转化与化归思想
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(1)由一般归纳法进行猜想的试题；(2)由平面到立体，由特 殊到一般进行类比猜想的试题；(3)抽象函数问题；(4)定点，定 值问题；(5)用特殊化方法解选择题等．
第 19 讲 │ 要点热点探究
► 探究点二 正与反的转化
例 2 试求常数 m 的范围，使曲线 y＝x2 的所有弦都 不能被直线 y＝m(x－3)垂直平分．
第 19 讲 │ 要点热点探究
在两数 a，b 之间插入 10 个数，使它们同这 两个数成等差数列，则这 10 个数的和为________．
【答案】 5(a＋b)
第 19 讲 │ 要点热点探究
【解析】 首先要设出所插入的 10 个数 x1，x2，x3，…， x10.利用已知条件求出公差 d 和插入的 10 个数的首项 x1，然 后利用求和公式来求和过程繁琐，若从“正难则反”的策略 来考虑此题的解法，利用整体思想，则解题过程非常简单．设 所插入的 10 个数的和为 S，则 S＝S12－(a＋b)＝12a2＋b－ (a＋b)＝5(a＋b)．
对任意的|m|≤2，函数 f(x)＝mx2－2x＋1－m 恒 负，则 x 的取值范围为________．
பைடு நூலகம்
【答案】
72－1，
3＋1 2
第 19 讲 │ 要点热点探究
【解析】 本题如果以 x 为主元，会给解题带来很大的难
度，而如果以 m 为主元，就为解题找到了一个新的突破口．对 任意的|m|≤2，有 mx2－2x＋1－m<0 恒成立，等价于|m|≤2 时，(x2－1)m－2x＋1<0 恒成立．设 g(m)＝(x2－1)m－2x＋1，
第 19 讲 │ 转化与化归思想
第 19 讲 转化与化归思想
第 19 讲 │ 主干知识整合
主干知识整合
解决数学问题时，常遇到一些问题直接求解较为困难， 通过观察、分析、类比、联想等思维过程，选择运用恰当 的数学方法进行变换，将原问题转化为一个新问题(相对来 说，转化为自己较熟悉的问题)，通过新问题的求解，达到 解决原问题的目的，这一思想方法我们称之为“化归与转 化的思想方法”．
第 19 讲 │ 规律技巧提炼
(3)和谐化原则：化归问题的条件或结论，使其表现形 式更符合数与形内部所表示的和谐的形式，或者转化命题， 使其推演有利于运用某种数学方法或其方法符合人们的思 维规律．
(4)直观化原则：将比较抽象的问题转化为比较直观的 问题来解决．
(5)正难则反原则：当问题正面讨论遇到困难时，可考 虑问题的反面，设法从问题的反面去探求，使问题获解．
∴z＝－t3＋t 在sin1π2， 22上的最大值为293，又 z>0，故
l
的最小值为9
2
3 .
【点评】 有些函数经过转化以后会使函数式更为简洁， 这样易于求导．这是等价转化思想的体现．
1．转化有等价转化和非等价转化．等价转化前后是充要 条件，所以尽可能使转化具有等价性；在不得已的情况下， 进行不等价转化，应附加限制条件，以保持等价性，或对所 得结论进行必要的验证．
2．化归与转化应遵循的基本原则： (1)熟悉化原则：将陌生的问题转化为熟悉的问题，以利 于我们运用熟知的知识、经验和问题来解决． (2)简单化原则：将复杂的问题化归为简单问题，通过对 简单问题的解决，达到解决复杂问题的目的，或获得某种解 题的启示和依据．
则原问题转化为 g(m)<0 恒成立(m∈[－2,2])，
∴gg－ 2<20<，0， 即22xx22＋ －22xx－ －31><00.，
解得
7－1 2 <x<
3＋1 2.
从而实数 x 的取值范围是 72－1， 32＋1.
第 19 讲 │ 规律技巧提炼
规律技巧提炼
－t2)＝－t3＋tsin1π2≤t≤ 22，l＝3z，z′＝－3t2＋1，令 z′＝0，
可得
t＝
3 3.
当
t∈sin1π2，
33时，z′>0，故函数
z＝－t3＋t
在sin1π2，
3 3
上是增函数；
第 19 讲 │ 课标挖掘提升
当 t∈ 33， 22时，z′<0，故函数 z＝－t3＋t 在 33， 22上 是减函数．
第 19 讲 │ 要点热点探究
要点热点探究 ► 探究点一 特殊与一般的转化
例 1 已知数列{an}，{bn}都是公差为 1 的等差数列， 其首项分别为 a1，b1，且 a1＋b1＝5，a1，b1∈N*，设 cn＝abn(n∈N*)，则数列{cn}的前 10 项和等于________．
【答案】 85
第 19 讲 │ 要点热点探究
【解析】 用特殊化策略．设 b1＝1，则 a1＝ab1＝4.从 而 bn＝n，于是有
cn＝abn＝ab1＋(bn－1)·1＝4＋n－1＝n＋3. c1＋c2＋…＋c10＝(1＋2＋…＋10)＋30＝85.
第 19 讲 │ 要点热点探究
【点评】 本题根据选择题的特点，对 b1 赋予特殊值，求 出数列{cn}的前 10 项和，由特殊到一般，再由一般到特殊反复 认识的过程是人们认识世界的基本过程之一．对数学而言，这 种由特殊到一般，再由一般到特殊的研究数学问题的基本认识 的过程，就是数学研究的特殊与一般的思想．在高考中，会有 意设计一些能集中体现特殊与一般的思想的试题，例如：
【解析】 ∵t∈[ 2，8]，∴f(t)∈12，3， 原题转化为：m(x－2)＋(x－2)2>0 恒成立，为 m 的一次函 数，当 x＝2 时，不等式不成立．
∴x≠2.令 g(m)＝m(x－2)＋(x－2)2，m∈12，3，
问题转化为
g(m)在
m∈12，3上恒大于
第 19 讲 │ 要点热点探究
【解答】 “不能”的反面是“能”，被直线垂直平分的弦 的两端点关于此直线对称，问题转化为“抛物线 y＝x2 上存在两 点关于直线 y＝m(x－3)对称，求 m 的取值范围”．再求出 m 的 取值集合的补集即为原问题的解．
抛物线上两点(x1，x21)，(x2，x22)关于直线 y＝m(x－3)对称， 满足
第 19 讲 │ 课标挖掘提升
课标挖掘提升 例题 苏教版教材必修 4P111 第 10 题
已知 l＝sinθ3cos2θθ∈1π2，π4，求 l 的最小值．
第 19 讲 │ 课标挖掘提升
【解答】 设 sinθ＝tsin1π2≤t≤ 22，z＝sinθcos2θ，则 z＝t(1
x21＋2 x22＝mx1＋2 x2－3， xx211－－xx222＝－m1 ，
x12＋x22＝mx1＋x2－6， ∴x1＋x2＝－m1 .
第 19 讲 │ 要点热点探究
消去 x2 得 2x21＋m2 x1＋m12＋6m＋1＝0. ∵x1∈R，∴Δ＝m2 2－8m12＋6m＋1>0， ∴(2m＋1)(6m2－2m＋1)<0，∴m<－12. 即当 m<－12时，抛物线上存在两点关于直线 y＝m(x－3) 对称． 而原题要求所有弦都不能被直线垂直平分，那么所求的范 围为 m≥－12.
第 19 讲 │ 主干知识整合
化归与转化思想的实质是揭示联系，实现转化．除极简单 的数学问题外，每个数学问题的解决都是通过转化为已知的问 题实现的．从这个意义上讲，解决数学问题就是从未知向已知 转化的过程．化归与转化的思想是解决数学问题的根本思想， 解题的过程实际上就是一步步转化的过程．数学中的转化比比 皆是，如未知向已知转化，复杂问题向简单问题转化，新知识 向旧知识的转化，命题之间的转化，数与形的转化，空间向平 面的转化，高维向低维转化，多元向一元转化，高次向低次转 化，超越式向代数式的转化，函数与方程的转化等，都是转化 思想的体现．
0，则g12>0， g3>0，
解得 x>2 或 x<－1.
第 19 讲 │ 要点热点探究
【点评】 根据已知条件，建立以参数为主元的不等式 是一个转化的数学思想，通过转化就可利用一次函数 g(m) 的单调性通过数形结合解决问题，体现了函数与不等式之间 的转化关系．
第 19 讲 │ 要点热点探究
第 19 讲 │ 要点热点探究
► 探究点三 常量与变量的转化
例 3 已知 f(t)＝log2t，t∈[ 2，8]，对于 f(t)值域内 的所有实数 m，不等式 x2＋mx＋4>2m＋4x 恒成立，x 的取值范围是________．
【答案】 (－∞，－1)∪(2，＋∞)
第 19 讲 │ 要点热点探究
第 19 讲 │ 要点热点探究
【点评】 (1)在运用补集的思想解题时，一定要搞清结论的 反面是什么，这里所有的弦都不能被直线 y＝m(x－3)垂直平分的 反面是“至少存在一条弦能被直线 y＝m(x－3)垂直平分”，而不 是“所有的弦都能被直线 y＝m(x－3)垂直平分”．(2)在探讨某一 问题的解决办法时，如果我们按照习惯的思维方式从正面思考遇 到困难，则应从反面的方向去探求．
第 19 讲 │ 要点热点探究
► 探究点二 正与反的转化
例 2 试求常数 m 的范围，使曲线 y＝x2 的所有弦都 不能被直线 y＝m(x－3)垂直平分．
第 19 讲 │ 要点热点探究
在两数 a，b 之间插入 10 个数，使它们同这 两个数成等差数列，则这 10 个数的和为________．
【答案】 5(a＋b)
第 19 讲 │ 要点热点探究
【解析】 首先要设出所插入的 10 个数 x1，x2，x3，…， x10.利用已知条件求出公差 d 和插入的 10 个数的首项 x1，然 后利用求和公式来求和过程繁琐，若从“正难则反”的策略 来考虑此题的解法，利用整体思想，则解题过程非常简单．设 所插入的 10 个数的和为 S，则 S＝S12－(a＋b)＝12a2＋b－ (a＋b)＝5(a＋b)．
对任意的|m|≤2，函数 f(x)＝mx2－2x＋1－m 恒 负，则 x 的取值范围为________．
பைடு நூலகம்
【答案】
72－1，
3＋1 2
第 19 讲 │ 要点热点探究
【解析】 本题如果以 x 为主元，会给解题带来很大的难
度，而如果以 m 为主元，就为解题找到了一个新的突破口．对 任意的|m|≤2，有 mx2－2x＋1－m<0 恒成立，等价于|m|≤2 时，(x2－1)m－2x＋1<0 恒成立．设 g(m)＝(x2－1)m－2x＋1，
第 19 讲 │ 转化与化归思想
第 19 讲 转化与化归思想
第 19 讲 │ 主干知识整合
主干知识整合
解决数学问题时，常遇到一些问题直接求解较为困难， 通过观察、分析、类比、联想等思维过程，选择运用恰当 的数学方法进行变换，将原问题转化为一个新问题(相对来 说，转化为自己较熟悉的问题)，通过新问题的求解，达到 解决原问题的目的，这一思想方法我们称之为“化归与转 化的思想方法”．
第 19 讲 │ 规律技巧提炼
(3)和谐化原则：化归问题的条件或结论，使其表现形 式更符合数与形内部所表示的和谐的形式，或者转化命题， 使其推演有利于运用某种数学方法或其方法符合人们的思 维规律．
(4)直观化原则：将比较抽象的问题转化为比较直观的 问题来解决．
(5)正难则反原则：当问题正面讨论遇到困难时，可考 虑问题的反面，设法从问题的反面去探求，使问题获解．
∴z＝－t3＋t 在sin1π2， 22上的最大值为293，又 z>0，故
l
的最小值为9
2
3 .
【点评】 有些函数经过转化以后会使函数式更为简洁， 这样易于求导．这是等价转化思想的体现．
1．转化有等价转化和非等价转化．等价转化前后是充要 条件，所以尽可能使转化具有等价性；在不得已的情况下， 进行不等价转化，应附加限制条件，以保持等价性，或对所 得结论进行必要的验证．
2．化归与转化应遵循的基本原则： (1)熟悉化原则：将陌生的问题转化为熟悉的问题，以利 于我们运用熟知的知识、经验和问题来解决． (2)简单化原则：将复杂的问题化归为简单问题，通过对 简单问题的解决，达到解决复杂问题的目的，或获得某种解 题的启示和依据．
则原问题转化为 g(m)<0 恒成立(m∈[－2,2])，
∴gg－ 2<20<，0， 即22xx22＋ －22xx－ －31><00.，
解得
7－1 2 <x<
3＋1 2.
从而实数 x 的取值范围是 72－1， 32＋1.
第 19 讲 │ 规律技巧提炼
规律技巧提炼
－t2)＝－t3＋tsin1π2≤t≤ 22，l＝3z，z′＝－3t2＋1，令 z′＝0，
可得
t＝
3 3.
当
t∈sin1π2，
33时，z′>0，故函数
z＝－t3＋t
在sin1π2，
3 3
上是增函数；
第 19 讲 │ 课标挖掘提升
当 t∈ 33， 22时，z′<0，故函数 z＝－t3＋t 在 33， 22上 是减函数．
第 19 讲 │ 要点热点探究
要点热点探究 ► 探究点一 特殊与一般的转化
例 1 已知数列{an}，{bn}都是公差为 1 的等差数列， 其首项分别为 a1，b1，且 a1＋b1＝5，a1，b1∈N*，设 cn＝abn(n∈N*)，则数列{cn}的前 10 项和等于________．
【答案】 85
第 19 讲 │ 要点热点探究
【解析】 用特殊化策略．设 b1＝1，则 a1＝ab1＝4.从 而 bn＝n，于是有
cn＝abn＝ab1＋(bn－1)·1＝4＋n－1＝n＋3. c1＋c2＋…＋c10＝(1＋2＋…＋10)＋30＝85.
第 19 讲 │ 要点热点探究
【点评】 本题根据选择题的特点，对 b1 赋予特殊值，求 出数列{cn}的前 10 项和，由特殊到一般，再由一般到特殊反复 认识的过程是人们认识世界的基本过程之一．对数学而言，这 种由特殊到一般，再由一般到特殊的研究数学问题的基本认识 的过程，就是数学研究的特殊与一般的思想．在高考中，会有 意设计一些能集中体现特殊与一般的思想的试题，例如：
【解析】 ∵t∈[ 2，8]，∴f(t)∈12，3， 原题转化为：m(x－2)＋(x－2)2>0 恒成立，为 m 的一次函 数，当 x＝2 时，不等式不成立．
∴x≠2.令 g(m)＝m(x－2)＋(x－2)2，m∈12，3，
问题转化为
g(m)在
m∈12，3上恒大于
第 19 讲 │ 要点热点探究
【解答】 “不能”的反面是“能”，被直线垂直平分的弦 的两端点关于此直线对称，问题转化为“抛物线 y＝x2 上存在两 点关于直线 y＝m(x－3)对称，求 m 的取值范围”．再求出 m 的 取值集合的补集即为原问题的解．
抛物线上两点(x1，x21)，(x2，x22)关于直线 y＝m(x－3)对称， 满足
第 19 讲 │ 课标挖掘提升
课标挖掘提升 例题 苏教版教材必修 4P111 第 10 题
已知 l＝sinθ3cos2θθ∈1π2，π4，求 l 的最小值．
第 19 讲 │ 课标挖掘提升
【解答】 设 sinθ＝tsin1π2≤t≤ 22，z＝sinθcos2θ，则 z＝t(1
x21＋2 x22＝mx1＋2 x2－3， xx211－－xx222＝－m1 ，
x12＋x22＝mx1＋x2－6， ∴x1＋x2＝－m1 .
第 19 讲 │ 要点热点探究
消去 x2 得 2x21＋m2 x1＋m12＋6m＋1＝0. ∵x1∈R，∴Δ＝m2 2－8m12＋6m＋1>0， ∴(2m＋1)(6m2－2m＋1)<0，∴m<－12. 即当 m<－12时，抛物线上存在两点关于直线 y＝m(x－3) 对称． 而原题要求所有弦都不能被直线垂直平分，那么所求的范 围为 m≥－12.
第 19 讲 │ 主干知识整合
化归与转化思想的实质是揭示联系，实现转化．除极简单 的数学问题外，每个数学问题的解决都是通过转化为已知的问 题实现的．从这个意义上讲，解决数学问题就是从未知向已知 转化的过程．化归与转化的思想是解决数学问题的根本思想， 解题的过程实际上就是一步步转化的过程．数学中的转化比比 皆是，如未知向已知转化，复杂问题向简单问题转化，新知识 向旧知识的转化，命题之间的转化，数与形的转化，空间向平 面的转化，高维向低维转化，多元向一元转化，高次向低次转 化，超越式向代数式的转化，函数与方程的转化等，都是转化 思想的体现．
0，则g12>0， g3>0，
解得 x>2 或 x<－1.
第 19 讲 │ 要点热点探究
【点评】 根据已知条件，建立以参数为主元的不等式 是一个转化的数学思想，通过转化就可利用一次函数 g(m) 的单调性通过数形结合解决问题，体现了函数与不等式之间 的转化关系．
第 19 讲 │ 要点热点探究
第 19 讲 │ 要点热点探究
► 探究点三 常量与变量的转化
例 3 已知 f(t)＝log2t，t∈[ 2，8]，对于 f(t)值域内 的所有实数 m，不等式 x2＋mx＋4>2m＋4x 恒成立，x 的取值范围是________．
【答案】 (－∞，－1)∪(2，＋∞)
第 19 讲 │ 要点热点探究
第 19 讲 │ 要点热点探究
【点评】 (1)在运用补集的思想解题时，一定要搞清结论的 反面是什么，这里所有的弦都不能被直线 y＝m(x－3)垂直平分的 反面是“至少存在一条弦能被直线 y＝m(x－3)垂直平分”，而不 是“所有的弦都能被直线 y＝m(x－3)垂直平分”．(2)在探讨某一 问题的解决办法时，如果我们按照习惯的思维方式从正面思考遇 到困难，则应从反面的方向去探求．