2015中考夺分自主复习课件第12讲 二次函数的图象与性质

第12讲┃ 二次函数的图象与性质
3．设 A(－2，y1)，B(1，y2)，C(2，y3)是抛物线 y＝ －(x＋1)2＋a 上的三点， 则 y1， y2， y3 的大小关系为( A ) A．y1>y2>y3 B．y1>y3>y2 C．y3>y2>y1 D．y3>y1>y2
[解析] ∵函数的解析式是 y＝－(x＋ 1)2＋a，如图所示，∴对称轴是 x＝－1， ∴点 A 关于对称轴的对称点 A′是(0， y1)， 则点 A′，B，C 都在对称轴的右边，而在 对称轴右边，y 随 x 的增大而减小， ∴y1>y2>y3.故选 A.
考点3
抛物线的平移
1．将抛物线 y＝3x2 向上平移 3 个单位长度，再向左平 移 2 个单位长度， 那么得到的抛物线的函数解析式为( A ) A．y＝3(x＋2)2＋3 B．y＝3(x－2)2＋3 C．y＝3(x＋2)2－3 D．y＝3(x－2)2－3
[解析] 由“上加下减”的平移规律可知，将抛物线 y＝ 3x2 向上平移 3 个单位长度所得抛物线的函数解析式为 y＝ 3x2＋3；由“左加右减”的平移规律可知，将抛物线 y＝3x2 ＋3 向左平移 2 个单位长度所得抛物线的函数解析式为 y＝ 3(x＋2)2＋3.故选 A.
2． 已知二次函数 y＝2(x－3)2＋1.下列说法： ①其图象的 开口向下；②其图象的对称轴为直线 x＝－3；③其图象的顶 点坐标为(3，－1)；④当 x＜3 时，y 随 x 的增大而减小．其 中说法正确的有 ( A ) A．1 个 B．2 个 C．3 个 D．4 个
[解析] ∵a＝2＞0，∴抛物线开口向上．由二次函数的顶点 式可得抛物线的对称轴为 x＝3，顶点坐标为(3，1)．∵a＝2>0， ∴当 x＜3 时，y 随 x 的增大而减小，当 x>3 时，y 随 x 的增大 而增大．由此可得正确的只有 1 个，故选 A.
第12讲┃ 二次函数的图象与性质
3． 二次项系数为－1 的抛物线的图象如图 12－1， 则该 y＝－x2＋x＋2 ． 抛物线的函数解析式为________________
图 12－1
[解析] 由图象得该二次函数解析式为 y＝－1×[x－ (－1)](x－2)，即 y＝－x2＋x＋2.
第12讲┃ 二次函数的图象与性质
第12讲┃ 二次函数的图象与性质
【归纳总结】
将抛物线 y＝ax2＋bx＋c(a≠0)用配方法化成 y＝a(x－h)2 ＋k(a≠0)的形式，而任意抛物线 y＝a(x－h)2＋k 均可由抛物 线 y＝ax2 平移得到，具体平移方法如下：
图 12－2 第12讲┃ 二次函数的图象与性质
考点4
二次函数的图象与a，b，c的关系
第12讲┃ 二次函数的图象与性质
2．求二次函数的解析式时，应根据所给条件，灵活选 择函数解析式，然后用待定系数法求出未知系数的值． ①已知抛物线上的三点，可设为一般式； ②已知抛物线的顶点、对称轴或最大(小)值，可设为顶 点式； ③若已知抛物线与 x 轴的两个交点，可设为交点式或 一般式．
第12讲┃ 二次函数的图象与性质
第12讲┃ 二次函数的图象与性质
【归纳总结】
1．二次函数 y＝ax2＋bx＋c(a，b，c 为常数，a≠0) 的图象是一条____________ ． 抛物线 2．二次函数 y＝ax2＋bx＋c(a，b，c 为常数，a≠0) 的性质： a>0 a<0 图象
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开口 方向 对称轴 顶点 坐标 性 质 增减性
第12讲┃ 二次函数的图象与性质
[中考点金]
解答抛物线与直线同坐标系问题时，应先根据直线 的位置确定一次函数中相关系数的符号，再由此判定抛 物线的大体位置，若二者相符合，则正确；若二者相矛 盾，则不正确．
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变式题 已知 a≠0，在同一平面直角坐标系中，函数 y＝ ax 与 y＝ax2 的图象有可能是 ( C )
【归纳总结】
1．二次函数的解析式主要有三种形式： 一般式：y＝__________( ax2＋bx＋c a，b，c 为常数，且 a≠0)． 顶点式：y＝_______ a(x－h)2＋k_(a，h，k 为常数，且 a≠0)， 其中抛物线的顶点为(h，k)． 交点式：设抛物线与 x 轴交于点 A(x1，0)，B(x2，0)， 则抛物线的函数解析式为 y＝a(x－x1)(x－x2)(a≠0)．
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2．在平面直角坐标系中，若将抛物线 y＝2x2－4x＋3 先向右平移 3 个单位长度，再向上平移 2 个单位长度，则 经过这两次平移后所得抛物线的顶点坐标是 ( D ) A．(－2，3) B．(－1，4) C．(1，4) D．(4，3)
[解析] ∵y＝2x2－4x＋3＝2x2－4x＋2＋1＝2(x2－2x＋ 1)＋1＝2(x－1)2＋1，∴将抛物线 y＝2x2－4x＋3 经两次平 移后所得的新抛物线的函数解析式为 y＝2(x－1－3)2＋1＋ 2，即 y＝2(x－4)2＋3，∴新抛物线的顶点坐标为(4，3)．故 选 D.
b
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【知识树】
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第12讲┃ 二次函数的图象与性质
┃考向互动探究与方法归纳┃
探究一 求二次函数的最值
1 例 1 函数 y＝－(x－2)(x－3)的最大值是________ ． 4
1．已知抛物线 y＝ax2＋bx＋c(a≠0)在平面直角坐标系 中的位置如图 12－3 所示，则下列结论中正确的是 ( D )
图 12－3 A．a>0 C．c＜0 B．b＜0 D．a＋b＋c>0
第12讲┃ 二次函数的图象与性质
[解析] ∵抛物线的开口向下，∴a＜0.又∵抛物线的对 称轴在 y 轴的右侧，∴a，b 异号，∴b＞0.∵抛物线与 y 轴 的交点在 x 轴上方，∴c＞0.又∵当 x＝1 时，对应的函数 值在 x 轴上方，即当 x＝1 时，y＝ax2＋bx＋c＝a＋b＋c＞ 0.∴选项 A，B，C 都错，只有选项 D 正确．
大；当 x<－
小；当 x<－
y 随 x 的增大而________ 减小 b 时，y 有最小值， 2a 4ac－b 4a
2
y 随 x 的增大而________ 增大 b 当 x＝－ 时，y 有最大值， 2a
当 x＝－ 最值
y 最小＝
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4ac－b2 y 最大＝________ 4a
D．1 个
第12讲┃ 二次函数的图象与性质
【归纳总结】
二次函数 y＝ax2＋bx＋c(a，b，c 为常数，a≠0)的系数符号 与其图象之间有如下关系：
系数 a 影响因素 a>0⇔抛物线开口向上；a<0⇔抛物线开口向下 b 抛物线的对称轴为 x＝－ ； 2a a，b 同号⇔对称轴在 y 轴的左侧，a，b 异号⇔对称 轴在 y 轴的右侧；________ b＝0 ⇔对称轴为 y 轴 抛物线与 y 轴的交点为(0，c)； c c>0⇔抛物线与 y 的正半轴相交，c＝0⇔抛物线过 原点 ；c<0⇔抛物线与 y 轴的负半轴相交 ________
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2．若抛物线 y＝ax2＋bx＋c 的顶点是 A(2，1)，且经过点 2 y ＝－ x ＋4x－3 ． B(1，0)，则该抛物线的函数解析式为__________________
[解析] 根据题意，设抛物线的函数解析式为 y＝a(x－2)2＋ 1，因为抛物线经过点(1，0)，所以 a＋1＝0，a＝－1.因此，抛 物线的函数解析式为 y＝－(x－2)2＋1＝－x2＋4x－3.
[解析] 把二次函数的解析式由交点式转化为顶点式， 可 52 1 2 求其最值．y＝－(x－2)(x－3)＝－x ＋5x－6＝－(x－ ) ＋ . 2 4 5 1 所以当 x＝ 时，函数的最大值为 . 2 4
第12讲┃ 二次函数的图象与性质
[中考点金]
确定二次函数的最值， 首先看自变量的取值范围， 再分 别求出二次函数在顶点处的函数值和在端点处的函数值， 比 较这些函数值， 其中最大的是函数的最大值， 最小的是函数 的最小值． 求函数在顶点处的函数值的方法有①把二次函数 4ac－b2 b 化为一般式，则当 x＝－ 时，其最值为 ；②把二次 2a 4a 函数化为顶点式 y＝a(x－h)2＋k， 则当 x＝h 时， 其最值为 k； ③在图象上，对称轴与抛物线交点的纵坐标，即为其最值．
图 12－6
第12讲┃ 二次函数的图象与性质
探究三 抛物线对称性的应用
例 3 如图 12－7，在平面直角坐标系中，二次函数 y＝ax2 ＋c(a＜0)的图象过正方形 ABOC 的三个顶点 A，B，C，则 ac 的 值是________ －2 ．
第12讲
二次函数的图象与性质
┃考点自主梳理与热身反馈 ┃ 考点1 求二次函数的解析式
1．若二次函数 y＝ax2 的图象经过点 P(2，16)，则该二 2 y ＝ 4 x 次函数的解析式为________________．
[解析] 将 x＝2，y＝16 代入 y＝ax2，得 16＝a×22， ∴a＝4，∴该二次函数的解析式为 y＝4x2.
开口向上，并向上 方无限延伸
开口向下，并向下
b － 2a x＝______
方无限延伸
b 4ac－b2 － (__________ ，______________) 2a 4a
当 x>－ b 时，y 随 x 的增大而增 2a b 时， 2a 当 x>－ b 时，y 随 x 的增大而减 2a b 时， 2a
第12讲┃ 二次函数的图象与性质
2. 如图 12－4 所示的二次函数 y＝ax2＋bx＋c 的图象中， 刘星同学观察得出了下面四条信息：(1)b2－4ac>0；(2)c>1； (3)2a－b<0；(4)a＋b＋c<0.你认为其中错误 的有 ( D ) ．．
A．4 个
B．3 个
图 12－4 C．2 个
第12讲┃ 二次函数的图象与性质
探究二 抛物线与直线同坐标系问题的解答
例 2 在同一平面直角坐标系中，函数 y＝mx＋m 和 y＝ －mx2＋2x＋2(m 是常数， 且 m≠0)的图象可能是 ( D )
图 12－5
第12讲┃ 二次函数的图象与性质
[解析] 因为 m≠0，当 m>0 时，直线 y＝mx＋m 经过 第一、二、三象限，抛物线 y＝－mx2＋2x＋2 开口向下， 且与 y 轴交于正半轴，对称轴在 y 轴右侧，四个选项中没 有符合要求的答案； 当 m<0 时， 直线 y＝mx＋m 经过第二、 三、四象限，抛物线 y＝－mx2＋2x＋2 的开口向上，且与 y 轴交于正半轴， 对称轴在 y 轴的左侧， 四个选项中只有 D 符合要求．
考点2
二次函数的图象与性质
( C )
1． 抛物线 y＝－2x2＋1 的对称轴是 1 1 A．直线 x＝ B．直线 x＝－ 2 2 C．y 轴 D．直线 x＝2
0 b [解析] ∵x＝－ ＝－ ＝0， 2a 2×（－2） ∴抛物线 y＝－2x2＋1 的对称轴为 y 轴．故选 C.
第12讲┃ 二次函数的图象与性质
第12讲┃ 二次函数的图象与性质
变式题 求函数 y＝2x2－8x＋6 在下列自变量取值范围 内的最大值和最小值： (1)－1≤x≤4； (2)4≤x≤5.
解： 作出函数 y＝2Βιβλιοθήκη 2－8x＋6 的函数图象(如图所示)．
第12讲┃ 二次函数的图象与性质
(1)当－1≤x≤4 时，函数 y＝2x2－8x＋6 对应的图象是图 中 A－B－C 部分的曲线．显然，点 A 处于最高点，抛物线的 顶点 B 处于最低点， 所以当 x＝2 时， y 取最小值， y 最小值＝2×22 －8×2＋6＝－2；当 x＝－1 时，y 取最大值，y 最大值＝2×(－1)2 －8×(－1)＋6＝16. (2)当 4≤x≤5 时，函数 y＝2x2－8x＋6 对应的图象是图中 C－D 部分的曲线．显然，点 D 处于最高点，点 C 处于最低点． 所以当 x＝5 时， y 取最大值， y 最大值＝2×52－8×5＋6＝16； 当 x＝4 时，y 取最小值，y 最小值＝2×42－8×4＋6＝6.