导数在经济学中的应用

例4.设某产品的需求函数x与价格P的关系为
Q(
P
)
1600
1 4
P
.
（1）求需求弹性 ( P )；
（2）当商品的价格P 1（ 0 元）时，再增加1，
求该商品需求量的变化情况.
解：需求弹性为
(P) P Q(P)
Q(P)
(P)
P
1600
1 4
P
1600
1 4
P
P
1600
当x 150时，边际利润为 L(150) 0.2 150 60 30， 当x 400时，边际利润为 平均收入函数为 L(400) 0.2 400 60 20. 可见，销售第151个产品，利润将增加30元， 而销售第401个产品，利润将减少20元.
二、函数的弹性
定义1：函数的相对改变量 y f ( x x) f ( x)
增加；价格下跌，总收益减少.
（ 2）若 | | 1，需求变动的幅度大于价格
变动的幅度.R 0，R递减.即价格上涨，总收益 减少；价格下跌，总收益减少.
（ 3）若 | | 1，需求变动的幅度等于价格
变动的幅度.R=0，R取得最大值. 综上所述，总收益的变化受需求弹性的制 约，随商品需求弹性的变化而变化.
解：在每天生产10件的基础上再多生产一件的 成本大约为C (10)：
C( x) d ( x3 2 x2 12x) 3x2 4x 12， dx
C(10) 27（ 2 元）， 即多生产一件的附加成本为272元，边际收入为
R( x) d ( x3 3 x2 10x) 3x2 6x 10 dx
例3.设某产品的需求函数为P 80 0.1（ x P是 价格，x是需求量），成本函数为C 5000 20x. 试求边际利润函数L( x)，并分别求x 150和 x 400时的边际利润. 解：已知P( x) 80 0.1x,C( x) 5000 20x， 则有 R( x) P x (80 0.1x) x 80x 0.1x2， 边际利润函数为 L( x) (0.1x2 60x 5000) 0.2x 60，
R( x) R( x) 10 0.01x. x
边际收入函数为 R( x) (10 x 0.01x2 ) 10 0.02 x. x 300时的总收入为 R(300) 10 300 0.01 3002 210（ 0 元）， 平均收入为 R(300)=10 0.01 3002 =（ 7 元）， 边际收入为 R(300) 10 0.02 300 （ 4 元）.
y
三、需求弹性
需求函数Q f (P)在某产品价格为P时的需求弹 性为：
(P) lim Q / Q lim Q P P f (P) .
P0 P / P P0 P Q
f (P)
一般地，需求函数是单调减少函数，需求量随价格
的提高而减少（当P 0时，Q 0），故需求弹性 一般是负值，它反映产品需求量对价格变动反应的
y
f (x)
与自变量的相对改变量 x 之比 y / y ，称为函数
x
x / x
f ( x)从x到x x两点间的弹性（或相对变化率）.
而极限 lim y / y 称为函数f ( x)从在点x的弹性 x0 x / x
（或相对变化率），记为
Ey lim y / y lim y x y x .
Ex x0 x / x x0 x y
强烈程度（灵敏度）.
四、用需求弹性分析总收益的变化
总收益R是商品价格P与销售量Q的乘积，即 R P Q P f (P )，
由R
f (P) Pf (P)
f (P)1
f (P)
P
f
(
P
)
f (P)(1 )
知：（1）若 | | 1，需求变动的幅度小于价格
变动的幅度.R 0，R递增.即价பைடு நூலகம்上涨，总收益
1 4
P
1600
1 4
ln
P
1 4
P ln 1 (2 ln 2)P 1.39P. 4
需求弹性为负，说明该商品价格P上涨1时，
商品需求量Q将减少1.39P
（ 2）当商品的价格P 1（ 0 元）时，
(10) 1.3910 13.9，
这表示价格P 10元时，价格上涨1，该商品的 需求量将减少1.39若价格降低1，商品的需求 量将增加1.39
小结
基本概念： 边际，弹性 边际函数，函数的弹性，需求弹性
收入函数：R( x) xP( x) 利润函数：L( x) R( x) C( x（) C( x)是成本函数）
收入函数的导数R( x)称为边际收入函数；
利润函数的导数L( x)称为边际利润函数.
例1.设产品在生产8到20件的情况下，生产x件 的成本与销售x件的收入（单位：元）分别为 C( x) x3 2 x2 12 x，R( x) x3 3 x2 10 x 某工厂目前每天生产10件，试问每天多生产一 件的成本为多少？每天多销售一件产品而获得 的收入为多少？
R(10) 25（ 0 元） 即多销售一件产品而增加的收入为250元.
例2.设某产品的需求函数为x 1000 100P 求当需求量x 300时的总收入，平均收入和 边际收入. 解：销售x件价格为P的产品收入为R( x) P x 将需求函数P 10 0.01x代入，得总收入函数 R( x) (10 0.01x) x 10 x 0.01x2 . 平均收入函数为
一、边际函数
在经济学中，习惯上用平均和边际这两个概念 来描述一个经济变量y对于另一个经济变量x的变化. 平均概念表示x在某一范围内取得y的变化，边际概 念表示当x的改变量x趋于0时，y的相应改变量y 与x比值的变化，即当x在某一给定值附近有微小 变化时，y的瞬时变化.
边际函数：根据导数的定义，导数f ( x0 )表示函数 f ( x)在点x x0的变化率，在经济中，称其为f ( x)在 点x x0的边际函数值. 边际成本：成本函数C C( x（) x是变量）的导数 C( x)称为边际成本函数. 边际收入与边际利润：在估计产品销售量x时，给 产品所定的价格P(x)称为价格函数，可以期望P(x)应 是x的递减函数.