有限自动机的原理及示例

计算机组成原理与结构期末论文有限自动机的原理及示例学院：专业：姓名：学号：有限自动机的原理及示例本文将介绍几种重要有限自动机的基本原理，并通过例子说明它们的运行过程。

一． 语言的基本概念一张字母表是一个非空有限集合∑，字母表∑中的每个元素x 称为∑中的一个字母，也称符号、终止符或者字符。

∑中有限个字符1,,n a a 有序地排列起来12n x a a a =就称为∑上的一个字符串，n 称为它的长度。

其中有一个特殊的串ε，它的长度为零。

若1∑和2∑都是字母表，则它们的乘积12∑∑定义为{}12121122,a a a ∑∑=∈∑∈∑：a ，特别地， 0121{}n n ε-∑=∑=∑∑=∑∑∑=∑∑令*01kk k k ∞=∞+=∑=∑∑=∑若*,,x y z ∈∑，且z xy =则称,x y 是z 的子串。

字母表∑上的一种语言是*∑的一个子集L 。

二． 有限状态自动机的原理和运算实例1.基本原理一个有限状态自动机的物理模型通常包括两部分：（1）一个输入存储带，带被分解为多个单元，每个单元存放一个输入符号（字母表上的符号），整个输入串从带的左端点开始存放，而带的右端可以无限扩充。

（2）一个有限状态控制器（FSC ）,该控制器的状态只能是有限个；FSC 通过一个读头和带上单元发生耦合，可以读出当前带上单元的字符。

初始时，读头对应带的最左单元，每读出一个字符，读头向右移动一个单元。

有限状态自动机的一个动作为：读头读出带上当前单元的字符；FSC 根据当前FSC 的状态和读出的字符，改变FSC 的状态；并将读头右移一个单元。

接着给出有限状态自动机的数学模型。

字母表∑上的一个有限状态自动机(FSAM)是一个五元组()0,,,,,FSAM Q q F δ=∑ 其中，i)Q 是一个有限状态的集合；ii)∑是字母表，它是输入带上的字符的集合；iii)0q Q ∈是开始状态；iv)F Q ⊂是接收状态（终止状态）集合；v):Q Q δ⨯∑→是状态转换函数，(,)q x q δ'=表示自动机在状态q 时，扫描字符x 后到达状态q '。

对于有限状态自动机M ，给定字母表上的串12n w w w w = ；初始时，自动机M处于开始状态0q ；从左到右逐个字符地扫描串12n w w w w = ；在011(,)q w q δ=的作用下，自动机M 处于状态1q ，在122(,)q w q δ=的作用下，自动机M 处于状态2q ，……当将串w 扫描结束后，若自动机处于某一个接收状态，则称有限状态自动机能够接收（识别）串w 。

对于自动机而言，从开始状态开始，在扫描串的过程中，状态逐个地变化，直到某个接收状态，把状态的变化过程称为自动机的一条路径，而这条路径上所标记的字符的连接，就是自动机所识别的串。

有时为了表述方便，也采用如下定义的扩展的状态转换函数**:Q Q δ⨯∑→ *(,)q w q δ'=即自动机在一个状态q 时，扫描串w 后到达唯一确定的状态q '；换句话说，如果x 是一个字母，α是一个字符串，那么*(,)q q δε=*(,)(,)q x q w δδ= 并且对串w x α=，***(,)(,)((,),)q w q x q x δδαδδα==.用()L M 表示被()0,,,,FSAM Q q F δ=∑接收的语言，它在字母表∑上，即*()L M ⊂∑，则{}**0():(,)L M w q w F δ=∈∑∈.若语言*L ⊂∑对某个自动机M 有()L L M =，则称语言L 为一个有限状态语言。

有限状态自动机的瞬时描述是一个二元组qy ，*y ∈∑，其中y 是输入带上还没有被扫描到的字符串，FSC 的当前状态为q ，读头将马上扫描y 串的左边第一个符号。

有限状态自动机的初始格局为0q w ，接收格局为q αε，其中0q 是初始状态，q α是某个接收状态。

有限状态自动机在下面两种情形下停机：（1） 输入串扫描结束时；（2） 有限状态自动机的当前格局为qar ，而自动机没有对应的δ函数的定义，即(,)q a δ没有定义。

在这种情形，可以补充定义一个特殊的状态：陷阱状态t q ，即(,)t q a q δ=。

对于陷阱状态t q ，对任何字母x ，定义(,)t t q x q δ=.2.两个例子例 2.1 我们将构造一个有限状态自动机M ，它能识别{0,1}上的语言{}*000:,{0,1}L x y x y =∈.分析：语言L 的特点是语言中的每个串都包含连续的3个0，故FSC 的状态及其意义如下：（1）0q ：有限状态自动机的开始状态，也是重新寻找子串000时的状态；（2）1q ：有限状态自动机读到第一个0，有可能是子串000的第一个0；（3）2q ：有限状态自动机在1q 后又读到一个0；（4）3q ：有限状态自动机在2q 后又读到一个0，这是唯一的接收状态。

因此，状态转移函数为010*******203333(,0)(,1)(,0)(,1)(,0)(,1)(,0)(,1)q q q q q q q q q q q q q q q q δδδδδδδδ======== 接收状态为3{}F q =.例2.2 构造有限状态自动机M ，识别{0,1}上的语言，该语言的每个字符串看成二进制数时，代表的数字能整除3.分析：使用3个状态分别代表已经读入的数除以3的得到不同余数的等价类：（1）0q ：已经读入的数除以3，余数为0的输入串的等价类；（2）1q ：已经读入的数除以3，余数为1的输入串的等价类；（3）2q ：已经读入的数除以3，余数为2的输入串的等价类；因为不能接收空串，所以还需要一个开始状态S q 。

设w 是当前读入的输入串，则（1）S q ：在开始状态读入0时，有0w =，进入状态0q ；读入1时，有1w =，进入状态1q 。

（2）0q ：能引导自动机到达此状态的w 是3的倍数，因此3w n =。

a)在此状态读入0，引导自动机到达下一状态的输入串为0w ，则02(3)03(2)w n n =⨯+=⨯，这表明0w 也属于0q 对应的等价类。

所以自动机在0q 状态读入0应该继续保持0q 状态。

b)在此状态读入1，引导自动机，到达下一状态的输入串为1w ，则12(3)13(2)1w n n =⨯+=⨯+，这表明1w 属于1q 对应的等价类。

所以自动机在0q 状态读入1应该进入1q 状态。

(3)1q : 能引导自动机到达此状态的w 满足31w n =+。

a)在此状态读入0，引导自动机到达下一状态的输入串为0w ，则02(31)03(2)2w n n =⨯++=⨯+，这表明0w 属于2q 对应的等价类。

所以自动机在1q 状态读入0进入2q 状态。

b)在此状态读入1，引导自动机到达下一状态的输入串为1w ，则12(31)13(21)w n n =⨯++=⨯+，这表明1w 属于0q 对应的等价类。

所以自动机在1q 状态读入1进入0q 状态。

（4）2q ：能引导自动机到达此状态的w 满足32w n =+。

a)在此状态读入0，引导自动机到达下一状态的输入串为0w ，则02(32)03(21)1w n n =⨯++=⨯++，这表明0w 属于1q 对应的等价类。

所以自动机在2q 状态读入0进入1q 状态。

b)在此状态读入1，引导自动机到达下一状态的输入串为1w ，则12(32)13(21)+2w n n =⨯++=⨯+，这表明1w 属于2q 对应的等价类。

所以自动机在1q 状态读入1继续保持2q 状态。

因此状态转换函数为01000112102122(,0)(,1)(,0)(,1)(,0)(,1)(,0)(,1)S S q q q q q q q q q q q q q q q q δδδδδδδδ======== 接收状态为0{}F q =。

三． 带输出的有限状态自动机1. Moore 机的原理Moore 机的数学模型是一个六元组0(,,,,,)MooreM Q q δλ=∑∆ 其中1）0,,,Q q δ∑的含义同有限状态自动机。

2）∆是输出字母表。

3）:Q λ→∆是输出函数。

对于,q Q a ∈∈∆，()q a λ= 表示Moore 机在状态q 时输出a 。

Moore 机在读入输入串的过程中，状态不断发生改变，并且在每个状态上都有输出。

对于输入串序列*1231n n a a a a a -∈∑ ，Moore 机的输出序列为012()()()()n q q q q λλλλ这里 0111222111(,)(,)(,)(,)n n n n n nq a q q a q q a q q a q δδδδ----====因此，如果输入串的长度为n ，那么Moore 机的输出串的长度为1n +。

2. Moore 机的运算示例例3.1 构造一个Moore 机，{0,1}∑=，若将输入串当作一个二进制数，则在读入串的过程中，希望输出已经读过的子串模3的余数。

分析：因为模3的余数只有0、1和2，所以输出字母表{0,1,2}∆=，并设3个状态（1）0q ：已经读入的数除以3，余数为0的输入串的等价类；（2）1q ：已经读入的数除以3，余数为1的输入串的等价类；（3）2q ：已经读入的数除以3，余数为2的输入串的等价类；像例2.2那样，状态转换函数为000112102122(,0)(,1)(,0)(,1)(,0)(,1)q q q q q q q q q q q q δδδδδδ====== 根据状态转换函数的结果，输出函数为012()0()1()2q q q λλλ===例如当输入空串ε时，输出余数为0；当输入1010时，状态变换的序列为0q 01122221(,1)(,0)(,1)(,0)q q q q q q q q δδδδ==== 对应的输出序列为01221。

3. Mealy 机的原理Mealy 机的数学模型是一个六元组0(,,,,,)MealyM Q q δλ=∑∆ 其中1）0,,,Q q δ∑的含义同有限状态自动机。

2）∆是输出字母表。

3）:Q λ⨯∑→∆是输出函数。

对于,,q Q x a ∈∈∑∈∆，(,)q x a λ=表示Moore 机在状态q ，读入字母x 时，输出a 。

Mealy 机在读入串的过程中，状态不断发生改变，并且在每个状态上，读入某个字母时，Mealy 机都有输出。

对于输入串序列*1231n n a a a a a -∈∑ ，Mealy 机的输出序列为0112231(,)(,)(,)(,)n n q a q a q a q a λλλλ-这里 0111222111(,)(,)(,)(,)n n n n n nq a q q a q q a q q a q δδδδ----====因此，如果输入串的长度为n ，那么Moore 机的输出串的长度也为n 。