眼科病床的合理安排问题

眼科病床的合理安排问题
摘要
现代医疗服务目标的核心是最大限度地满足病人对疾病诊疗和保健的各种显性和隐性需求，为病人提供优质服务，而“常排队，排长队”一直是病人最常抱怨的事情。

本题就要求解决一个这样的问题，由于病床事前安排不合理，导致某医院眼科病人排长队等待住院手术。

本文利用排队论的相关知识帮忙解决了这个问题。

针对问题(一)，根据排队论模型系统提出的运行指标，对所给病床安排模型的数据进行了评价分析，得出该模型在外伤病人的治疗上能合理有效地安排病床，而在其他眼科病人的安排上拘泥于先来先服务的原则，导致不能合理地安排病床，造成病人就医困难，医院效率低下。

针对问题(二)，通过统计病人信息可得，青光眼和白内障病人术前等待时间为2-3天，符合题目要求，而白内障病人的术前等待时间过长，特别是双眼白内障病人的术前等待时间平均为4天多，远远超过了题目要求的1-2天，这也是导致原病床安排模型出现问题的原因。

所以在原排队模型的基础上引进了优先级，依据手术时间合理地安排术前住院日期，从而减少在医院无谓的等待时间，同时也提高了医院的工作效率。

而在处理数据时，根据稳态原则和题目要求，需拟出院病人数与就诊人数相同。

针对问题（三），选取了2008-8-1至2008-8-21时间段的入院病人信息进行了统计分析，用6SQ插件对各类病人都进行正态分布检验，求得其统计量，期望和标准偏差，然后根据第二问所求的各类病人的平均逗留时间，扣除平均服务时间后，得到其平均等待时间期望。

利用该期望值和刚才所求得的统计量与标准偏差，根据概率统计的置信区间公式求得，各类病人门诊后大致入住时间区间。

针对问题（四），因为周六、周日不安排手术，需重新安排一周中各类病人的优先级，再利用第（二）问的模型指标进行检验，结果表明病人平均逗留时间明显增加。

所以需相应调整手术时间安排，即把白内障手术从周一和周三改到周二和周四进行，再次利用上述模型指标检验，求得平均逗留时间变短。

因此，在在周六、周日不安排手术时，医院需相应调整手术时间安排。

针对问题（五），建立整数规划模型，目标函数为使病人的平均逗留时间最短，约束条件为病床比例应满足各类病人在门诊病人中的比例，但这将导致无法求解，所以在求解过程中，采用了先求出近似解，再调整为最优解的策略，并最终确定了最优病床分配比例。

最后对模型进行了检验，通过比较模型求得的与实际统计数据求得的系统单位时间内平均达到数，相差在误差容许范围内，证明所建立的排队论模型符合题目要求。

本文所采用的排队论模型在现实生活中有普遍适用性，具有很强的指导意义，缺点在于对一些复杂的系统不是很明了，还有待继续研究。

关键词：排队论模型泊松检验优先级整数规划
一、问题重述
医院是一个复杂的系统，病人从挂号、就诊、划价、取药需遍历每一个服务机构,当某项服务的现有需求超过提供该服务的现有能力时,排队现象就会发生,由于患者到达的时间和诊治患者所需时间的随机性,可控性小,排队几乎是不可避免的。

因此如何合理科学安排医护人员及其医疗设备,使医院不会盲目增加医生和设备造成不必要的空闲,形成资源浪费,又使患者排队等待时间尽可能减少,如何在这两者之间取得平衡,以便提高服务质量,降低服务费用,这是现代医院管理者必须面对的课题。

本题给出了病床数与眼科手术类别及要求，附录中还提供了一段时间的统计数据，要求回答五个问题。

（1）确定合理的评价指标评价该问题的病床安排模型，即评价FCFS模型；
（2）建立合理的病床安排模型，确定第二天应该安排那些病人入院，并用上述指标进行检验；
(3) 通过统计分析，求得病人的入住时间的区间；
（4）在周六、周日不手术时，重新计算评价指标，判断优劣后对手术时间安排做适当调整；
（5）固定各类病人占用病床的比例，使得所有病人在系统内的平均逗留时间（含等待入院及住院时间）最短。

二、符号说明
2.1基本记号
L指在系统中排队等待住院的病人数的期望值；
q
W指一个病人在系统中的逗留时间的期望值；
s
W指一个病人在系统中排队等待的时间的期望值；
q
λ表示单位时间内病人的平均到达数；
μ表示单位时间内出院的平均病人数；
W表示单眼白内障病人的平均逗留时间；
1s
W表示双眼白内障病人的平均逗留时间；
2s
W表示青视病人的平均逗留时间；
3s
S排队服务系统中并联的服务站个数，即病床数；
M表示泊松输入或负指数分布的服务时间。

2.2 基本概念
（1）M/M/n模型
M/M/n表示顾客输入为泊松分布，服务时间为负指数分布，有n个并联服
务站的排队服务系统，如果不附加特别的说明，这种记号都指顾客总体数量无限、系统中队长可以无限，排队规则为先到先服务。

（2）稳定状态
当一个排队服务系统开始运转时，系统状态很大程度上取决于系统的初始状态和运转经历的时间，当过一段时间后，系统的状态将独立于初始状态及经历的时间，这时称系统处于稳定状态。

由于对系统的瞬时状态，研究起来很困难，所以排队论中主要研究系统处于稳定状态的工作情况。

三、模型假设
1．假设顾客到达时，如服务设施已被占用，就留下来等待服务，一直到服务完毕才离开。

2．不考虑某眼科疾病的流行情况。

3．1S <=μ
λρ，即床位总的服务效率应高于顾客的平均到达率，以保证系统最终进入稳定状态。

4．假设不给外伤急症病人预留空床。

四、模型建立
4.1 建立排队论模型
在一个排队服务系统中总是包含一个或若干个“服务设施”,有许多“顾客”进入该系统要得到服务，服务完毕后即自离去。

倘若顾客到达时，服务系统空闲着，则到达的顾客立即得到服务。

否则顾客将排队等待服务或离去。

怎么才能做到既保证一定得服务质量指标，又使服务设施费用经济合理，恰当地解决顾客排队时间及服务设施费用大小这对矛盾，这就是研究随机服务系统的理论即排队论所要研究解决的问题。

任何排队服务可以描述为以下4个方面，如图1-1所示。

图1-1
4.1.1 输入
指顾客到达系统的情况。

针对本题来说，病人是单个到达的，到达时间间
隔不能确定，病人总数为无限。

由于病人到达时间的分布是随机的，下面引入最简单流。

所谓最简单流就是指在t 这一时间段里有k 个病人到达服务系统的概率)(t v k 服从泊松分布，即:
!
)()(k t e t v k
t k λλ-= （k=0,1,2……） （1） 由于最简单流与实际顾客到达流的近似性，更是由于最简单流假设极大地简化了问题的分析与计算，因此排队论所研究的问题普遍是最简单流问题。

什么样的排队系统才能具有最简单流呢?我们可以通过如下三个标准来加以判断：
（1）平稳性
平稳性是指在一定的时间间隔内，来到服务系统的顾客数量只与这段时间间隔的长短有关，而与这段时间间隔的起始时刻无关。

（2）独立性
独立性是指顾客的到达率与系统的状态无关，无论系统中有多少顾客，顾客的到达率不变。

（3）唯一性
在一个充分小的时间间隔里不可能有两个或两个以上的顾客到达，只能有一个顾客到达。

本文利用6SQ 插件对病人就诊时间进行了泊松分布检验，结果表明其都满足最简单流条件，其中在检验时，选取了一个参考时间2008-7-30，进而得出检验时间参数进行了检验。

4.1.2 输出
指顾客从得到服务到离开服务机构的情况，即服务时间。

针对本题为从病人就诊到出院这个时间段。

根据顾客流为泊松分布，两个相继到达的时间间隔服从负指数分布等价[1]。

所以本文利用6SQ 插件检验了病人入院时间符合泊松分布，从而得出病床的服务时间服从负指数分布。

4.1.3 排队服务规则
顾客到达时，如服务设施已被占用，就留下来等待服务，一直到服务完毕才离去。

这里分两种情况：一种是无限等待的系统，不管服务系统中已有多少顾客，新来的都进入系统；另一种是有限等待的系统，当排队系统中顾客数量超过一定限度时，新到得顾客就不在等待，而自动离开服务系统。

本题根据假设采用无限等待制。

对等待系统，服务次序一般有：
（1）先到先服务（FCFS ）：按到达先后次序排成队伍依次接受服务。

当有多个服务设施时，顾客排成一个公共的队伍，当任何一个服务设施有空时，排在队首的顾客得到服务。

（2）带优先服务权：到达的顾客按重要性进行分类，服务设施优先对重要级别的顾客服务，在级别相同的顾客中按到达先后次序排队。

本文评价原病床安排模型时，采用了先到先服务的服务次序处理，而在建立
优化模型是采用了带优先服务权的服务次序。

4.1.4 服务机构
是指服务设施的个数，排列及服务方式。

（1）按服务设施个数分，有一个或多个之分（通常称单站服务系统与多站服务系统）。

（2）按排列方式，多站服务系统有串联与并联之分。

对S 个服务站的并联系统，一次可以同时服务S 个顾客。

按队列个数又可分为单队列与多队列型，本文将分别采用单队列多服务台并联模型，如图4-1.
4.2 排队模型主要指标
（
1）顾客在排队服务系统中从进入到服务完毕离去的平均消耗时间W （或顾客排队等待服务的平均等待时间q W ）。

这对顾客来讲时最关心的，每个顾客都希望这段时间越短越好。

（2）平均队长（q L ）。

这是顾客和服务机构最关心的指标，它在设计排队服务系统时也很重要，因为涉及到系统需要空间的大小。

（3）各个指标之间的关系:
设λ表示单位时间内顾客的平均到达数；
μ表示单位时间内被服务完毕离去的平均顾客数。

则λ1为相邻两个顾客到达的平均时间间隔；μ
1为对每个顾客的平均服务时间。

因此有
λλL W ==或W L （2）
即系统中平均的顾客数等于单位时间内平均到达的顾客人数乘以每个顾客在系统中的平均停留时间
λ
λq q q q W W L L ==或 （3） 即平均队长为单位时间内平均到达的顾客数乘以得到服务前的平均等待时间
μ
1+=q W W (4)
即每个顾客在系统中的平均停留时间等于顾客在系统中的平均等待时间加上平均服务时间。

因此，μλ+=q L L (5)
4.3 针对本题提出相对的排队论模型，其优先级处理过程如下：
在该排队模型中，服务对象的选择并不严格按照先到先服务的规则，病人是有优先级区别的，优先级较高的病人比较低的病人具有优先接受服务的权力。

本系统给出数据的病人可以分为三个优先级，但随着日期的不同其优先级是变化的，对同属一级别的病人仍然按先到先服务的规则选择服务对象。

假设系统中每一级别病人的输入均服从泊松分布，用λi (i=1，2，3)代表具有第i 优先级病人的平均到达率;每一级别病人的服务时间相同，但不同优先级的病人服从不同的服务时间分布，第i 优先级的病人得到的相同服务率分别为i μ (
i μ1表示每名病人的服务时间)
在时刻t 时排队系统中恰有n 个病人的概率n P ，显然0P 为系统空闲率。

)1(ρρ-=n n P (6) )1(0ρρ-=P (μ
λρ=表示系统的繁忙率) 系统内的平均病人数称为队长，记为L 。

λμλ
ρρρρρρ-=-=
⋯⋯+++-=⋅=∑+∞=0321]32)[1(i i P i L (7)
病人在系统内排队等候服务的平均时间称为平均等待时间，记作q W
)
(λμμλλμρ
λ-=-==q
q L W (8) 顾客在系统中的平均逗留时间报考顾客接受服务的时间 μ1+=q W W (9)
系统内排队等待服务的平均病人数称为等待队长，记作q L
∑∑∑+∞
=+∞=+∞=-=-+⋅=1100)1(0n n n n n n q P nP P n P L
)
(1)1(2
20λμμλρρρ-=-=-=--=L P L (10) 现在考虑有两个优先级的病人的情况。

设21-W 表示有两个优先级综合在一起
的每个病在系统中的平均逗留时间，321--W 表示有三个优先级综合在一起的每个病在系统中的平均逗留时间；根据负指数分布的性质有：
μλ1
1+=q
L W (11)
22112121)(W W W λλλλ+=+- (12)
其中1W 和2W 分别表示具有第一、第二优先级的病人在系统中的平均逗留时间。

将此式变形后有：
12
1212212W W W λλλλλ-⋅+=- (13) 同理有：332211321321)(W W W W λλλλλλ++=++-- (14) 即：23
213132133213W W W W λλλλλλλλ--⋅++=-- (15) 其中11<=∑=μλρc N i i。

分析所给数据可得，按照病床的安排情况，可把病人分为两类，一是外伤病人，它的优先级最高，即就诊后如果有空床立即安排住院；二是白内障病人和其他眼科疾病病人，按先来先服务的原则，按就诊的先后顺序安排住院。

五、模型求解
5.1 问题（一）求解
由于外伤多是由突发事件造成的急症，需要在最短的时间内进行相关的处理，所以医院采取了“病床有空时立即安排住院，住院后第二天便会安排手术”的策略，通过所给数据也可以看出，外伤病人都是在就诊后的第二天就住院，再过一天就进行了手术，这样做是及时有效、值得提倡的，因此从对外伤的处理上来看，医院的病床安排模型是利大于弊的。

然而，对除了外伤以外的眼科疾病来说，都是才用先来先服务的原则安排住院的，这样做看起来很公平，但忽略了手术日期的安排，因为白内障的双眼只能安排在周一手术，白内障单眼的病人只能安排在周一或周三，而除外伤的其他手术只能安排在其他天，这就可能导致周一住院的白内障病人要等到下周一才能做手术，最终造成服务效率低下，进而医院的队伍越来越长的现象。

下面根据上文的主要指标评价该病床模型。

为了客观合理的说明该医院的情况，所以选取了就诊病人和出院病人都比较稳定的时期进行说明，即对2008-8-1—2008-8-20的病人信息统计分析。

由于外伤病人的病床安排合理，所以在分析数据时不做统计。

在这段时间内共有180就诊，而有145出院，出院人数小于就诊人数，即输入大于输出，不符合排队论模型的稳态原则，可以通过病人排队等待住院的平均等待时间和平均队长两个指标来评价模型。

病人排队等待住院的平均等待时间为q W ，
即 12.4094149
1849==q W 又有 21.078366
8.66896551
=+=+=q q s W W W μ 统计系统中的数据分析得病人排队住院的平均队长（q L ）
94.6520
1893L ==
q 通过上面所得数据可知，病人就诊后大约12天以后才能安排住院，等待时间比较长；再看系统中的平均队长，都超过了医院的病床数，要等到自己能住院，实在是太遥远了！
综上所述，该病床安排模型有优有劣，优点是能及时地处理好外伤急症病人，缺点是该模型没有考虑手术时间的安排对病床时间安排的影响，从而排队导致住院的队伍越来越长。

5.2 问题（二）求解
由于所给病床安排模型只是在先来先服务的原则下建立的，而没有考虑到手术时间的影响，下面我们引入优先级，分类讨论第二天应该安排那些人住院?
首先，根据题中所给白内障病人的术前准备时间为1-2天，本文按为了简化模型，假设术前准备时间只有1天。

由于单眼白内障病人和双眼白内障病人手术安排时间不同，所以把它们分为两类处理，即“单眼白内障”和“双眼白内障”。

由于青光眼和视网膜病人术前收术时间为2-3天，其原模型的实际安排也是符合这个标准的，所以它们可以简化为一类病人，简称为“青视”。

根据术前时间和手术时间的不同，同一种病人在不同天的优先级不同，其时间和优先级的安排见表5-1。

（从上文可以看出外伤病人的安排是合理的，所
根据排队论的稳态原则和题目要求，拟出院病人数与就诊人数相同，即存在稳定状态。

把医院住院部看成一个排队系统，假设不存在优先级为3的病人进入服务系统。

下面分别计算出周日、周二和其他天排队系统的运行指标。

计算相关数据： 每天每张床就诊的单眼白内障 0.0201=λ
每天每张床就诊的双眼白内障 0.0332=λ
每天每张床就诊的青视病人 0.0603=λ
每天每张床的出院人数与就诊人数相同都为 0.102==λμ
周日:
23.495
71=s W 12.540033
.00797.011272=-=-=
λμs W 周二: 10.75011
21=-=λμs W 20.13923=s W
其他天：
65.163
81=s W 19.03613
3=-=λμs W 以一周内各类型天数的所占比例为权重分别求出每种病人的平均逗留时间 17.12210.748)23.495(1=+=
s W 12.542=s W
19.592
19.036)20.139(3=+=s W 再以三种病人分别占病人的比例为权重求出病人的平均逗留时间，即 青视逗留时间
青视比例双眼逗留时间双眼比例单眼逗留时间单眼比例⨯+⨯+⨯=s W (16) 17.0919.580.5312.530.2917.120.17=⨯+⨯+⨯=s W 根据μ1
-=s q W W ，又系统中平均服务时间为8.66，得
8.430138
8.6689655=-=s q W W 再根据λq
q L W =，已知λ=8.9，则
75.038.439.8=⨯=q L
所以在安排第二天病人住院时，应根据具体情况安排不同的病人。

并且，这样求得的最终结果也表明病人等待服务的时间减小了，平均队长也缩短了一些。

5.3 问题（三）求解
选取2008-8-1到2008-8-20日这段时间入院的病人信息，利用6SQ 插件对白内障单眼、白内障双眼和青视疾病的等待服务时间作正态分布检验，得出表
根据σ未知时μ的置信区间公式[2]
]/)1(,/)1([2/12/1n s n t x n s n t x -+----αα
此处22)(1
1∑--=
x x n s i 是2σ的无偏估计，即标准偏差。

由于区间预测是在优先权模型下进行的，所以对于期望应在问题（二）的基础上计算求得。

三种病人的平均服务时间分别为5.394、8.343和11.207，解得等待时间的期望为11.73、
4.20和8.38。

利用C 语言编程求得白内障单眼、白内障双眼和青视病人等待住院时间的置
5.4 问题（四）求解
如果周六周日不手术的话，重新回答问题（二）。

首先需调整优先级，各种
用问题（二）方法计算得，
周日、周四、周五： 23.49541=s W
12.54042=s W
周二：
10.74991=s W
36.79293=s W
周一、周三、周六：
65.16311=s W
19.0363
13=s W 加权处理后所得数据：
20.3091=ss W
12.5402=ss W
23.4753=ss W
19.54423.4750.534+12.5400.292+20.3090.174'=⨯⨯⨯=s W
观察结果，此时病人在系统的平均逗留时间与上面所得数据相差较大，19.54>17.09,所以该模型并不理想，需调整白内障手术时间，改为周二、周四，调整后的优先级见表5-5。

求得的相关数据有：
19.2461=st W
12.5402=st W
22.588
3=st W 19.070230.534+12.540.292+20.3090.174''=⨯⨯⨯=s W
调整后病人的平均等待时间变为19.070，与调整前的19.544相比，减少了一些，说明医院的手术时间安排应作出相应的调整。

5.5问题（五）求解
假设白内障、青光眼、视网膜疾病和外伤所占病床数分别为4321,,,b b b b .则相应的各类病人占用病床的比例分别为79/,79/,79/,79/4321b b b b .选取
2008-8-1到2008-8-20出院病人的信息。

建立整数规划模型。

目标函数为
79/)(min 44332211w b w b w b w b z ⨯+⨯+⨯+⨯= （17）
i w =病人的平均服务时间+优先权模型所求得的平均等待时间（i=1,2,3,4）
由于双眼白内障病人占白内障病人的60%，所以求得
1w =0.4⨯(单眼白内障的平均服务时间+单眼白内障的平均等待时间)+ 0.6⨯(双眼白内障的平均服务时间+双眼白内障的平均等待时间) 相关数据如下：
1w =14.37 2w =18.30 3w =20.44 4w =8.21
约束条件为
;794321≥+++b b b b （18） ;531
6479;531
17079;5316379;531
234794321≥≥≥≥b b b b （19） 取整数、、、4321b b b b
其中234、63、170、64和531分别为统计所得就诊的白内障、青光眼、视网膜疾病、外伤和总人数。

要求各类病人占用病床的比例应尽可能符合其病人所占总就诊人数比例，所以列出以上比例不等式，但此时病床总数超出了医院实际拥有数，所以先列出总和大于79的不等式，待求出结果后，再根据情况调整病床数。

利用LINGO 软件求得下解：
10,26,10,354321====b b b b
调整后的结果为
10,25,9,354321====b b b b
所以各类病人占用病床的比例大致为0.443038、0.113924、0.316456、0.126582,此时的所有病人在系统内的平均逗留时间为15.95。

六、模型的扩展及应用
6.1 模型扩展与讨论：
当医院床位利用出现排队现象时，可以采取多种方法改善排队参数指标。

（1）降低到达率 即在医院床位利用出现排队现象时， 拒绝来就诊的人。

到达率降至1时， 平均队长和平均等待时间有明显改善；随着进一步降低到达率，
改善程度趋于不明显，不需要等待就能入院的概率随之平稳增加，单个床位的繁忙程度相应渐小。

（2）减少留治时间标准差 其本质在于尽快治疗需要手术的患者， 在患者出现大量排队现象时提高医院入住容量。

在其他指标不变的条件下，将留治时间标准差减为1时，平均队长大幅度下降， 因此降低标准差是改善排队指标的有效方法。

（3）增加床位数 通常情况下出现排队现象时总是先考虑床位数的增加。

当床位数由79增加到80时，各项排队指标明显改善， 但在实践中此举相当困难， 涉及空间、 人员、装备等诸因素的限制。

同时，随着床位数的增加，造成床位利用率的下降，增加越多，利用率就越低。

分析数据表明，增加床位数在一定时段内能取得显著效果，但不是最佳选择。

（4）缩短留治时间 即加快安排手术的时间。

随着留治时间的少量缩短， 平均队长大幅度降低，平均等待时间大幅度缩短，但单个床位繁忙程度变化不明显。

由此可以认为，减少留治时间标准差是改善排队指标的理想措施之一。

6.2 模型应用：
在基建工程中，通过运用排队论模型合理安排施工顺序,可以有效缩短工期 ,取得显著的经济效益；
排队论在港口最优泊位数的确定方面具有实际的意义。

尽可能合理地确定港口的泊位数量, 能够在一定程度上实现港口经济效益的优化；
各商业银行的竟争日趋激烈, 在安排银行临时柜方面应用运用此模型，可大大增加它们的竞争力；
排队论在军事方面的应用则主要体现在伤员在抢救室排队等候抢救、武器出故障排队等候维修等；
排队论在停车场设计中的应用则类似本题医院病床安排模型；
七、模型的检验及评价
7.1 模型检验
根据各指标之间的关系知q q W L λ=，所以q q
W L =λ，在问题（一）中所计算
的统计数据知病人等待住院的平均等待时间12.409=q W ，病人排队住院的平均队长94.65L =q ，所以可以求得7.627==q q
W L λ。

根据统计分析, 在2008-7-13到2008-9-11这段时间内共就诊531人，则实际单位时间内病人平均达到数8.85'=λ，实际数据'λ与求得的数据λ在误差容许范围内相符，说明该排队论模型能达到题目要求。

7.2模型总体评价
到医院就诊排队是一种司空见惯的现象 ,由于患者到达和医疗服务时间的随机性 ,患者来源数量在理论上是无限的 ,而医疗资源是有限的 , 当某项服务的现有需求超过提供该服务的现有能力时 ,排队现象就会发生 ,本模型研究了在有限资源配置下 ,利用排队模型理论 , 在医院管理中,对医院门诊、诊室的排队
系统的结构和行为进行科学的模拟和系统的研究。

从而对诊室和医生安排进行最优设计,以获得反映其系统本质特征的数量指标结果,进行预测、分析或评价,最大限度地满足患者及其家属的需求,有效避免了资源浪费。

7.3 不足与缺点：
（1）本文实验数据是通过概率论方法统计产生的，对现实中医院排队情况的诸多因素未能考虑尽然，需要在今后的具体实验中逐渐完善。

（2）需要明确的是,上述排队论模型都假设病人的到来服从泊松分布 ,尽管一般情况如此 ,但不表示所有医院都是,我们这里未通过检验验证 ,只是为了减少计算量并使模型切实可行 ,其实现实情况中许多其他分布.
（3）如今人工智能发展迅速，也逐渐涉入排队领域，如采用网上挂号就诊等，本题无法将其考虑在内。

八、参考文献
[1]韩中庚，数学建模方法及其应用，北京：高等教育出版社，2005。

[2]茆诗松程依明濮晓龙，概率论与数理统计教程，北京：高等教育出版社，2004。

[3]韩中庚，实用运筹学模型、方法与计算，北京：清华大学出版社，2007。

[4]张杰周硕，运筹学模型与实验，北京：中国电力出版社，2007。

[5]冯杰黄力伟，数学建模原理与案例，北京：科学出版社，2007。

[6]赵静但琦，数学建模与数学实验(第2版)，北京：高等教育出版社，2003。

九、附录
9.1 问题（三）中C语言求解置信区间代码
#include<stdio.h>
#include<math.h>
double cha(double x,int n,double m,double w) // x平均值
//n 样本容量
{
double y1,y2; //m 标准差
double z=1/(sqrt(n));
y1=x-w*z*m;
y2=x+w*z*m;
printf("%f,%f\n",y1,y2);
}
main()
{
cha(11.73,32,0.998,1.6955 );
cha(4.20,34,0.925,1.6924 );
cha(8.38,37,1.053,1.6883 );。