贪心算法

6.贪心方法模型
a.工程计划模型 b.部分背包与每步最优 c.构造贪心算法
a.工程计划模型
我们常常碰到这样的问题：完成一个工程需
要若干个步骤，每个步骤都有若干种方法， 图示—— 步骤a 步骤b 步骤c ... 步骤n 方法b1 方法c1 方法a1 方法b2 方法c2 方法n1 方法a2 方法b3 方法c3 方法c4

种树问题：一条街道分为n个区域（按1-n编号）， 每个都可种一棵树。有m户居民，每户会要求在区 域i-j区间内种至少一棵树。现求一个能满足所有要 求且种树最少的方案。 算法构造： 1.对于要求，以区间右端（升序）为首要关键字， 左端（升序）为次要关键字排序。 2.按排好的序依次考察这些要求，若未满足，则在 其最右端的区域种树，这时可能会满足多个要求。 证明思路：解法并不唯一，关键是证明没有比该解 法更好的解法。按步骤1排序之后，会发现对于每 个要求，在最右边的区域内种树所得的结果总不会 差于在其他区域种树。至于为什么这样排序，留给 你——读者们思考吧。

每个方法有一个权值（如效率、质量），其大小往 往和其他步骤中选取的方法有关。有些时候权值无 意义，表示方法不可选择。要求给出一个方法组合， 是权值和最大。 在这里，暂且把它称作“工程计划”。很多实际问 题都可以归纳为这个模型。 对于不同形式的工程计划，我们有不同的解法。 若权值与整个过程或前后步骤的方法选择都有关， 我们使用搜索算法——时间复杂度高得吓人。 若每个权值只与上（或下）一步或少数几步的方法 选择都有关，我们使用动态规划——有比较高的效 率，在下一章会讲到。 若每个权值与其他步骤的方法选择都没有关系，我 们使用贪心方法。

算法分析：设a[i]为第I堆纸牌的张数（0<=I<=n）， v为均分后每堆纸牌的张数，s为最小移动次数。 我们用贪心算法，按照从左到右的顺序移动纸牌。 如第I堆的纸牌数不等于平均值，则移动一次（即s 加1），分两种情况移动： 1．若a[i]>v，则将a[i]-v张从第I堆移动到第I+1堆； 2．若a[i]<v，则将v-a[i]张从第I+1堆移动到第I堆。 为了设计的方便，我们把这两种情况统一看作是将 a[i]-v从第I堆移动到第I+1堆，移动后有a[i]=v; a[I+1]=a[I+1]+a[i]-v. 在从第I+1堆取出纸牌补充第I堆的过程中可能回出 现第I+1堆的纸牌小于零的情况。


问题：有N件物品和一个最大载重为M的背包，每 件物品都有相应的重量和价值。现要求给出一个存 放方案，使背包中物品总价值最大。部分背包要求， 每件物品都可只装入它的一部分（部分重量有成比 例的部分价值）。所涉及到的数字均为整数。 （注：有时该问题表述为体积形式，即背包体积有 限，每件物品有体积和价值。在本系列我选择表述 为重量形式。） 思路：背包中物品总价值最高，即单位重量物品价 值最高。显然，应该多装单位重量价值高的物品。 这样，我们先装入单位重量价值最高的物品，再装 入第二高的……直到重量达到M（有必要时最后一 件物品只装一部分），已达到物品总价值最高。该 算法时间复杂度O(n)，效率很高；而且实现很容易。 这些是贪心法最大的特点。

int total = 100,value = 33,change = 0,complete = 0,left = 0,cur_change = 0; while(!complete) { left = total – value – change; if(left <= 0 ) complete = 1; else { if(left>=25) cur_change = 25; eles if (left>=10) cur_change = 10; else if (left>=5) cur_change = 5; else if(left>=1) cur_change = 1; } if(!change) { change = change+cur_change; printf(― %d‖,cur_change); } }

很多竞赛题看似可以用贪心法，其实贪心法得不到 最优解，原因是每一步的选择对其他步骤有影响。 数字三角形问题：有一个数字三角形（如下图）。 现有一只蚂蚁从顶层开始向下走，每走下一级时， 可向左下方向或右下方向走。求走到底层后它所经 过的数的最大值。 1 63 826 2165 32476

假设需要找给小孩6 7美分，首先入选的是两枚2 5美分的硬 币，第三枚入选的不能是2 5美分的硬币，否则硬币的选择 将不可行（零钱总数超过6 7美分），第三枚应选择1 0美分 的硬币，然后是5美分的，最后加入两个1美分的硬币。 贪婪算法有种直觉的倾向，在找零钱时，直觉告诉我们应使 找出的硬币数目最少（至少是接近最少的数目）。可以证明 采用上述贪婪算法找零钱时所用的硬币数目的确最少
如果用贪心法，每次向最大的方向走，得到
结果为1+6+8+2+3=20。可是明明还有另一 条路，1+3+6+6+7=23。 问题出在哪？每次的选择对后面的步骤会有 影响！第三级选了8，就选不到第四、五级较 大的数了。 这个问题正确的解法会在下一章介绍。 有一个很实用的小技巧：竞赛题会给出数据 规模。通过数据规模，我们可以大致判断该 用何种算法。贪心算法可承受的数据规模很 大，一般都会上万。如果给出的数据规模是 100或1000，优先考虑动态规划吧

2、局部最优解： 由于运用贪心策略解题在每一次都取得了最优 解，但能够保证局部最优解得不一定是贪心算法。 如大家所熟悉得动态规划算法就可以满足局部最优 解， 在遇到具体问题时，许多选手往往分不清哪些 题该用贪心策略求解，哪些题该用动态规划法求解。 在此，我们对两种解题策略进行比较。
三、贪心和动态规划比较
贪心算法
1、 贪心策略的定义


贪心算法（又称贪婪算法）是指，在对问题求解时，总是做 出在当前看来是最好的选择。也就是说，不从整体最优上加 以考虑，他所做出的仅是在某种意义上的局部最优解。贪心 算法不是对所有问题都能得到整体最优解，但对范围相当广 泛的许多问题他能产生4;一词我们便可以看出，贪心策略总 是做出在当前看来是最优的选择，也就是说贪心策略并不是 从整体上加以考虑，它所做出的选择只是在某种意义上的局 部最优解，而许多问题自身的特性决定了该题运用贪心策略 可以得到最优解或较优解
while
5、应用举例

5-1 [找零钱] 一个小孩买了价值少于1美元的糖，并将1美元的钱交给售货员。售
货员希望用数目最少的硬币找给小孩。假设提供了数目不限的面值为2 5美分、1 0美分、5美分、及1美分的硬币。售货员分步骤组成要找的零钱数，每次加入一 个Байду номын сангаас币。选择硬币时所采用的贪婪准则如下：每一次选择应使零钱数尽量增大。 为保证解法的可行性（即：所给的零钱等于要找的零钱数），所选择的硬币不应 使零钱总数超过最终所需的数目。
二、贪心算法的特点
贪心算法有什么样的特点呢？
适用于贪心算法解决的问题应具有以下特点：
1、贪心选择性质：
所谓贪心选择性质是指应用同一规则f， 将原问题变为一个相似的、但规模更小的子 问题、而后的每一步都是当前看似最佳的选 择。这种选择依赖于已做出的选择，但不依 赖于未做出的选择。从全局来看，运用贪心 策略解决的问题在程序的运行过程中无回溯 过程。
b.部分背包与每步最优
强调：每个权值与其他步骤的方法选择都没有关系。 这样每步最优就可以得到全局最优——每一步都取 最大的权值就可以了。 换而言之，贪心算法要求，局部的贪心选择，可以 组成全局的最优解。 在实际问题中，这是需要证明的。如果这个无法证 明，贪心算法所得的解不是最优解，一般只是较优 解（较优解可为搜索剪枝提供方便）。 下面是贪心算法最经典的例子：部分背包问题。 （下一章会讲到另外两种背包问题。）
利用贪心算法解题，需要解决两个问题： 一是问题是否适合用贪心法求解。我们看一个找币 的例子，如果一个货币系统有三种币值，面值分别 为一角、五分和一分，求最小找币数时，可以用贪 心法求解；如果将这三种币值改为一角一分、五分 和一分，就不能使用贪心法求解。用贪心法解题很 方便，但它的适用范围很小，判断一个问题是否适 合用贪心法求解，目前还没有一个通用的方法，在 信息学竞赛中，需要凭个人的经验来判断。 二是确定了可以用贪心算法之后，如何选择一个贪 心标准，才能保证得到问题的最优解。在选择贪心 标准时，我们要对所选的贪心标准进行验证才能使 用，不要被表面上看似正确的贪心标准所迷惑，如 下面的例子
[均分纸牌］有N堆纸牌，编号分别为1，2，…，n。 每堆上有若干张,但纸牌总数必为n的倍数.可以在任 一堆上取若干张纸牌,然后移动。移牌的规则为：在 编号为1上取的纸牌，只能移到编号为2的堆上；在 编号为n的堆上取的纸牌，只能移到编号为n-1的堆 上；其他堆上取的纸牌，可以移到相邻左边或右边 的堆上。现在要求找出一种移动方法，用最少的移 动次数使每堆上纸牌数都一样多。例如：n=4，4堆 纸牌分别为：① 9 ② 8 ③ 17 ④ 6 移动三次可以达 到目的：从③取4张牌放到④ 再从③区3张放到②然 后从②去1张放到①。 输入输出样例：4 9 8 17 6 屏幕显示：3
四、贪心算法的基本思路如下：
1.建立数学模型来描述问题。 2.把求解的问题分成若干个子问题。 3.对每个子问题求解，得到每个子问题的局
部最优解。 4.把每个子问题的局部最优解合成为原来问 题的一个解。
4.1实现该算法的过程：
从问题的某一初始状态出发；
能朝给定总目标前进一步 do 求出可行解的一个解元素； 由所有解元素组合成问题的一个可行解；

如n=3，三堆指派数为1
2 27 ，这时v=10， 为了使第一堆为10，要从第二堆移9张到第一 堆，而第二堆只有2张可以移，这是不是意味 着刚才使用贪心法是错误的呢？ 我们继续按规则分析移牌过程，从第二堆移 出9张到第一堆后，第一堆有10张，第二堆剩 下-7张，在从第三堆移动17张到第二堆，刚 好三堆纸牌都是10，最后结果是对的，我们 在移动过程中，只是改变了移动的顺序，而 移动次数不便，因此此题使用贪心法可行的。
c.构造贪心算法
构造与证明是贪心算法的难点，常常要求我
们要有敏锐的观察力、多角度思考的变通能 力、丰富的数学知识和推理能力。 下面举几个贪心算法的例子，供大家揣摩、 掌握规律。

删数问题：给出一个N位的十进制高精度数，要求 从中删掉S个数字（其余数字相对位置不得改变）， 使剩余数字组成的数最小。 算法构造： 1.每次找出最靠前的这样的一对数字——两个数字 紧邻，且前面的数字大于后面的。删除这对数字中 靠前的一个。 2.重复步骤1，直至删去了S个数字或找不到这样的 一对数。 3.若还未删够S个数字，则舍弃末尾的部分数字，取 前N-S个。 证明思路：显然，在只删一个数字时，唯有步骤1 的方法能使数变小；可推理得出，删多个数字时， 所有最优的方法都可看做是对步骤1的重复。也就 是说，以上方法是最优策略之一。

工序问题：n件物品，每件需依次在A、B机床上加工。已知 第i件在A、B所需加工时间分别为A[i]、B[i]，设计一加工顺 序，使所需加工总时间最短。 算法构造： 1.设置集合F、M、S：先加工F中的，再加工M中的，最后 加工S中的。 2.对第i件，若A[i]>B[i]，则归入S；若A[i]=B[i]，则归入M。 3.对F中的元素按A[i]升序排列，S中的按B[i]降序排列。 证明思路： 1.F中的能“拉开”A、B加工同一件工件的结束时刻，为后 面的工件加工“拉开时间差”，利于节省总时间。S中的刚 好相反。因而，F中元素放在最前一定是最优策略之一。 2.F中A[i]小的前置，可以缩短开始时B的空闲时间，但会使F 所有工件“拉开的时间差”缩短。不过可以证明，后者带来 的损失不大于前者获得的优势。对称地，对S也一样。因而 步骤3是可行的。