边界积分方程中近边界点几乎奇异积分的计算

图 1 线性单元
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合肥工业大学学报 ( 自然科学版) 2000 年第 23 卷第 1 期
3 3
k
3
#
ijk
U ∫ ( x , y ) u ( x ) ]d # + W ∫
8 8
3
ij
bj d 8 bk d 8
3 3 3
( 1) ( 2)
3
ijk
其 中 i、 j、 k = 1、 2、 3, # = 58 , u j ( x ) 、 t j ( x ) 是 # 上的位移和面力, bj ( x ) 是体力。 积分核 U ij 为弹性力学
第 23 卷第 1 期
2000 年 2 月
合 肥 工 业 大 学 学 报 ( 自然科学版)
JOU RNAL O F H EFE I U N I V ER S IT Y O F T ECHNOLO GY
. 23№1 Vol Feb. 2000
边界积分方程中近边界点几乎奇异积分的计算
牛忠荣1 , 周焕林1 , 王秀喜2 , 张晨利1
( 8) ( 9) ( 10) ( 11)
d) + e ]
2
2
其中
a = s 4, b = s i Ε i , c = Ε iΕ i
2
d = -
b 2a , e = 2∆ s , ∆ =
2
4ac - b2
系数 a、 b、 c、 d 和 e 由单元节点和源点的坐标确定, ∆ s 为源点到 # e 的距离。 由 ( 9) 式可见, 度量 1 r → ∞ ( 1) 、 ( 2) 式作线性边界单元离散后, 将 ( 6) ～ 取决于 e → 0 的程度, 故定义 e 为源点 y 到边界的接近度。 ( 11) 式代入, 那么单元 Г e 上近点奇异积分包含下列积分形式。即 1 1 1 ) ) ) P 1 (Ν P 2 (Ν P 3 (Ν ( 12) I1 = dΝ , I 2 = dΝ , I 3 = dΝ 2 3
局部坐标系 oΝ , 变换式为 x i = ( s i 2) Ν+ ( x iF + x iI ) 2, Ν∈ [ - 1, 1 ], i = 1, 2 其中 s i = x iF - x iI , s = ( s is i )
1 2
( 6)
是Г e 的长度。 引入 ( x iF + x iI ) 2 - y i Ε i =
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第 1 期 牛忠荣, 等: 边界积分方程中近边界点几乎奇异积分的计算
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件下的奇异积分。 但是求近边界点的位移、 应力时, 因为 r ≠ 0 , 依据极限的求积法不适用, 必须建立几 乎奇异积分的计算方法, 近边界点位移可用刚体移动法间接计算出。 沿此思想发展了使用原微分方程的 [ 6, 7 ] 特场解法 , 间接计算出近点超奇异积分, 较为系统地求解了近边界点的参量。 然而, 其特场解的取法 不具有普遍性, 当近边界物理量梯度变化较大时, 误差也随之增大。 相对来说, 求解近边界点奇异积分欠 缺一般性方法, 这一困难仍是边界元法的遗留问题。 本文针对二维问题提出一种具有一般性的半解析方 法, 在内点边界积分方程离散后, 作一种新的分部积分变换, 直接计算出近边界点的奇异积分。 文中采用 此途径求解了弹性力学平面问题的近边界点位移和应力。
1 近边界点奇异积分的基本列式
按弹性力学问题的边界积分方程阐述, 区域内点 y 处位移和应力可由边界位移和面力的积分形式 表达。 即
[U ∫ Ρ (y ) = [W ∫
u i (y ) =
ij
3
#
ij
(x , y ) t j (x ) - T 3 ij ( x , y ) u j ( x ) ]d # + ( x , y ) tk ( x ) - S 3 ijk
r, i = x i y i, r, i = 5r 5x i ,
r =
ri ri
r, n = 5r 5n = r, i n i
( 3)
( 2) 式中源点 y 趋附于边界 # , 并设 u k ( x ) 、 使 ( 1) 、 tk ( x ) 和 u k ( x ) 的偏导数在 y 附近具有 H ǒ lder 意义 下的连续性。 则得位移、 应力边界积分方程为
N avier 方程的 Kelvin 解, 亦称为基本解; T ij 、 W
是U 3 ij 关于坐标的梯度场函数的线性组合, S ijk 是 T ij 的 梯度场函数的线性组合, 具体形式参见文献 [ 2 ]。 y 为源点, x 为场点。 令 y i 和 x i 为源点和场点坐标值, n i
ijk
为Г 外法线方向余弦。 则
ri = x i y i , i = 1, 2
( 7)
源点 y 到 # e 的矢径 r 和 n 的方向余弦为 r , i = r i r = [ ( s i 2 ) Ν+ Ε i ] r , n i = s i s
r 为 r 的长度, 可写为 R = r = a Ν + bΝ+ c = a [ ( Ν2 2
-
3
#
ij
j
3
8
ij
j
( 4) ( 5)
st
3
#
ijk k
=
3
#
ijk
k
3
8
ij k k
式中 -
∫——表示 Cauchy 主值积分 ∫——表示 H adamm a rd 主值积分
#
=
#
C ij ( 源自文库 ) —— 为位移奇性系数 B
ij st
( y ) ——为应力奇性系数
它们依赖于 # 面上 y 点附近几何形状和弹性常数, 对于光滑 边界点, C ij = ∆ij 2; 同时 tk 在 y 处连续, 则 B ijst ( y ) = ∆ijst ( y ) 2。 常规的弹性力学问题边界元解法基于 ( 4) 式获得边界上位移 ( 2) 式求内点位移和应力。 和面力, 再由 ( 1) 、 此中, 当源点处 r → 0 ( ( 5) 式中为奇异积 时, 各积分核出现不同程度的奇性, 反映在 4) 、 分, 在源点靠近的边界单元上, 常规的数值积分失败。 对二维问题, 设源点 y ( y 1 , y 2 ) 接近边界单元 Г e , 对单元上几何 形状和物理量作二节点线性插值, 见图 1。 设 # e 的始、 末二端节点 ( x 1F , x 2F ) , 将 # e 从总体坐标系 ox 1 x 2 变换到图示 坐标为 ( x 1 I , x 2 I ) 、
Abstract: T h is p ap er g ives a genera l a lgo rithm to dea l w ith the d ifficu lt p rob lem of ca lcu la t ing the quan t it ies a t in terio r po in t s very clo se to the bounda ry by the bounda ry elem en t m ethod (B EM ). In the a lgo rithm , w h ich is app lied to so lving tw o d im en siona l p rob lem s, the lea st d istance from the sou rce po in t to nea r bounda ry elem en t is t ran sfo rm ed ou t of the in teg ra l rep resen ta t ion s of the elem en t w ith an in teg ra t ion by p a rt s, so tha t the nea rly st rong ly singu la r and nea rly hyp ersingu la r in teg ra ls a re successfu lly com p u ted. T he a lgo rith in can a lso be u sed to ana lyze the p la tes and shells p rob lem s w ith the B EM. E sp ecia lly, it is m o re efficien t fo r so lving the nea rly singu la r in teg ra ls w hen the sup ersingu la r bounda ry in teg ra l equa t ion (B IE ) a re regu la rized to the st rong ly singu la r B IE. Key words: bounda ry elem en t m ethod s; nea rly singu la r in teg ra ls; bounda ry; m echan ics of ela st icity in terio r po in t s clo se to the
边界元法作为边界积分方程的离散数值法, 在求解场函数梯度变化大的问题中具有较大优越性。 边 界元法存在边界点和近边界点奇异积分的麻烦, 这个问题一直是边界元法研究的主题之一 在边界上时, r → 0 是一个取极限过程, 现有方法
[ 4, 5 ] [1 ～ 3]
。当源点
利用极限分析已有效求解了满足 H ǒ lder 连续性条
收稿日期: 1999209216 基金项目: 国家自然科学基金资助项目 (19572060) ; 原机械工业部科学基金资助项目 (98250918) 作者简介: 牛忠荣 (1957- ) , 男, 合肥工业大学教授, 硕士生导师; 王秀喜 (1937- ) , 男, 中国科学技术大学教授, 博士生导师.
(1. Schoo l of C ivil Eng ineering, H efei U n iversity of T echno logy, H efei 230009, Ch ina; 2. D ep artm en t of M echan ics, U n iversity of Science and T echno logy of Ch ina, H efei 230026, Ch ina)
(1. 合肥工业大学 土木建筑工程学院, 安徽 合肥 230009; 2. 中国科学技术大学 力学系, 安徽 合肥 230026)
摘 要: 该文针对边界元法存在近边界点力学量计算的困难, 给出了一个通用性方法, 将近边界点到边界单元的距离参数通 过分部积分变换到积分式之外, 从而计算出二维问题近边界点参量的几乎强奇异和超奇异积分。 该法同样适用于板壳问题 的边界元法, 尤其是对于将超奇异边界积分方程正则化为强奇异边界积分方程的边界元法, 求解近边界点参量更加有效。 关键词: 边界元法; 奇异积分; 近边界点; 弹性力学 中图分类号: O 343. 1 文献标识码: A 文章编号: 100325060 (2000) 0120086205
C ij ( y ) u j ( y ) = B
ijst
T (x , y ) u (x ) d # (x ) + U b d8 ∫ ∫ (y ) Ρ (y ) = W t (x ) d # (x ) S u (x ) d # (x ) + W b d8 ∫ ∫ ∫
3 #
ij
U ∫
(x , y ) t j (x ) d # (x ) -
The ca lcula tion of nearly s ingular in tegra ls about po in ts close to boundary in boundary in tegra l equa tion
1 1 2 1 NI U Zhong 2rong , ZHOU H uan 2lin , W AN G X iu 2x i , ZHAN G Chen 2li