奇偶性课件PPT

解：(1)因为函数f(x)＝x＋ax的图象过点A(2，52)， 所以52＝2＋a2⇒a＝1. 于是，f(x)＝x＋1x，因为f(－x)＝－x＋－1x＝－f(x)， 且函数f(x)的定义域为{x|x≠0}，所以函数f(x)为奇函数， 从而f(x)的图象关于原点对称．
(2)证明：设x1，x2是(0,1)上的任意两个实数，且x1<x2，则 f(x1)－f(x2)＝x1＋x11－x2－x12＝x1－x2＋x2x－1x2x1 ＝(x1－x2)x1xx12x－2 1.由x1，x2∈(0,1)，得0<x1x2<1，x1x2－1<0， 又由x1<x2，得x1－x2<0， 于是f(x1)－f(x2)>0，即f(x1)>f(x2)． 所以函数f(x)在(0,1)上是减函数．
3.题型以选择题和填空题为主，与导数交汇命题则会以解 答题的形式出现.
一、函数的单调性 1．单调函数的定义
增函数
减函数
设函数f(x)的定义域为I.如果对于定义域I内某个区间
D上的任意两个自变量x1，x2，
定义
当x1<x2时，都有 f(x1)<f(x2) ，那么
当x1<x2时，都有 f(x1)>f(x2) ，
函数的单调性
函数的单调性与最值
[备考方向要明了] 考什么
1.理解函数的单调性，会讨论和证明函数的单调 性． 2.理解函数的最大(小)值及其几何意义，并能求函数
的最大(小)值.
怎么考
1.利用函数的单调性求单调区间、比较大小、解不等式、 求变量的取值是历年高考考查的热点．
2.利用函数的单调性求最值，及利用它们求参数取值范围 问题是重点，也是难点．
[精析考题]
1
[例1] (2010·北京高考)给定函数①y＝ x 2 ；②y＝log 1
2
(x＋1)；③y＝|x－1|；④y＝2x＋1，其中在区间(0,1)上单
调递减的函数的序号是
()
A．①②
B．②③
C．③④
D．①④
1
[自主解答] ①y＝ x 2 在(0,1)上单调递增，②y＝log 1 (x＋1)在
答案： (－∞，1]
4．(2012·衢州调研)函数f(x)＝log2(x2－1)的单调减区 间为________．
解析：函数的定义域为x2－1>0， 即{x|x>1或x<－1}．
令u(x)＝x2－1，图象如图所示． 由图象知，u(x)在(－∞，－1)上是减 函数，在(1，＋∞)上是增函数． 而f(u)＝log2u是增函数． 故f(x)＝log2(x2－1)的单调增区间是(1，＋∞)，单调减 区间是(－∞，－1)．
B．y＝3－x
C．y＝1x
D．y＝－x2＋4
()
解析：y＝3－x在R上递减，y＝1x在(0，＋∞)上递减，y＝－x2＋4在 (0，＋∞)上递减．
答案： A
2．函数y＝(2k＋1)x＋b在(－∞，＋∞)上是减函数，则
A．k>12
B．k<12
C．k>－12
D．k<－12
()
解析：函数y＝(2k＋1)x＋b是减函数， 则2k＋1<0，∴k<－12.
易求a＝25.
答案：25
[冲关锦囊] f(x)在定义域上(或某一单调区间上)具有单调性，则 f(x1)<f(x2)⇔f(x1)－f(x2)<0，若函数是增函数，则 f(x1)<f(x2)⇔x1<x2，函数不等式(或方程)的求解，总是想方 设法去掉抽象函数的符号，化为一般不等式(或方程)求解， 但无论如何都必须在定义域内或给定的范围内进行．
[模板建构] 用定义法判断或证明函数f(x)在给定的区间D上的增减性 的步骤： 第一步：取值，即设x1、x2是该区间内任意两个值且x1<x2； 第二步：作差，即作差f(x1)－f(x2)＝a(2x1－2x2)＋b(3x1－ 3x2)； 第三步：判号，即判断f(x1)－f(x2)的正负，由于a，b符号不 确定，需要进行分类讨论； 第四步：下结论，即判断f(x)在该区间是增函数还是减函数．
1．(2011·广东六校第二次联考)下列函数中，既是偶函数又在
(0，＋∞)上单调递增的是
()
A．y＝x3
B．y＝ln|x|
C．y＝x12
D．y＝cos x
解析：y＝x3不是偶函数；y＝
1 x2
在(0，＋∞)上单调递减；y＝cos
x在(0，＋∞)上有增有减．只有y＝ln|x|同时满足条件．
答案：B
2．(2012·湖州月考)设函数 f(x)＝x＋ax的图象过点 A(2，52)． (1)求实数 a 的值，并证明 f(x)的图象关于原点对称； (2)证明函数 f(x)在(0,1)上是减函数．
5．已知函数f(x)为R上的减函数，则满足f|1x|<f(1)的实数x的 取值范围是________． 解析：由题意知|1x|>1，∴|x|<1，且x≠0. ∴－1<x<1且x≠0.
答案： (－1,0)∪(0,1)
1．函数的单调性是局部性质 函数的单调性，从定义上看，是指函数在定义域的某 个子区间上的单调性，是局部的特征．在某个区间上 单调，在整个定义域上不一定单调．
义．对于给定的正数 k，定义函数 fk(x)＝fk，x， fxf＞x≤ k k， 取函数
f(x)＝2－|x|.当 k＝12时，函数 fk(x)的单调递增区间为
A．(－∞，0)
B．(0，＋∞)
()
C．(－∞，－1)
D．(1，＋∞)
[自主解答] 由f(x)>12，得－1<x<1，由f(x)≤12，得 x≤－1或x≥1.
[考题范例] (12分)(2011·上海高考)已知函数f(x)＝a·2x＋b·3x，其中常 数a，b满足ab≠0. (1)若ab>0，判断函数f(x)的单调性； (2)若ab<0，求f(x＋1)>f(x)时x的取值范围．
[规范解题]
(1)当a>0，b>0时，任意x1，x2∈R，x1<x2，则f(x1)－f(x2)
a>1， 所以可得4－a2>0，
a≥4－a2＋2.
解得4≤a<8.
[答案] B
[巧练模拟]—————(课堂突破保分题，分分必保！)
5．(2012·舟山调研)函数 f(x)＝x－1 1在[2,3]上的最小值为________， 最大值为________．
解析：∵f′(x)＝－x－1 12<0，∴f(x)在[2,3]上为减函数， ∴f(x)min＝f(3)＝3－1 1＝12，f(x)max＝2－1 1＝1. 答案：12 1
(4)导数法：利用导数取值的正负确定函数的单调区间.
[精析考题]
ax
x>1
[例 3] (2012·长春模拟)f(x)＝4－a2x＋2 x≤1
是 R 上的单调递增函数，则实数 a 的取值范围为( )
Fra Baidu bibliotek
A．(1，＋∞) C．(4,8)
B．[4,8) D．(1,8)
[自主解答] 因为f(x)是R上的单调递增函数，
＝a(2x1－2x2)＋b(3x1－3x2)．
(2分)
∵2x1<2x2，a>0⇒a(2x1－2x2)<0，
(3分)
3x1<3x2，b>0⇒b(3x1－3x2)<0，
(4分)
∴f(x1)－f(x2)<0，函数f(x)在R上是增函数． 当a<0，b<0时，同理，函数f(x)在R上是减函数．(6分)
(2)f(x＋1)－f(x)＝a·2x＋2b·3x>0，(8 分) 当 a<0，b>0 时，32x>－2ab， 则 x>log1.5－2ab；(10 分) 当 a>0，b<0 时，32x<－2ab， 则 x<log1.5－2ab.(12 分)
6．(2011·汉中二模)已知函数f(x)＝1a－1x(a>0，x>0)，若f(x) 在12，2上的值域为12，2，则a＝__________.
解析：由反比例函数的性质知函数
f(x)＝1a－1x(a>0，x>0)．在12，2上单调递增，
∴f12＝12 f2＝2
即1a1a－ －122＝ ＝212， ，
2
(0,1)上单调递减，③y＝|x－1|在(0,1)上单调递减， ④y＝2x＋1在(0,1)上单调递增．
[答案] B
若把题中区间变为(1,2)时，结论如何？ 解：当1<x<2时，y＝|x－1|＝x－1是增函数，其余增 减性不变，故只有②为减函数．
[巧练模拟]——————(课堂突破保分题，分分必保！)
答案： D
3．(教材习题改编)函数f(x)＝1－x11－x的最大值是 (
)
A.45
B.54
3
4
C.4
D.3
解析：∵1－x(1－x)＝x2－x＋1＝x－122＋34≥34，
∴1－x11－x≤43.
答案： D
4．(教材习题改编)f(x)＝x2－2x(x∈[－2,4])的单调增区 间为________；f(x)max＝________. 解析：函数f(x)的对称轴：x＝1，单调增区间为 [1,4]，f(x)max＝f(－2)＝f(4)＝8. 答案： [1,4] 8
[冲关锦囊] 对于给出具体解析式的函数，证明其在某区间上的 单调性有两种方法 (1)可以结合定义(基本步骤为取值、作差或作商、变 形、判断)求解． (2)可导函数则可以利用导数解之．但是，对于抽象函数 单调性的证明，一般采用定义法进行.
[精析考题]
[例 2] (2012·嘉兴模拟)设函数 y＝f(x)在(－∞，＋∞)内有定
二、函数的最值
前提 设函数y＝f(x)的定义域为I，如果存在实数M满足
条件
①对于任意x∈I，都有 f(x)≤M
①对于任意x∈I，都 有 f(x)≥M
②存在x0∈I，使得 f(x0)＝M ②f(x存0)在＝xM0∈I，使得
结论
M为最大值
M为最小值
1．下列函数中，在区间(0,1)上是增函数的是
A．y＝|x|
那么就说函数f(x)在区间D上是
就说函数f(x)在区间
减函数
D上是增函数
增函数
减函数
图象 描述
自左向右看图象 自左向右看图象是 逐渐下降 是 逐渐上升
2．单调区间的定义 若函数f(x)在区间D上是 增函数 或 减函数 ，则称函数 f(x)在这一区间上具有(严格的)单调性， 区间D 叫做f(x) 的单调区间．
2－x，x≥1，
所以
f
1 2
(x)＝12，－1＜x＜1， 2x，x≤－1，
故 f1 (x)的单调递增区间为(－∞，－1)．
2
[答案] C
[巧练模拟]———————(课堂突破保分题，分分必保！)
3．(2012·金华质检)函数y＝x－|1－x|的单调增区间 为________．
解析：y＝x－|1－x|＝12， x－1，x≥x＜1，1. 作出该函数的图象如图所示． 由图象可知，该函数的单调增区间是(－∞，1]．
答案： (－∞，－1)
[冲关锦囊] 求函数的单调区间与确定单调性的方法一致． (1)利用已知函数的单调性，即转化为已知函数的和、差或 复合函数，求单调区间． (2)定义法：先求定义域，再利用单调性定义确定单调区间．
(3)图象法：如果f(x)是以图象形式给出的，或者f(x)的图 象易作出，可由图象的直观性写出它的单调区间．
2．函数的单调区间的求法 函数的单调区间是函数定义域的子区间，所以求解函 数的单调区间，必须先求出函数的定义域．对于基本 初等函数的单调区间可以直接利用已知结论求解，如 二次函数、对数函数、指数函数等； 如果是复合函数，应根据复合函数的单调性的判断方 法，首先判断两个简单函数的单调性，再根据“同则 增，异则减”的法则求解函数的单调区间．