2.三角形全等证明的解题思路

AD
21
E
3
4
B
C
如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，∠A与∠B的平分线交于点E，点E在CD上
，求证：AD＋BC＝AB
A D 证明：
21 F5
6
E
3
4
B
C
在AB上截取线段AF＝AD， ∵∠1＝∠2
AE＝AE ∴△ADE≌△AFE(SAS) ∴∠D=∠5
∵AD∥BC
而∠5＋∠6＝180°， ∴∠6＝∠C 又∵∠3＝∠4 BE＝BE ∴△BCE≌△BFE(AAS) ∴BF＝BC
∴∠ABE＝∠CDF C
在△ABE和△CDF中
∠ABE=∠CDF BE=DF ∴△ABE≌△CDF(
SAS)
∴AE＝CF
方法总结 两个待证的全等三角形如果位置较为特殊，我们可以从平移、翻折、旋转
等角度找用于证明全等的等边或等角，同时要根据有利条件选择合适的证明方 法.
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∴∠MOP＝∠NOP
OP＝OP
O
BN
∴△AOP≌△BOP(AAS)
∴AO ＝ BO
典例精解
类型一：全等三角形的基本模型(平移型、翻折型、旋转型)
如图,已知四边形ABCD中,AB＝CD且AB∥CD,连接BD,在BD上截取BE＝
DF,连接AE,CF. 求证:AE＝CF
A
B 证明：
AB=CD
F D
E
∵AB∥CD
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初中数学知识点精讲课程
三角形全等证明的解题思路⑴
AD
BE
CF
AD
C
B
B
C
E
D
A
D D
E
全等三角形在位置上通常有着特殊的关系，可以用旋转、翻折、平移等 图形变换方式来描述，运用图形变换有利于找对应边和对应角，从而有助于 证明三角形全等.
典例精解
类型一：全等三角形的基本模型(平移型、翻折型、旋转型)
B
P
C
在△ABE和△CAF中
E ∴△ABE≌△CAF
∠ABE＝∠CAF
∴CF＝AE，AF＝BE
∠AEB＝∠CFA
∴EF＝AE－AF＝CF－BE
AB＝AC
典例精解
类型二：线段和差问题的证明
二 截长补短法
如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，∠A与∠B的平分线交于点E，点E在CD上
，求证：AD＋BC＝AB
初中数学知识点精讲课程
三角形全等证明的解题思路⑵
与全等三角形相关的问题中，有一类问题表现为三条线段间的和差关系， 这类问题通常需要运用“截长补短”法添加辅助线，将其转化为证明线段相 等的问题.
典例精解
类型二：线段和差问题的证明
一 等线段代换
如图，已知△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，点P为BC边上一动点(BP＜
∴∠D＋∠C＝180°
∴AD＋BC＝AF＋BF＝AB.
课堂小结
截长补短法是两种不同的辅助线方法，在具体问题中根据有利条件合理选 择.
添加辅助线的关键是添加后能否构造全等三角形或其它特殊图形，从而对 相等的线段进行转化，得到线段间的和差关系.
如图，点B、E、C、F在同一直线上，如果AB=DE，BE=CF，AB∥DE，求证
：AC＝DF.
A
D 证明：
在△ABC和△DEF中
∵AB∥DE
AB=DE
∴∠ABC＝∠DEF
B
E
C F ∵BE＝CF
∠ABC=∠DEF BC=EF
∴BE＋EC＝CF＋EC ∴△ABC≌△DEF(SAS)
∴BC=EF
∴AC=DF
典例精解
类型一：全等三角形的基本模型(平移ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ、翻折型、旋转型)
如图A、B分别为OM、ON上的点,点P在∠AOB的平分线上,且∠PAM＝
∠PBN,求证:AO ＝ BO 证明：∵∠PAM＝∠PBN 在△AOP和△BOP中
M
∴∠PAO＝∠PBO
∠PAO＝∠PBO
AP
∵点P在∠AOB的平分线上 ∠MOP＝∠NOP
CP)，分别过B、C作BE⊥AP于E，CF⊥AP于F.
A
求证：EF＝CF－BE； F
B
P
C
E
如图，已知△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，点P为BC边上一动点(BP＜
CP)，分别过B、C作BE⊥AP于E，CF⊥AP于F.
A
求证：EF＝CF－BE； F
证明：∵∠BAC＝90°
∴∠BAE＋∠CAF＝90° ∵BE⊥AE ∴∠BAE＋∠ABE＝90° ∴∠CAF＝∠ABE ∵CF⊥AP，BE⊥AE ∴∠AEB＝∠CFA