中心流形定理

统在状态空间的流xi= (ti,x)在t→∞时沿着Ws(0)最终趋于平衡点(原点)
xi (t i, x) W s (0)
lim
t
(ti
,
x)
0
xLeabharlann BaiduW s (0)
• (2)不变不稳定流形Wu(0),系统在状态空间的轨道运动被限制在Ws(0)是，且系 统在状态空间的流xi= (ti,x)在t →-∞时沿着Wu(0)将趋于平衡点(原点)
dh(u) uv au3 buv (a c)u3 O(u5 ) dt
当(a+c)<0时，系统的零解稳定， 当(a+c)>0时，系统的零解不稳定
• 已知某三维非线性系统的状态方程为 u′=-v+βuω v′=u+ βvω w′=-ω+u2+v2+g(u,v, ω) 求其平衡点的稳定性 解：设w=h(u.v)是三维非线性系统的一个中心流形，则有
中心流形定理
中心流形定理的作用
• 当研究复杂的高维非线性动力系统分岔问题时 ,需 要利用中心流形定理或李雅普诺夫方法降低系统 维数 ,中心流形定理比用李雅普诺夫方法简单、明 了 ,可以把一个对ｎ维动力系统在奇点附近的各种 性态的研究简化为一个ｍ维 (ｍ≤ｎ)中心流形上的 流的方程的研究 .
线性系统按特征值的性质分为三类子空间
• 对于非线性系统dx/dt=f(x), 假设f(x)=0是平衡点，f(O)=0, 同时令A=Df(0) 假设A有k个特征值实部为0，k-n个实部为负，另x=(u,v) 有 u′=Cu+g1(u,v)=f1(u,v) v′=Bu+g2(u,v)=f2(u,v) 则中心流形Wc={(u,v)|v=h(u),h(O)=0,Dh(O)=0}
另选取李雅普诺夫函数
V(u.v)=0.5(u2+v2) 可得原非线性系统的全导数为：
dV/dt=β(u2+v2)[(u2+v2)+h3(u,v)] 根据李雅普诺夫函数判断
当β>0,系统不稳定 当β<0,系统稳定 当β=0,系统稳定
(1)稳定子空间Es(0)
设矩阵A共有ns个特征值，且实部都小于0。 这ns个特征向量构成一个ns维的子空间就是Es(0).
x(t, x0 ) Es (0)
lim
t
x(t
,
x0
)
0
x0 E s (0)
(2)不稳定子空间Eu(0)
设矩阵A共有nu个特征值，且实部都大于0。 这nu个特征向量构成一个nu维的子空间就是Eu(0).
xi (t i, x) W u (0) tlim(ti , x) 0 x W u (0)
• (3)不变中心流形Wc(0), 表示相切于非线性n维自治系统线性化向量场零特征 值所对应的特征向量。
中心流形定理
• 设非线n维自治系统dx/dt=f(x)的平衡点是原点，在平衡点 (原点)外对非线性n维自治系统线性化，其线性化系统的不 变子空间分为不变稳定子空间Es(0)，不变不稳定子空间 Eu(0),不变中心子空间Ec(0)，而其非线性n维自治系统的 流形则分为稳定流形Ws(0)，不稳定流形Wu(0)和中心流形 Wc(0),它们分别在平衡点(原点)和其线性化系统的不变子 空间Es(0),Eu(0),Ec(0)相切， 并且Ws(0),Wu(0),Wc(0)的维 数 分 别 与 Es(0),Eu(0),Ec(0) 的 维 数 相 同 ， 而 且 稳 定 流 形 Ws(0)，不稳定流形Wu(0)的存在是唯一的;只有中心流形 Wc(0)在有些系统中可能不唯一，不唯一时可以任选其中 一个当作中心流形 Wc(0)来处理。
将v=h(u)代入u′=Cu+g1(u,v)=f1(u,v) 可得u′=Cu+g1(u,h(u)) , u∈Rk
定理4：
• 若系统u′=Cu+g1(u,h(u)),u∈Rk的原点是稳定(渐近稳定， 或不稳定)的，则原非线性系统dx/dt=f(x) 的原点也是稳定 (渐近稳定，或不稳定)的。
该定理说明，非线性系统在平衡点的稳定性可通过降维 为线性系统来判定。
h (v uh) h (u vh) h u2 v2 g(u, v,)
u
v
可令w=h(u,v)=h2(u,v)+h3(u,v)
可有 h2 (v) h2 (u) h u2 v2
u
v
令h2=au2+2buv+cv2,代入方程中可得 a=1,b=0,c=1
从而有h2=u2+v2 w= h2=u2+v2+h3(u,v)
x(t, x0 ) Eu (0)
lim
t
x(t,
x0
)
0
x0 E u (0)
(3)中心子空间Ec(0)
设矩阵A共有nc个特征值，且实部都小于0。 这nc个特征向量构成一个nc维的子空间就是Ec(0).
x(t, x0 ) Ec (0)
x0 E c (0)
• (1)不变稳定流形 Ws(0),系统在状态空间的轨道运动被限制在Ws(0)上，且系
• 例：已知某一非线性系统的状态方程为 du/dt=uv+au3+buv2 dv/dt=-v+cu2+du2v
应用中心流形定理进行分析。 解：令du/dt=uv+au3+buv2=0
dv/dt=-v+cu2+du2v=0 可得平衡点为(0,0)及平衡点的线性化矩阵为
0 0 A 0 1
可求得A的特征值为0，-1，特征向量为[1,0]T,[0,-1]T 则对应的子空间为Ec={(1,0)T} ,Es={(0,-1)T}
• 则非线性系统的中心流形为 Wc={(u,v)|v=h(u),h(O)=0,Dh(O)=0}
dh(u) [uh(u) au3 buh2 (u)] h(u) cu2 du2h(u) dt
设 h(u) 0 1u 2u2 3u3
可得 0 1 3 4 0, 2 c
有v=h(u)=cu2+O(u4)