第七章 非线性控制系统分析

第七章 非线性控制系统分析

§7.1 非线性系统概述

● 非线性系统运动的规律，其形式多样。线性系统只是一种近似描述 ● 非线性系统特征—不满足迭加原理

1) 稳定性 ⎩

⎨⎧平衡点灯可能有多个入有关关，而且与初条件，输不仅与自身结构参数有

2) 自由运动形式，与初条件，输入大小有关。

3) 自振，在一定条件下，受初始扰动表现出的频率，振幅稳定的周期运动。自振是非线性系统特有的运动形式。 4) 正弦响应的复杂性 (1) 跳跃谐振及多值响应 (2) 倍频振荡与分频振荡 (3) 组合振荡(混沌) (4) 频率捕捉 ● 非线性系统研究方法 1) 小扰动线性化处理

2) 相平面法-----用于二阶非线性系统运动分析

3) 描述函数法-----用于非线性系统的稳定性研究及自振分析。 4) 仿真研究---利用模拟机，数字机进行仿真实验研究。 常见非线性因素对系统运动特性的影响：

1. 死区：(如：水表，电表，肌肉电特性等等)

死区对系统运动特性的影响：

⎪⎩⎪⎨⎧↓

↓↑↓动不大时）］此时可能稳定（初始扰［原来不稳定的系统，，振荡性声，提高抗干扰能力差），能滤去小幅值噪跟踪阶跃信号有稳态误

等效%(e K ss

σ 可见：非线性系统稳定性与自由响应和初始扰动的大小有关。

2. 饱和(如运算放大器，学习效率等等)

饱和对系统运动特性的影响：

进入饱和后等效K ↓⎪⎩

⎪

⎨⎧↓↑↓↓，快速性差限制跟踪速度，跟踪误统最多是等幅振荡）（原来不稳，非线性系振荡性统一定稳定）原来系统稳定，此时系(%σ

3. 间隙：(如齿轮，磁性体的磁带特性等)

间隙对系统影响：

1) 间隙宽度有死区的特点----使ss e ↓

2) 相当于一个延迟τ时间的延迟环节,%σ→↑ 振荡性 减小间隙的因素的方法：

(1) 提高齿轮精度 ； (2) 采用双片齿轮； (3) 用校正装置补偿。 4. 摩擦(如手指擦纸) 摩擦引起慢爬现象的机理

改善慢变化过程平稳性的方法1)2)3)⎧⎪

⎨⎪⎩

、良好润滑

、采用干扰补偿、增加阻尼，减少脉冲，提高平衡性

摩擦对系统运动的影响：

影响系统慢速运动的平稳性

5. 继电特性：

对系统运动的影响：

1)K (2K %3)ss e σ⎧⎧⎪⎨

⎩⎪

⎪⎧↑⎪⎪⎪

⎧↓

⎨⎨⎪⎨⎪⎪

↓⎪⎩⎩⎪

⎪⎪⎪⎩

Q B 一、二阶系统可以稳定、理想继电特性　等效： 一般地，很多情况下非线性系统会自振带死区))、带死区继电特性　等效： 快态影响（死区+饷）的综合效果振荡性、一般继电特性：除3、2中听情况外，多出一个延迟效果（对稳定性不利）

§7.2 相平面法基础(适用于二阶系统)

1. 相平面相轨迹

二阶非线性系统运动方程：()[(),()]x t f x t x t =&&&――定常非线性运动方程

即：[,]

[,]dx

dx f x x dx dt

dx f x x dx x

⋅==

&&&&&()()x

x

t x t ⎧⎪

⎪⎨

⎪⎪⎩

&&以为纵标，x为横标，构成一个平面（二维空间）称之为相平面（状态平面）

系统运动时，，以t为参变量在相平面上描绘出的轨迹称为相轨迹（可以描述系统运动） ➢ 相平面法是用图解法求解一般二阶非线性控制系统的精确方法。它不仅能给出系统的稳定性信息和时间特性信息，还能给出系统运动轨迹的清晰图象。

➢ 二维空间(平面)上表示点的运动的概念，可以扩展到N 维空间中去。

➢ ⎧⎪

⎪⎨⎪

⎪⎩

状态：系统运动的状况状态变量：表征系统状态的变量状态平面（相平面）：由状态变量张成的平面状态轨迹（相轨迹）：系统运动时状态变量在状态平面上描绘出的运动轨迹

1. 相平面：由,c c &构成的，用以描述系统运动特性的平面。 相轨迹：,c c &随时间变化在相平面上描绘出来的轨迹。

例：欠阻尼二阶系统响应的相平面描述----相轨迹

例：系统方程为20n x x ωξ+=&

&　(=0)求相轨迹方程。 解： 2

n dx dx dx x x x dx dt

dx

ω

=

⋅==-&&&&&

2n xdx xdx ω=-&&

222122

n x x c ω=-+& 222

22n

n

x

c x A ωω+

=

&令

得：222221n

x x

A A ω+=&――椭圆方程

系统特征方程： 220n s ω+=

特征根：1,2n j λω=±（中心点） 平衡点（奇点）：0e x =

自控演示实验x-y 记录仪所画的相轨迹：

2. 二阶系统极点分布，奇点类型及相轨迹形式（见挂图）

自由运动方程 ξ范围 极点位置 奇点名称

20n n x x x ξωω++=&&&0011101ξξξξξ=⎧⎪⎪⎪⎪

<<⎪⎪⎪⎪

⎪≥⎪⎪⎨⎪

⎪-<<⎪⎪⎪⎪

<-⎪⎪⎪⎪

⎪⎩

中心点 稳定焦点 稳定节点 不稳定节点 不稳定节点 鞍点

注：1).奇点=平衡点=各阶导数为0之点; 2).实极点数值=特殊相轨迹的斜率;

3).右移时　x x

0>& 左移时　＜x x 0&时　一般垂直通过＝0x &

例1.系统方程为：20n x x ξω+=&

&&作相轨迹 解：原方程＝2[2]0n n dx dx

x x x dx dx

ξωξω⋅

+=+=&&&&&

即：0--2--2n n x

dx dt

ξωξω=⎧⎪⎨=⎪⎩&&

横轴（平衡点集合） 斜率为-的直线族

3. 利用线性系统（二阶）奇点性质概略地作出