齿轮轴系弯扭耦合振动理论的统一

图 1 力耦合模型
设 kc 为齿轮平均啮合刚度 ,Δs为端面内两齿轮轮心
在啮合线方向的相对位移 ,α为齿轮端面压力角 , ri ( i = 1,
2
)
为齿轮基圆
半
径
,
θ(1) g
,
θ(2 q
)
分别为齿轮扭转位移 ,
xg( 1)
,
yg(1) , xq(2) , yq(2) 分别为齿轮横向位移 (上标“1”表示主动轮 ,
(2)
式 (2)称为齿轮轴系弯扭耦合振动的几何耦合模型 。
2 齿轮轴系弯扭耦合振动方程 [1～3 ]
设有一由一对齿轮轴组成的齿轮耦合轴系 ,用有限元
法或集总质量法将转子离散 ,设主动轴被离散成 n 个节
点 ,从动轴被离散成 m 个节点 , 写出每根转子的弯曲振动
方程和扭转振动方程并将它们联立起来 , 可得到以下形
1) -1
,
(1) n- 1
,
, (1) (1)
n- 1 1
,
…,θg(1)
,
…,θn(1- )1 ,
x1( 2)
,
y1(2)
,φ1(2)
,
ψ( 2) 1
,
…,
xq( 2)
,
yq(2)
,φq(2)
,ψq(2)
,
…,
xm(2-)1 ,
φ ym(2-)1 ,
(2) m-1
,
ψ θ , (2)
(2)
m-1 1
Theoretica l Un if ica tion of La tera l2torsiona l Coupling V ibra tion of a Geared Rotor System Xia Boqian
(Departm ent of M echanical Engineering, Zhengzhou University, Zhengzhou 450002) Abstract: In the study of lateral2torsional coup ling vibration of a geared rotor system , two coup ling mod2 els are available, namely force coup ling model and geometry coup ling model. This paper p roves that the two coup ling models and the lateral2torsional coup ling vibration equations of a geared rotor system based on the two models can be unified into a single model. The geometry coup ling model is just a special case of the force coup ling model. The form er and the lateral2torsional coup ling vibration equations based on it can be deduced from the force coup ling model and the lateral2torsional coup ling vibration equations re2 spectively, greatly simp lifying the p rocesses of establishing equations by using the geometry coup ling mod2 el. The numerical analysis of the two coup ling models show s that they have identical effects during the study of rotor dynam ics of gear2coup led rotor system s, and the value of gear m esh stiffness in the force coup ling model has almost no impact on its calculation results. Key words: geared rotor system; lateral2torsional coup ling vibration
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0 … - kc r1 cosα - kc r1 sinα 0 … - kc r21
0 … kc r1 cosα
kc r1 sinα
0…
kc r1 r2
0 …0
0…
0
Δk = ⁝ ⁝
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0 … kc cos2α
kc sinαcosα 0 … kc r1 cosα 0 … - kc cos2α - kc sinαcosα 0 … - kc r2 cosα 0 … 0
第 10期
夏伯乾 :齿轮轴系弯扭耦合振动理论的统一
1203
建的齿轮轴系弯扭耦合振动方程与力耦合模型及基于力 耦合模型构建的齿轮轴系的弯扭耦合方程统一到了同一 个理论模式之下 。
1 齿轮轴系弯扭耦合振动模型 [1 ] 1. 1 力耦合模型
如图 1所示 ,将一对啮合齿轮视为一对通过弹簧和阻 尼器连接的刚性圆盘 。本文忽略啮合阻尼及由于齿轮横 向位移所产生的齿轮啮合角变化的影响 [3 ] 。
,
…,θq( 2)
,
…,θm(2-)1
]T
力向量
F = [ 0, 0, 0, 0, …, - ΔFx1 , - ΔFy1 , 0, 0, …, 0, 0, 0, 0, 0, …, - (ΔFx1 co sα + ΔFy1 sinα) r1 , …, 0, 0, 0, 0, 0, …,ΔFx2 , ΔFy2 , 0, 0, …, 0, 0, 0, 0, 0, …, (ΔFx2 coαs +ΔFy2 sinα) r2 , …,
收稿日期 : 2005 08 26 基金项目 :河南省高校青年骨干教师项目资助 作者简介 :夏伯乾 (1965 - ) ,男 (汉 ) ,河南 ,副教授 ,博士
两种耦合模型构建齿轮轴系弯扭耦合振动方程的过程却 完全不同 。基于力耦合模型的系统弯扭耦合振动方程的 建立过程比较简单 ,但基于几何耦合模型的系统弯扭耦合 振动方程的建立过程却相当繁难 。可以说 ,人们在应用这 两种弯扭耦合模型构建系统弯扭耦合振动方程时走的是 两条完全不同的路 ,完全割裂了这两种模型之间的联系 。
本文证明了 ,不仅几何耦合模型的约束方程可以从力 耦合模型自然得到 ,而且用几何耦合模型构建的齿轮轴系 的弯扭耦合振动方程也可从基于力耦合模型构建的齿轮 轴系的弯扭耦合振动方程中以简洁的方式得到 ,从而大大 简化了用几何耦合模型构建齿轮耦合轴系弯扭耦合振动 方程的过程 ,而且将几何耦合模型及基于几何耦合模型构
动模型 ( 1)或 ( 2 ) 。通过齿轮轴系弯扭耦合振动模型 , 可
将式 (3)变为
M··x + C·x + Kx = 0
(4)
式中 : M , C, K分别为描述齿轮耦合轴系弯扭耦合振动的总
质量阵 、总阻尼阵和总刚度阵 。
2. 1 基于力耦合模型的齿轮轴系弯扭耦合振动方程
端面内齿轮间的动态啮合力在 x, y 方向的分量及动
式 [3]
M～··x
+
～C ·x
+
～
Kx
=
F
(3)
式中 : M～为准总质量阵 ; ～C为准总阻尼阵 ; ～K为准总刚度阵 。
位移向量
x = [ x1(1) , y1(1) ,φ1(1) ,ψ1(1) , …, xg(1) , yg(1) ,φg(1) ,ψg(1) , …xn(1- )1 ,
φ ψ θ yn(
摘 要 :在研究齿轮轴系的弯扭耦合振动时 ,有两种常用的耦合模型 ,即力耦合模型和几何耦合模型 。本文证明 ,这 两种耦合模型以及基于这两种耦合模型构建的齿轮轴系弯扭耦合振动方程可以被统一到一个统一的模式中 ;几何 耦合模型是力耦合模型的特例 ,几何耦合模型及基于几何耦合模型的齿轮轴系弯扭耦合振动方程可分别从力耦合 模型及基于力耦合模型的齿轮轴系弯扭耦合振动方程中导出 ,从而大大方便和简化了用几何耦合模型构建齿轮耦 合轴系弯扭耦合振动方程的过程 。对这两种耦合模型进行的数值计算与分析表明 ,在进行齿轮耦合轴系转子动力 学研究时 ,几何耦合模型和力耦合模型具有相同的效果 ,而且力耦合模型中齿轮啮合刚度的取值对计算结果几乎没 有影响 。 关 键 词 :齿轮轴系 ;弯扭耦合振动 中图分类号 : TH113 文献标识码 : A
kc sinαcosα 0 … kc r2 cosα 0 … 0
0 … - kc sinαcosα - kc sin2α 0 … - kc r1 sinα 0 … kc sinαcosα
kc sin2α
0 … kc r2 sinα 0 … 0
0…
0
0
0…
0
0…
0
0
0…
0
0 …0
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齿轮耦合转子动力学是转子动力学研究的一个非常 重要的内容 。齿轮轴系的振动特征是弯扭耦合振动 ,齿轮 耦合对轴系的固有振动频率 、不平衡响应以及稳定性都有 重大影响 。因此 ,对齿轮耦合轴系 ,必须应用弯扭耦合振 动理论进行分析 [1 ] 。
进行齿轮轴系弯扭耦合振动分析 ,常用的弯扭耦合模 型有两种 ,一种称为力耦合模型 ,另一种称为几何耦合模 型 [2 ] 。这两种耦合模型都为人们广泛采用 [1～7 ] ,但应用这
第 25卷 第 10期 2006年 10月
机械科学与技术 M ECHAN ICAL SC IENCE AND TECHNOLOGY
Vol. 25 No. 10 October 2006
文章编号 : 100328728 (2006) 1021202204
齿轮轴系弯扭耦合振动理论的统一
夏伯乾
夏伯乾
(郑州大学 机械工程学院 ,郑州 450002)
0 … kc sinαcosα
kc sin2α
0 … kc r1 sinα 0 … - kc sinαcosα - kc sin2α 0 … - kc r2 sinα 0 … 0
0…
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0…
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0 …0
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态啮合力矩可表为
ΔFx1 = - ΔF12 co sα
ΔFy1 = - ΔF12 sinα
ΔT1 = - ΔF12 r1
(5)
ΔFx 2 =ΔF12 co sα
ΔFy 2 =ΔF12 sinα
ΔT2 =ΔF12 r2
将式 (1)代入式 (5) ,之后再将式 (5)代入式 ( 3) ,合并
整理后 ,可得到
“2”表示从动轮 ,下标 g, q分别表示主动轮和从动轮所在
位置 ) ,则端面内沿啮合线方向的动态啮合力 ΔF12 = - ΔF21 = kcΔs =
kc [ ( r2θq(2) - r1θg(1) ) + ( yq(2) - yg(1) ) sinα + ( xq(2) - xg(1) ) co sα]
M··x + C·x + ( K +Δk) x = 0
(6)
式 (6)即基于力耦合模型的齿轮轴系弯扭耦合振动方程 , 其中 Δk为考虑齿轮耦合时的刚度修正矩阵 。
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机械科学与技术
第 25卷
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0 … - kc cos2α - kc sinαcosα 0 … - kc r1 cosα 0 … kc cos2α
0 ]T
之所以称
～
M,
～
C,
～K 为准总质量阵 、准总阻尼阵和准总刚
度阵 ,是因为式 ( 3)还不是所要求的描述齿轮耦合轴系弯
扭耦合振动方程的最终形式 ,具体原因如下 : ( 1) 式 ( 3)右端含有未知力 ΔFx1 ,ΔFy1 ,ΔFx2 ,ΔFy2 , 方
程组 ( 3)中的未知量个数多于方程个数 ; ( 2) 未知力 ΔFx1 ,ΔFy1 ,ΔFx2 ,ΔFy2是本征的 。 要解决上述两个问题 ,需要借助齿轮轴系弯扭耦合振
(1)
式 (1)称为齿轮轴系弯扭耦合振动的力耦合模型 。
1. 2 几何耦合模型
图 2 几何耦合模型
在几何耦合模型中 ,两啮合齿轮皆被视为刚体 ,如不
计啮合误差 ,则由齿轮啮合基本定理可得
r1θg(1) + xg(1) co sα + yg(1) sinα =
r2θq(2) + xq(2) co sα + yq(2) sinα