常微分方程数值解

隐式公式
B:(6)式的计算：因为（6）式为隐式，无法用它直接计算 yn+1:(6)式通常用迭代法计算即先由向前欧拉公式（5）产 生初值:
( 0) yn1
yn hf xn , yn , n 0,1,2,
k 1
再按yn1 yn hf
(k ) 如果yn1

(k ) xn1 , yn1
三:欧拉方法和龙格--库塔方法. 常微分方程初值问题的提法是:设有一阶方程 和初始条件:
dy f ( x, y ) (3) dx y ( 0) y 0 其中适当光滑 , 对y满足 lipschitz条件, 即存在L f ( x, y1 ) f ( x, y2 ) L y1 y2 (4) 以保证(3)的解存在且唯一 .
第四次：常微分方程数值解
一： 引言： 1：微分方程在数模中有重要作用。 2：列出微分方程仅是第一步，求解微方程为第二步。 3：但仅有少数微分方程可解析解，大部分非线性方程， 变系数方程，均所谓“解不出来”
dy x2 y2 dx 这时需要用 " 数值解法 ". 例: 二 : 食饵一捕食模型 (Volterrn)[掠俘问题] _ __ _ 1 : 模型为 d x( t ) d t x ( t )[r a y( t )] (1) d y( t ) y ( t )( d b x( t ) dt
, k 0,1,2,
收敛, 收敛的极限就是 yn1
C:误差估计：局部截断误差精度为1阶。 D:几何意义：
（3）：梯形公式： A: 方法：
yn 1 yn f xn , yn f xn 1 , yn 1 7 h 2
B:(7)式也需要象向后欧拉公式一样进行迭代求yn+1； C:误差估计：局部截断误差精度为2阶。 D:缺点：需要迭代，计算量大。
3:导弹跟踪问题： 某军的一导弹基地（位于坐标原点（0，0））发现 基地正北方向120km处海面（位于坐标原点（0，120）） 上有敌舰一艘正以90km/h的速度向正东方向行驶，该基地 立即发射导弹跟踪追击敌舰,导弹速度为450km/h，自动导 航系统使导弹在 任意时刻都能对准敌舰，试问导弹在何时 何处击中敌舰？
（1）假设：在t时刻导弹位于P(x(t),y(t)),敌舰位于 M(90ຫໍສະໝຸດ Baidu,H)(其中H=120)
（2）：建模：
由导弹的速度知： dx 2 dy 2 ( ) ( ) 4 5 02 dt dt
由导弹的方向始终指向 敌舰： dy 120 y dx 90t x 初始条件：x0 0, y0 0.
（4）：改进的欧拉公式： A:引言：向前欧拉公式（5）计算简单，但精度只有1阶； 梯形公式精度提高，但迭代太繁；结合两者得改进的 欧拉公式。 yn1 B:先由向前欧拉公式（5）计算yn+1的预测值 ； 再把它代入梯形公式（7）右端，作为校正，即：
yn 1 y n hf xn , yn 8 h y y f xn , yn f xn 1 , yn 1 , n 0,1,2, n 1 n 2 h k1 k 2 y y n n 1 2 或写作 k1 f xn , y n 9 k f x n 1 , y n hk 1 2
x（t）甲
y（t）乙
其中 r为甲独立生存的增长率：a反映捕食者对食饵的捕 食能力 。 d为乙无甲的死亡率； b反映食饵对捕食者的供 养能力。 初值为 x（0）= x0 y（0）= y0 ……（2） 2；试用数值解讨论以下问题：[（1）无解析解] 设r =1 ，d=0.5, a=0.1 b=0.02, x0 =25, y0=2 求模型 (1)在(2)下的数值解,画出函数 x(t),y(t)图形以 及相图 (x,y),观察x(t),y(t)的周期变化,近似地确定争的周 期和x,y的最大、小值,近似计算x,y在一周期内的平均值. 与(掠俘问题讨论过的理论值)比较.
我们不求(3)的解析解y y ( x)(它难求或根本无解析解 而是在一系列离散上 x0 x1 x2 xn 上求y ( xn )的近值yn (n 1,2) 通常取等步长h, 即xn x0 nh. 1 : 欧拉方法 y ( xn 1 ) y ( xn ) dy 用 代替 h dx (1)向前欧拉方法: A : 方法 : f ( x, y )中x用小区间 [ xn , xn1 ]的前点xn得 : y ( xn1 ) y ( xn ) f ( xn , y ( xn )) h 记y ( xn ) yn 得yn 1 yn hf ( xn , yn ) 5



C:对于这四种欧拉方法：通常用向前欧拉公式（5）和改 进的欧拉公式（8）。
（5）：实例：
dy 2x y , y 0 1 的向前欧拉公式（ 5）（在步长h 0.1 ） dx y 改进欧拉公式（ 8）及精确解 y 1 2 x的比较。
B：几何意义：
C:误差估计：假设 yn没有误差，则由（不考虑累积误差）
yn 1 y xn hf xn , y xn 即y xn 1 yn 1 o h 2 算出yn 1具有 1阶精度的截断误差 .

(2)向后欧拉公式:
A : 方法 : f ( x, y )中x用小区间 [ xn , xn 1 ]的后点xn 1得 : y ( xn 1 ) y ( xn ) f ( xn 1 , y ( xn 1 )) h 记 y ( xn ) y n 得yn 1 yn hf ( xn 1 , yn 1 ) 6