8-3离散系统分析

2(1 + e − T ) − k (1 − e −T ) > 0 k (1 − e −T ) > 0 k > 0
2(1 + e − T ) 0<k < 1 − e −T
11
k
2(1 + e − T ) 0<k < 1 − e −T
8.17
6 4.32 4 2
不稳定区 稳定区
T 0 1 2 3
对应w平面虚轴 平面虚轴， 当u＝０时，对应 平面虚轴，则有 ＝ x2 + y2 = 1 即z平面单位圆。 平面单位圆。 平面单位圆 平面左半平面 平面单位圆内； 当u<０时，w平面左半平面，对应 平面单位圆内； ０ 平面左半平面，对应z平面单位圆内 >０ w平面右半平面，对应z平面单位圆外 平面右半平面 平面单位圆外。 当u >０时，w平面右半平面，对应z平面单位圆外。
随着采样周期的增大，系统稳定的临界 值减小 值减小。 随着采样周期的增大，系统稳定的临界k值减小。 由此可见， 和 对系统稳定性都有影响 对系统稳定性都有影响。 由此可见，k和T对系统稳定性都有影响。
12
8.6.2 离散系统的瞬态质量 离散系统的瞬态质量，可以直接由时间响应结果获 离散系统的瞬态质量，可以直接由时间响应结果获 因为采样时刻的值在时间响应中均为已知的， 得，因为采样时刻的值在时间响应中均为已知的，这一 点比连续系统直观而且方便。另外，也可以不求时间解， 点比连续系统直观而且方便。另外，也可以不求时间解， 区域中，通过分析零极点的位置关系而获得, 零极点的位置关系而获得 直接在z区域中，通过分析零极点的位置关系而获得,这 对系统的设计是方便的。 对系统的设计是方便的。 1、离散系统的时间响应及性能指标求法 由时域解求性能指标的步骤： 由时域解求性能指标的步骤： （1）由离散系统闭环脉冲传递函数Φ(z)，求出输 ， 出量的z变换函数 z C ( z ) = Φ ( z ) R( z ) = Φ ( z )
2
−T
[
]
) − k (1 − e −T ) w 2 + 2(1 − e − T )w + k (1 − e − T ) = 0
]
w 2 2(1 + e − T ) − k (1 − e −T ) 劳斯表为 w 1 2(1 − e −T )
k (1 − e − T )
w0
k (1 − e −T )
得系统稳定的条件是： 得系统稳定的条件是：
闭环特征方程为
Kz (1 − e − T ) 1 + G( z ) = 1 + =0 −T ( z − 1)( z − e )
10
z 2 + [k (1 − e −T ) − (1 + e − T )]z + e − T = 0
1+ w 令z= 1− w
[2(1 + e
1+ w 1+ w −T −T + e −T = 0 + k (1 − e ) − (1 + e ) 1− w 1− w
w = u + jv
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x + jy − 1 x2 + y2 − 1 2y u + jv = = +j 2 2 x + jy + 1 ( x + 1) + y ( x + 1) 2 + y 2
x2 + y2 − 1 u= ( x + 1) 2 + y 2
7
x2 + y2 − 1 u= ( x + 1) 2 + y 2
r(t)
+
100
c(t)
-
s(s+10)
解：由已知的G(s)可求出开环脉冲传递函数 由已知的 可求出开环脉冲传递函数
10 z (1 − e −10T ) G( z ) = ( z − 1)( z − e −10T )
5
闭环特征方程为
10 z (1 − e −10T ) 1 + G( z ) = 1 + =0 −10T ( z − 1)( z − e )
jω
[s]
Im
[z]
0
σ
0
1
Re
ωs /2
jω
[s]
Im
[z]
0
σ
0
Re
4
２、z域稳定的充分必要条件 域稳定的充分必要条件 离散系统稳定的充分必要条件也是它的特征方程的全 离散系统稳定的充分必要条件也是它的特征方程的全 部根的模都小于１。或者说，全部特征根都位于z平面以 部根的模都小于１ 或者说，全部特征根都位于 平面以 原点为园心的单位园内。 原点为园心的单位园内。 设离散系统如图所示，其中T＝ 例8-42 设离散系统如图所示，其中 ＝0.07(秒)， ( 试分析该系统的稳定性。 试分析该系统的稳定性。
16
连续二阶系统:Mp% =16.3%，tr = 2.42(s)，tp = 3.6(s)， ， ， ，
在例8-45中，增加零阶保持器，采样系统 例8-46 在例 中 增加零阶保持器， 如图示， ＝ 如图示，T＝1(s)，r(t)=1(t)，试分析系统的性能指标。 ， ，试分析系统的性能指标。
r(t)
2
１、s平面与z平面的映射关系 在z变换定义中已经确定了z和s变量之间关系如下 z = eTs 是复变量，可写成s 其中s是复变量，可写成 =σ +jω，所以z也是复变量 z = eTs = eTσ ⋅ e jωT 写成极坐标形式为 z = | z | ⋅ e jθ = eTσ ⋅ e jωT s的实部只影响z的模，s的虚部只影响z的相角。 的模， 的相角。 s平面与z平面的映射关系为 s平面 z平面 σ >０ 右半平面 | z | >１ 单位园外 σ =０ 虚轴 ０ | z | =１ 单位园周 １ σ <０ 左半平面 | z | <１ 单位园内 3
z2 + 3.5z + 0.5 = 0 z1 = 0.15 z2 = 3.73 因为| 因为| z2 | >1，所以该系统是不稳定的。 ，所以该系统是不稳定的。 ３、代数判据 连续系统中的代数判据(劳斯判据) 连续系统中的代数判据(劳斯判据)，是根据特征 左半平面， 方程的系数关系判断其根是否在s左半平面，从而确定 系统的稳定性。 系统的稳定性。 劳斯判据： 劳斯判据：特征方程是代数方程 稳定的边界是虚轴， 稳定的边界是虚轴，稳定的区域是复 6 平面的左半平面 平面的左半平面
8-6 离散系统的时域分析 8.6.1 离散系统的稳定性 变换理论，如前所述， 对于离散系统的z变换理论，如前所述，它仅限于 采样值的分析。 采样值的分析。对于离散系统稳定性的讨论也只限于 采样点的值 因此只要输出采样值处于稳定范围内， 在采样点的值。因此只要输出采样值处于稳定范围内， 系统就是稳定的。然而， 选择较大时， 系统就是稳定的。然而，当采样周期T选择较大时，采 样间隔中隐藏着振荡，可能反映不出来， 样间隔中隐藏着振荡，可能反映不出来，这造成实际 连续信号和采样值变化规律不一致， 连续信号和采样值变化规律不一致，会得出一些不准 确的分析结果。因此， 确的分析结果。因此，必须注意采样周期T是否小于系 统的最大时间常数这一问题。只有满足这一点， 统的最大时间常数这一问题。只有满足这一点，才会 使离散理论分析结果贴近连续信号的变化规律。 使离散理论分析结果贴近连续信号的变化规律。
9
例8-44 利用代数判据分析如图所示二阶离散系统放 大系数k和采样周期 对系统稳定性的影响。 和采样周期T对系统稳定性的影响 大系数 和采样周期 对系统稳定性的影响。
r(t)
+
k
c(t)
-
s(s+1)
解：根据已知的G(s)求开环脉冲传递函数 根据已知的 求开环脉冲传递函数
KZ (1 − e − T ) G( z ) = ( z − 1)( z − e −T )
在离散系统中， 在离散系统中，在z平面或在s半平面都不能直接 引用劳斯判据。 引用劳斯判据。 根据复变函数双线性变换公式，引用下列变换： 根据复变函数双线性变换公式，引用下列变换：
1+ w z= 1− w
w +1 或 z = w −1
z −1 w= z +1
或
z +1 w= z −1
令 z = x + jy
15
c*(t) 1
0
T
2T
3T
4T
5T
6T
t
c*(t) = 0.632δ( t −T) + 1.097δ( t −2T) + 1.207δ( t −3T) + 1.014δ( t −4T) + 0.96δ( t −5T) + 0.968δ( t −6T) + 0.99δ( t −7T) + … Mp% =20.7% tr = 2(s) ts = 5.3(s) tp = 3(s) ts = 5(s)
17
再求闭环脉冲传递函数
G( z ) 0.368 z + 0.264 = 2 Φ (z) = 1 + G ( z ) z − z + 0.632
0.368 z 2 + 0.264 z C ( z ) = Φ ( z ) R( z ) = 3 z − 2 z 2 + 1.632 z − 0.632
z −1
用长除法将上式展成幂级数，通过z反变换求 （2）用长除法将上式展成幂级数，通过 反变换求 13 得c*(t) 。
给出的各采样时刻的值， （3）由c*(t)给出的各采样时刻的值，直接得出 p%、 给出的各采样时刻的值 直接得出M 、 tr、tp、ts等性能指标。 等性能指标。 单位反馈采样系统如图所示， 例8-45 单位反馈采样系统如图所示，当T=1s， ，
1
c(t)
c(t)
t 0 1T 2T 3T 4T 0 1T 2T 3T
t
离散系统的稳定性， 离散系统的稳定性，与系统参数及采样参数T等均 有关。根据第三章所述，线性系统稳定的主要条件是系 有关。根据第三章所述，线性系统稳定的主要条件是系 平面左半部， 统的极点均在s平面左半部，s平面的虚轴就是稳定区域 的边界。对于线性离散系统，其拉氏变换式中含有e−kTs 的边界。对于线性离散系统，其拉氏变换式中含有 平面上的极点分布， 项，因此分析采样系统在s平面上的极点分布，就不像 连续系统那么简单。 连续系统那么简单。
z R( z ) = 试求输出响应及动态性能指标。 时，试求输出响应及动态性能指标。 z −1 r(t) c(t) 1
+
-
s(s+1)
解：根据已知的G(s)求开环脉冲传递函数 根据已知的 求开环脉冲传递函数
1 z (1 − e − T ) z (1 − 0.368) G( z ) = Ζ = ( z − 1)( z − e −T ) = ( z − 1)( z − 0.368) s( s + 1) 0.632 z = 2 z − 1.368 z + 0.368
+
-
ZOH
1 s(s+1)
c(t)
解：求开环脉冲传递函数
1 − e − Ts 1 −1 G( z ) = Ζ 2 = (1 − z )Ζ 2 s ( s + 1) s ( s + 1) 0.368 z + 0.264 = ( z − 1)( z − 0.368)
Re w−1
−1
w
+1 w+1
w +1 z= w −1
Im
0
8
例8-43 若已求得采样系统的特征方程式为 3z3 +3z2 + 2z + 1 = 0 试用w平面的劳斯判据判别稳定性 平面的劳斯判据判别稳定性。 试用 平面的劳斯判据判别稳定性。
1+ w 应用w变换 变换， 解：应用 变换，令 z = 1 − w
14
再求闭环脉冲传递函数
G( z ) 0.632 z = 2 Φ (z) = 1 + G ( z ) z − 0.736 z + 0.368 0.632 z 2 C ( z ) = Φ ( z ) R( z ) = 3 z − 1.736 z 2 + 1.104 z − 0.368
C(z) = 0.632z −1 + 1.097z −2 + 1.207z −3 +1.014 z −4 + 0.96z −5 + 0.968 z −6 + 0.99 z −7 + … c*(t) = 0.632δ( t −T) + 1.097δ( t −2T) + 1.207δ( t −3T) + 1.014δ( t −4T) + 0.96δ( t −5T) + 0.968δ( t −6T) + 0.99δ( t −7T) + …
3 2
1+ w 1+ w 1+ w 3 + 3 + 2 +1= 0 1− w 1− w 1− w
w3 +7w2 + 7w + 9 = 0 劳斯表为 w 3
w2 w1 w0 1 7 40 7 9 7 9
由于第一列元素 全为正， 全为正，所以系 统稳定。 统稳定。