金融数学研究的最新进展以及面临的问题和前景

金融数学研究的最新进展以及面临的问题和前景
摘要：金融数学是一门新兴学科，是“金融高技术”的重要组成部分。

金融数学的研究目标是利用数学在某些方面的优势，围绕金融市场存在的问题，通过建立模型模拟为实际金融部门提供较深入的技术分析咨询，从而解决金融行业实际运行中存在的问题。

随着社会经济的发展，特别是金融在经济中的地位越来越重要，金融数学相关理论也得到突飞猛进的发展。

而随着金融数学的发展，金融数学研究所面临的问题和前景，也日益受到关注。

本文将就金融数学研究的最新发展以及面临的问题和前景进行论述。

关键词：金融数学、最新进展、前景
1、金融数学的定义
金融数学或数学金融学亦或数理金融学都是由mathematicalfinance翻译而来，可以理解为是以数学为工具解决金融问题的学科。

金融数学是通过建立适合金融行业具体实情的数学模型，编写一定的计算机软件，对理论研究结果进行仿真计算，对实际数据进行计量经济分析研究的一门应用学科。

金融数学的最大特点是大量应用现代数学工具，特别是伴随着控制理论和随机过程的研究成果在金融领域中的创造性应用，金融数学——一门新兴的边缘学科应运而生，国际上也称数理金融(Mathe--matical Finance)。

金融数学起源于金融问题的研究。

随着金融市场的发展，金融学越来越与数学紧密相连，取得了突飞猛进的发展。

广义来说，金融数学是指应用数学理论和方法，研究金融经济运行规律的一门新兴学科，狭义的来讲，金融数学的主要研究内容是关于在不确定多期条件下的证券组合选择和资产定价理论，而套利、最优和均衡则是这一理论中最重要的三个概念。

金融数学从一些金融或者经济假设出发，用抽象的数学方法，建立金融机理的数学模型。

金融数学的范围包括数学概念和方法(或者其他自然科学方法)在金融学、特别是在金融理论中的各种应用，应用的目的是用数学的语言来表达、推理和论证金融学原理。

金融数学是金融学的一个分支，因此金融数学首先以金融
理论为背景和基础，这倒并不意味着从事金融数学一定要受过金融方面的正规的学术性训练(这确实大有益处)。

尽管金融学由于具有自己充足的特征而从经济学中独立出来，但它毕竟是作为经济学的应用分支学科发展起来的，因此金融数学也以经济原理和技术为基础和背景。

由于金融还同会计学、财务学、税务理论等有密切的联系，金融数学还需要以会计原理、财务技术、税收理论等方面的知识为基础。

金融数学的理论基础当然还包括现代数学理论和统计学理论，其首要环节是数学或统计建模，也就是从复杂的金融环境中筛选出关键因素以分辨出相关因素与无关因素，然后从一系列的假设条件出发，推导出各种关系，最后得到结论对作出对结论的解释。

这种建模活动不仅非常有用而且极为重要，因为在金融中，假设中一个小的失误、一个错误的推导、一个有错误的结论、或者一个对结论的错误解释甚至都会导致一次金融的灾难。

此外，在金融数学的研究中计算机技术的应用也具有十分突出的位置。

综上可见，金融数学是金融学、数学、统计学、经济学与计算机科学的交叉学科，属于应用科学层次。

金融数学也是金融学继定性描述阶段以后的一个更高层次的数量化的分析性学科。

2金融数学研究的最新进展
20世纪8O年代末，随着金融市场的进一步完善和发展，人们发现前面研究的所有金融模型都假定投资者可得到市场的完全信息，而实际上投资者只可观测到刻画系统状态的价格过程本身，而布朗运动及动态资产的漂移系数是不可观测到的，即投资者只可得到市场的部分信息。

于是，许多学者运用各种数学方法对基于不完全信息的投资消费问题进行了系统研究，并取得了一定的进展。

本文现将研究中所用到的主要数学工具列举如下：
2．1随机最优控制理论
由于金融学理论一个得重要的应用领域是解决连续时间的随机性的问题，而解决这个问题的重要手段是随机最优控制理论。

随机最优控制是在20世纪60年代末和70年代初，数学家们应用贝尔曼最优化原理，并用测度理论和泛函分析方法发展起来的新的数学研究领域。

1971年默顿(Merton)使用连续时间方法论述消费和资产组合的问题，有布罗克(Brock)和米尔曼(Mirman)在不确定情况下
使用离散时间方法解决经济最优增长问题。

从此以后，随机最优控制方法应用到大多数的金融领域。

在国内以彭实戈为代表的中青年学者对此也做出了卓越贡献。

2．2鞍理论
鞍理论引入是现代金融理论最新的研究成果。

1977年，哈里森(Harrison J．M．)和柯瑞普斯(Kreps S．R．)提出了期权定价理论的鞅方法，他们用鞅论中的鞅测度概念来刻画无套利市场和不完全市场，并用等价鞅测度对期权进行定价和套期保值或对冲。

由Karatza．S和Shreve等人倡导的鞍方法直接把鞍理论引入到现代金融理论中，利用等价鞍测度的概念研究衍生证券的定价问题，得到的结果不仅能深刻揭示金融市场的运行规律，而且可以提供一套有效的算法，求解复杂的衍生金融产品的定价与风险管理问题。

利用鞍理论研究金融理论的另一个作用是它能够较好地解决金融市场不完备时的衍生证券定价问题，从而使现代金融理论取得了突破性的进展“。

目前基于鞍方法的衍生证券定价理论在现代金融理论中占主导地位，但在国内还是一个空白。

2．3微分对策理论
运用微分对策方法研究期权定价问题和投资决策问题是现代金融理论发展的另一个重要方向，目前取得了一定的成果[20-21j。

当金融市场不满足稳态假定或出现异常波动时，证券价格往往不服从几何布朗运动，这时用随机动态模型研究证券投资决策问题的方法无论从理论上，还是从实际上都存在着较大偏差。

用微分对策方法研究金融决策问题可以放松这一假设，把不确定扰动假想成敌对的一方针对最差情况加以优化，可以得到“鲁棒性”很强的投资策略。

另外，求解微分对策的贝尔曼方程是一阶偏微分方程，比求解随机控制问题的二阶偏微分方程要简单得多。

因此，运用微分对策方法研究金融问题具有广阔的应用前景。

2．4最优停时理论
最优停时理论是概率论体系中一个具有很强的实用性领域，近年来，不少金融学家和金融数学家将这一理论与现代的投资组合理论相结合，取得了不错的成绩。

但是这一领域的研究文献仍然不多，该领域仍处于起步阶段。

Moton A和Pliska S R运用最优停时理论研究了具有固定交易费用的券投资决策问题，给出了具有二
个风险证券的投资决策问题一种简化算法。

在国内有关这方面的研究尚不多见。

相信运用最优停时理论来研究投资决策问题和风险最小化问题会有更大的进展。

2．5智能优化
把智能优化方法(遗传算法、模拟退火算法、人工神经网络、小波分析等)和传统方法结合起来，应用于风险控制和投资决策问题中是另一个具有更为广阔的研究领域，给我们提供了广泛的研究课题。

国际上有关这方面的研究已经有了初步的成果，在国内也有一大批学者致力于这方面的研究口30_。

由于这一领域的发展比较晚，还有很多的难题尚未解决，但是我们仍相信金融学家、数学家以及人工智能专家们的通力合作，在这一新兴的研究领域一定能够取得突破性的进展。

3金融数学研究面临的问题与前景
金融数学除了上述几个基本理论的继续发展和完善外，还有很多工作可以做。

如美式期权问题、亚洲期权问题、利率的期限结构问题、市场价格的波动与突发事件问题等。

3．1美式期权问题
在市场上交易的期权大部分是美式期权。

对于美式期权的定价，问题要比欧式期权定价困难得多。

因为美式期权可以在到期前的任何时刻执行，这就涉及到期权的最佳执行时间问题。

一般情况下期权的最佳执行时间是一个十分复杂的问题，至今还没有得到很好的解决。

如果应用偏微分方程的方法来讨论美式期权的定价，对应的偏微分方程的问题将变成为“自由边界”问题，在数学上较难处理。

一般情况下，美式期权没有精确的解析定价公式，而只能用数值解法或解析近似解法，因此，发展各种计算美式期权价格的数值方法具有重要的实际意义。

3．2利率的期限结构问题
在“B—s模型”中，利率是给定的常数。

实际上，利率的变化是相当复杂的，不同性质、不同到期日的证券，利率的变化规律互不相同，这也就是利率的期限结构。

它通常可以用收益率曲线的形式来表示。

利率的期限结构包括三种理论：市场预期理论、市场分割和投资偏好理论、流动性偏好理论圳。

这些理论分别从不同的角度对利率的不规则变化作出了解释。

近年来由于利率风险的日益突出，利率期权等利率衍生证券得到了迅速发展，利率的期限结构的数学模型不断提出。

3．3市场价格波动问题
所谓价格的波动性，通常是指未来价格偏离其期望值的可能性。

在金融经济学中，波动性用回报的标准差来度量，而不用价格的标准差度量。

例如，在“B —S模型”及其大部分推广中，假设股票价格的波动率为常数，这在实际中是不合理的。

为了更准确地描述股票价格变化的规律，必须考虑以下因素：股票价格波动率对股票价格的依赖性；波动率与其它随机变量的依赖性；股票价格可能的突然跳动。

随机波动率模型能够体现上述某些因素，目前受到高度重视。

这类模型假设波动率服从某一随机过程，比如几何布朗运动等。

3．4突发事件问题
突发事件在金融领域中具有不容忽视的影响，如1997年的东南亚金融危机，给一些国家造成巨大损失。

基于传统的平稳随机过程的预测理论完全不适用。

传统理论或许能解释市场在95％的时间里发生的情况。

然而，如果人们承认突发事件就发生在剩下5％的时间里，那么传统理论所描述的图景就没有反映实际情况。

现在研究应用混沌学与分形理论来解释股票价格如何暴涨暴跌。

金融突发事件的预警由于涉及多因素、定量化与报警灵敏度等，往往比较困难，这也是金融数学研究的重要领域。

参考文献：
1、匡素帛：金融数学理论的发展及其应用，中国经贸。

2、薛佳佳，乔路芳：金融数学的现状与发展，大庆师范学院学报。

3、孙宗岐，刘宣会：金融数学概述及其展望，重庆文理学院学报(自然科学版)。

4、郭驰：金融数学研究最新进展综述，现代商贸工业。