频率 一旦超过某一阈值
[ 6]
( 6)
其中 A = E 0- E 0 F , 称为 功函数 ( 或逸出功 ) . 当 光电管收 集极与阴极之间的反向电压 U 达到或超过某一阈值 US 1 2 mv 时 , 阴极光电子不能达到 收集极 , 此 时阴极光 2 e m ax 电流为零 , US 称为截止电压 . 爱因斯坦方程可写为 = h = A + eUS 0)
1 mv 2 max 系电子没有受到空间电 荷的阻 止 , 从 金属中 逸 2
收稿日期 : 2001- 02- 26; 修回日期 : 2002- 01- 10 作者简介 : 杨际青 ( 1960 ) , 女 , 江苏南京人 , 河海大学数理系高级工程师 , 硕士 , 主要从事大学物理实验教学和演示仪器的研制 .
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, 由于热效应 , 常
温下光电效应外推法确定的截止电 压值要比 实际上爱 因斯坦光电方程中要求的截止电压 值大百分 之几到百 分之二十 几 . 然 而 , Millikan 等 人的 工 作结 果却 令 人信 服地表明其 误差 都小 于这 一范 围 [ 2~
4]
. 光电 效应 外推
法中这一内在的矛盾至今仍未被解决 . 本文分析表明 , 国内 外教 材中 的一 些流 行的 看法 是不恰当的 . 事实上 , 在 T 0 K 时 , 光电子无 明确的最 时 , J - U 曲线 光电 大动能 , 爱因斯坦光电方程还 应该有一 项 , 而这 一项不 可忽略 . 当反向电压 的数值 U 流是渐进地趋于零 的 , 此时 根本就 没有 截止 电压 这一 概念 . 光电效应外 推法 中的 内在矛 盾只 有在 以准 爱因 斯坦光电方程取代 原有 的爱 因斯坦 光电 方程 后 , 才可 以消除 .
2 4 em DK 2 BT d ln 1 + e3 h 0
其中 e 为电子电量 . 若令 A = h 0 , 则 式 ( 2 ) 可写 成 h( = eUS, 依据此式求直线 - US 的 斜率 , 从而定出 普朗克常量 . 然而 , 通常实 验是 在常 温下 进行 的 . 由于 热激 发 , 金属中自由电子的 最大 动能 不再是 费米 能量 , 电 子也 不再有明确的最大 动能 , 原 则上在 费米 能面 以上 任意 大的能量上 都可 能 有电 子 , 电 子 能 量满 足 Fermi Dirac 分布 , 并随能量增加渐进地趋 于零 . 此时光电子 也没有 明确的最大 动能 , 式 ( 1) 不 再成 立 , 也没 有明 确的 截止 电压概念了 . 下 面依 据 Fowler 模 型
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学
物
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第 22 卷
出的光 电子的 最大 初动 能 . 该 方程 两边 同时减 去 E 0 F, 得到著名的爱因斯坦方程 : h = A+ 1 mv 2 max 2 ( 1)
金属表 面后的 z 方向 动能为 Ez , 则该 电子的 z 方向 能 量方程为 p2 z + h = E 0 + Ez 2m E F , 则有 Ez + h = A + E z 其中 E z = ( p2 z / 2 m) ( 7) - E F , 本 质上讲 , 这 一项是 热激 发 0 时, Ez 0, Ez
对于沿 z 方向运动 的 , 动 能为
p2 z / 2m =
的电子 , 吸收
一个光子 h 后 , 在没 有受 到空 间电 荷的 阻止 下 , 透射
第 3期
杨际青 : 爱因斯坦光电方程与光 电效应实验外推法 时 , 式 ( 11 ) 以
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二十几 . 很明显 , 当反向 电压 数值 U
或者说 , 只要对每一频率的光电流电压 I - U 曲线在接 近于零的同一光电流值下 , 确定其 所对应的 电压值 , 以 此为 US , 则可 以保持 E z 是 一个 常量 , 从 而保 证了 准 和 截止 电 压 US - US 爱因斯坦光 电方 程式 ( 13 ) 中 频 率
+
exp
h - A K BT ( 9)
2
此式亦不能以有限的方式 积出来 . 考虑式 ( 9) 在反向 电 压的数值 U 时的渐近解 , 以 e- 作为小量 , 把式 ( 9) h - A K BT 中的被积函数展开 , 一级近似结果为 h -A exp K T B 式 ( 10 ) 代入式 ( 9 ) , 积分得 ln 1+ eexp e( 10)
[ 1, 7]
exp
h - A K BT ( 8)
这就是阴极的饱和光电流 . 式 ( 8 ) 不能以有限 的方式 积 出来 . 当光电管加的反向电压的数值为 U 时 , 相 应的 J - U 曲线可由下式给出 : J ( U) =
2 4 em K 2 BT D 3 h d ln 1+ e
eU K T B
假设光电子穿过金 属表 面势 垒的平 均透 射系数 为 D , 则出射的光电流密度可表示为 J= 4 em D h3
BT
2 pz
d ln 1 + exp
= E- h 2m 0
E FK BT ( 5)
DuBridge 的 工作表明 , 绝对零度下存在着明确 的截 止电压 ; 常 温下的 零值 光电流 对应 的 截止 电压 要 比 绝对零度下真正的截止电压 数值大百分 之几到百 分之
两边 同 时 减 去 费 米 能 量 E F , 因 为 功 函 数 A = E 0 -
( 2)
引起的 . 对 于金属内 z 方 向动 能最大 的电 子 , 方 程 ( 7) 与爱因斯坦方程 ( 1) 相对 应 , 当 T 1 mv 2 , 方程 ( 7) 趋于方程 ( 1) . 若 令 = E / K T , 利 用 max z B 2 式 ( 6 ) 和功函数的定义 , 式 ( 5) 可化为 J =
来 讨论 : 入 射光
子 h 在金属内激发出高热电 子 , 假设 光子对所 有能量 电子的激发是等概率 的 , 概 率值为 . 设 z 轴垂 直于金 属表面向外 , 为了能把一个电 子打出去 , 金属表 面附近 的电子吸收一个光子 h 后 , 该电子沿 垂直于金 属表面 方向 , 即 z 轴方向运动的能 量应超 过 E 0, 应 有 h + p z / 2 m > E 0. 那么 , 单位 时间 内垂 直于 金属 表面 入射 到单 位面积 上的 , 动能 在 pz ~ p z + d pz 范 围 内的 电 子数 N ( p z ) d pz , 由下式给出 pz N ( pz ) dpz = m
2 K2 BT 3
其中 = exp ( E F/ K B T ) , E F 是温度为 T 时的费米能量 . 令 = p2 z / 2 m, 则 pz d pz = m d , 式 ( 3) 积分后得到 N( )d = 4 mK B T E Fln 1+ exp 3 K BT h
( 12)
D / h J ( U) ] , 这一 项 起
[ 7]
:
+
dpx
-
d py
3
2( m/ h ) 2 2 pቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ x + p y+ pz 1 + ex p 2mK B T
dp z
( 3)
J ( U) =
2 4 em K 2 eU BT D exp( h - A ) exp 3 K BT K BT h
( 11) 由式 ( 11 ) 两边取对数并整理得 E z + h = A + eU 其中 E z = K B T ln [ 4 em d ( 4)