矩阵分析课程介绍

表达式问题也即 1979 年 Campbell 提出的 open 问题。这个问题至今没有解 决。
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C. Bu, K. Zhang, J. Zhao, Representations of the Drazin inverse on solution of a class singular differential equations, LAMA, 2011
a 1 1 b
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1 c
6
G.R. Omidi, E. Vatandoost, Starlike trees with maximum degree 4 are determined by their signless Laplacian spectra, ELA, 2010 Starlike trees with maximum degree 4 are determined by their signless Laplacian spectra.
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Wheel graphs
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G.R. Omidi, On a signless Laplacian characterization of T-shape trees, LAA, 2009
spectral
The starlike tree T (a, b, c) is determined by its signless Laplacian spectra if and only if {a, b, c} ≠ {k , k , 2k − 1} for any positive integer k.
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An expression of resistance distance in a graph
Changhang Bu, Lizhu Sun, Jiang Zhou and Yimin Wei, A note on block representations of the group inverse of Laplacian matrices,The Electronic Journal of Linear Algebra，23(2012)，pp. 866-876.
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1
2
4
3
Laplacian matrix
group inverse of Laplacian matrix
1 3 1⎞ ⎛ 5 − − − ⎜ 16 16 16 16 ⎟ ⎜ ⎟ 5 1 3⎟ ⎜− 1 − − ⎜ 16 16 16 16 ⎟ ⎜ ⎟ 3 1 5 1 ⎜− − − ⎟ ⎜ 16 16 16 16 ⎟ ⎜ 1 3 1 5 ⎟ ⎜− ⎟ − − 16 16 16 ⎠ ⎝ 16
Changhang Bu, Lizhu Sun, Jiang Zhou and Yimin Wei, A note on block representations of t he group inverse of Laplacian matrices,The Electronic Journal of Linear Algebra， 23(2012)， pp. 866-876.
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无线传感器网络路由算法的研究

一个电网络看作是一个赋权图，的顶点是电网络 中的节点，的每条边代表电网络中的一个电阻， 权值为其相应的电阻值。基于电阻距离的概念， 引入电阻距离作为无线传感器网络的一种新的距 离函数。该算法中节点路径的选择是基于网络中 所有节点的能量情况，使节点能量的使用更为均 衡，避免过度依赖关键节点，减少了路由空洞的 产生。通过网络鲁棒性Kirchhoff衡量指标，可以 得到该算法在网络鲁棒性方面更具优势。
其中 E 为奇异矩阵。系统在变换 x(t ) = eλt y (t ) 下变为
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二阶奇异微分系统方程：
Ex ( t ) + Fx ( t ) + Gx ( t ) = 0 ( t ≥ 0 )
⎛E 其中 E 为奇异矩阵。 ⎜ ⎝ −I F ⎞⎛ x ( t ) ⎞′ ⎛ G ⎟⎜ ⎟ +⎜ 0 ⎠⎝ x ′( t ) ⎠ ⎝ 0 0 ⎞ ⎛ x(t ) ⎞ ⎟⎜ ⎟=0 I ⎠ ⎝ x ′( t ) ⎠
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⎛ 2 −1 ⎜ ⎜ −1 2 ⎜ 0 −1 ⎜ ⎝ −1 0
0 −1 2 −1
−1⎞ ⎟ 0⎟ −1⎟ ⎟ 2⎠
Ω12 = Ω23 = Ω34 = Ω41 =
5 1 3 5 3 ×2+ ×2 = , Ω13 = Ω24 = × 2 + × 2 = 1 16 16 4 16 16 卜长江，矩阵分析导学，哈工程数学系
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这个图是连通图吗？ M. Fiedler，1973，图是连通图当且仅当这个图的拉普拉斯矩阵零 特征值重数是 1。
实际问题：通讯网络等
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这两个图同构吗？
这两个图有相同的谱，但它们不同构。
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C. Bu, J. Zhou, Signless Laplacian spectral characterization of the cones over some regular graphs, LAA, 2012 Let G be an 2-regular graph of order n ( n ≥ 11). The cone over G is determined by its signless Laplacian spectrum.
D
r ⎛ k D 2 k +1 k π 4 k C− F F ∑ 1/ 2 ( E ) ⎜ k =0 MD =⎜ ⎜ D 1 r k +1 k +1 D 2 k + 2 k π F F ⎜ F − ∑ 4 C−1/ 2 ( E ) 2 k =0 ⎝
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C. Bu, K. Zhang, The explicit representations of the Drazin inverses of a class of block matrices, ELA, 2010
Kr
G
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网络鲁棒性
Given a graph G. For two vertices u and v in G, the resistance distance between u and v of G, denoted by Ωuv , was defined to be the effective resistance between u and v when all the edges of G are considered to be unit resistors.
系统在变换 x(t ) = eλt z (t ) 下，降阶为一阶系统
⎛ E2 ⎜ ⎝ −I F2 ⎞⎛ z ( t ) ⎞′ ⎛ I 0 ⎞ ⎛ z ( t ) ⎞ ⎛ 0 ⎞ ⎟⎜ ′ ⎟ + ⎜ ⎟⎜ ′ ⎟ = ⎜ ⎟ 0 ⎠⎝ z ( t ) ⎠ ⎝ 0 I ⎠ ⎝ z ( t ) ⎠ ⎝ 0 ⎠
⎛E Let M = ⎜ ⎝I F⎞ ⎟ , EF = FE , and the index of F is r + 1(r ≥ 0) . Then 0⎠
⎞ ⎟ ⎟ r k k +1 D 2 k +1 k π ⎟ 2 )( ) F F ⎟ − EF D + ∑ 4k (C− + C E 1/ 2 −1/ 2 k =1 ⎠ 1 r k k FF − ∑ 4 C−1/ 2 ( E D ) 2 k F k F π 2 k =1
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1979 年， Campbell 在讨论了 AD 在求奇异常系数矩阵微分方程解中 的应用， 提出了 ⎜
⎛A B⎞ ⎟ ( A , D 是方阵)形式分块矩阵的 Drazin 逆(群逆) ⎝C D⎠
表达式 open 问题。 一阶奇异微分系统方程的解：
Ex ( t ) + Fx ( t ) = 0 ( t ≥ 0 )
矩阵分析课程介绍
卜长江
哈尔滨工程大学理学院 Changjiang Bu College of Science, Harbin Engineering University E-mail:buchangjiang@hrbeu.edu.cn
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Байду номын сангаас
矩阵分析解决什么问题？ 如何学好这门课？ 矩阵分析的主要内容是什么？
Starlike 卜长江，矩阵分析导学，哈工程数学系 trees with maximal degree 4
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C. Bu, J. Zhou, Starlike trees whose maximum degree exceed 4 are determined by their Q-spectra, LAA, 2012 Starlike trees with maximum degree at least 5 are determined by their signless Laplacian spectra.
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⎛ E2 于是求二阶系统解的解析表达式问题就转化为求分块矩阵 ⎜ ⎝ −I
F2 ⎞ ⎟的 0⎠
Drazin 逆的确切表达式的问题(由子块 E2 , F2 , I 来表示)。将此问题进行推广即 是求分块矩阵 ⎜
⎛ A B⎞ ⎛A B⎞ ( 是方阵)或 （群逆） A ⎟ ⎜ ⎟ ( A , D 是方阵)的 Drazin 逆 ⎝C 0 ⎠ ⎝C D⎠
D.J. Klein, M. Randić, Resistance distance, J. Math. Chem. 12 (1993) 81–95.
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The resistance distance Ωuv is a distance function. (1) Ωuv ≥ 0 and if and only if u = v ; (2) Ωuv = Ωvu ; (3) Ωuv ≤ Ωuw + Ω wv . Let L# uv denote the entry of the group inverse of Laplacian matrix. Then
# # # Ωuv = L# + L − L − L uu vv uv vu
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From serial and parallel connection rules, it is easy to obtain that
3 Ω12 = Ω23 = Ω34 = Ω41 = , Ω13 = Ω24 = 1 4 卜长江，矩阵分析导学，哈工程数学系
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广义系统解的表示
广义逆在线性系统 Ax = b, A ∈ C m×n , x ∈ C n , b ∈ C m 的解的解析表示中 的应用。 当 A 为非奇异矩阵，线性方程组 Ax = b 有唯一解
x = A−1b 。
当 A 为奇异或长方阵时： （1） Ax = b 有解，则通解 x = A(1)b + ( I − A(1) A)u ， （2） Ax = b 无解，则极小范数最小二乘解 x = A+ b 。
由一阶系统方程的通解得到
⎛ z(t ) ⎞ ⎜ ′ ⎟=e ⎝ z (t ) ⎠
⎛E −⎜ 2 ⎝−I
F2 ⎞ ⎟ t 0 ⎠
D
⎛ E2 ⎜ ⎝ −I
F2 ⎞ ⎛ E2 ⎟ ⎜ 0 ⎠ ⎝ −I
D
F2 ⎞ ⎛ z (0) ⎞ ⎟⎜ ′ ⎟。 0 ⎠ ⎝ z (0) ⎠
其中 E2 = (λ 2 E + λ F + G ) −1 (2λ E + F ) , F2 = (λ 2 E + λ F + G ) −1 E
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Starlike trees
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J. Zhou, C. Bu, Laplacian spectral characterization of some graphs obtained by product operation, Discrete Math, 2012