单群的判定
离散数学sec16-17 群
模 6 加群 <Z6, >中 由 2 生成的子群 <2> = { 0, 2, 4 }
21
特殊子群2
例 设G为群，令C是与G中所有的可交换的元素构 成的集合，即 C＝{a|a∈G∧x∈G(ax＝xa)} 则C是G的子群，称为G的中心。
限群。 群G的基数称为群G的阶，有限群G的阶记作|G|。
(2)只含单位元的群称为平凡群。
(3)若群G中的二元运算是可交换的，则称G为交 换群或阿贝尔(Abel)群。
11
群论中常用的概念－元素的n次幂
定义 设G是群，a∈G，n∈Z，则a的n次幂 P250 定义17.4
e a n a n1a
(a 1 )n
换 σ∈Sn，逆置换σ1是σ 的逆元. 这就证明了Sn关于置换的乘法构成一个群，称为 n
元对称群. n元对称群的子群称为 n元置换群.
31
例 设 S = {1, 2, 3}，3元对称群
S3的对称群是？ 运算表？ S3的子群？
32
n元置换的分解式
• k阶轮换与轮换分解方法 定义11.11 P258
定义 设<G,>是代数系统，为二元运算。如果运 算是可结合的，存在单位元e∈G，并且对G中 的任何元素x都有x-1∈G,则称G为群（group）。 (P249定义17.1)
例 <Z,+>,<Q,+>,<R,+>,<Z+,+>,<N,+>是不是群？
<Zn,>是群?
8
正规子群和群的同态与同构
§1群同态与同构的简单性质
(Basic Properties of Homomorphism and Isomorphism of the groups)
一 定义
( ) 定义1 设(G, )和 G, 是两个群，如果存在映射ϕ：G → G满足
ϕ(a b) = ϕ(a) ϕ(b)(∀a,b ∈ G（) 即ϕ保运算） 则称ϕ是同态映射，当ϕ是满射时，称G与G同态，记为G ∼ G 当ϕ是双射时，称G与G同构，记为G ≅ G，也称G为G的同构像。 G = G时，同态，同构映射ϕ分别称称为自同态和自同构映射
一 群的第一同构定理
定理1 设σ：G → G是群同态满射，Kerϕ ⊆ N G, N = ϕ(N )，
则 G/N ≅G/N
推论 （第一同构定理）设H G且K G，若K ≤ H，那么 G/H ≅G/K H /K
若K 和H中没有包含关系，则
( ) G / HK ≅ G / H HK / H G / HK ≅ G / K HK / K
ϕ
Z ≅ Z。
注：两个群(Z , +), (Z , )没有实质性差异，其中一个是另 一个以不同符号和名称实现出来的结果。
2 子群在同态映射下的象与原象
定理2 设ϕ : G → G是一个同态映射，则
(1) H ≤ G时，H ϕ(H ) ≤ G；ϕ |H : H → ϕ(H )为
满同态映射；
(2) H ≤ G时，ϕ −1(H ) ≤ G;ϕ |ϕ−1(H ):ϕ −1(H ) → H为
二 群的第二同构定理
定理2 （第二同构定理） 设H ≤ K且K
(1) H ∩ K H (2) HK / K ≅ H /(H ∩ K )
近世代数课件-2-2_群的定义
2020/4/27
五. 有限群的特殊性
推论 一个非空有限集G 构成有限群的条件 : (1)存在G上的一个代数运算•; (2)运算 • 适合结合律; (3)运算 • 适合消去律.
2020/4/27五. 来自限群的特殊性2020/4/27
六、特殊群-Klein（克莱因）四元群
本节教学目的与要求： 记住群的定义，掌握群的基本性质和有限群的特殊性质，并
能熟练判定一个给定的代数系是否是群.
一. 群的定义及常见的群 二. 群的4个等价定义 三. 一些特殊群的例子 四. 群的消去率性质 五. 有限群的特殊性 六. 特殊的群—Klein（克莱因）四元群
2020/4/27
一. 群的定义及常见的群
近世代数
第二章 群
近世代数的主要研究对象是各种各样的代数系， 即具有一些代数运算的集合。
群是具有一种代数运算的代数系，它是近世代数 中一个比较古老，而且内容丰富的重要分支，在数学、 物理、化学、计算机等自然科学的许多领域都有广泛 应用。
从本节开始，学习群的有关性质。
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2.2 群的定义
注：
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一.群的定义及常见的群
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一.群的定义及常见的群
注：
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二. 群的四个等价定义
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三. 几个特殊群的例子
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四. 群的消去率性质
注：
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五. 有限群的特殊性
推论 一个非空有限集G构成有限群的条件: 1存在G上的一个代数运算o;
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六、特殊群-Klein（克莱因）四元群
13代数系统-群11-30
4、元素的阶 定义11．7 设G是群，a ∈ G，使得等式: ak=e
成立的最小正整数是称为d的阶(a的周期）， 记作 ｜a｜ =k 这时也称a为k阶元 若不存在这样的正整数k，则称a为无限阶元
5、元素幂的性质 定理11．1 设G为群 则G中的幂运算满足：
(1)∀a∈G ，(a-1)-1 = a (2)∀a,b∈G,(ab)-1=b-1a-1 (3)∀a∈G anam=an+m n,m∈Z (4)∀a∈G (an)m=anm n,m∈Z (5)若G为交换群，则 (ab)n=anbn
例：<Z,+>中由 <2>所生成的子 群
为<{2k| k ∈Z },+>
在<Z6,+6>中由 <2>所生成的子 群
因为 20=0,21=2,22=4,23=0
<2>=<{0,2,4},+6 >
◦e a ee a aa e bb c cc b
bc bc cb ea ae
在klein四元群中 <e> ={e} <a> = {a,e } <b> = {b,e } <c> = {c,e }
设G为群，H是G的非空子集．H是G 的子群当且仅当下面的条件成立： 1） ∀a,b∈H 有 ab ∈H （运算封闭)
2) ∀a∈H 有 a-1 ∈H (存在逆元)
充分性：只要证明e ∈H 即可
2、定理10．5(判定定理二) 设G为群，H是G的非空子集． 则H是G的子群当且仅当 ∀a,b∈H 有 ab-1 ∈H
与a的阶为2矛盾 所以 |ab|=6
§ 10．2 子群与群的陪集分解 例：求G=<Z4,+4>的所有子群
-判定正规子群的若干条件及方法
-----------------------------------Docin Choose -----------------------------------豆 丁 推 荐↓精 品 文 档The Best Literature----------------------------------The Best Literature2009年 1月 China Water Transport January 2009收稿日期：2008-12-10作者简介：王娜儿（1979-），女，浙江舟山人，浙江海洋学院数理与信息学院讲师，研究方向为群论。
判定正规子群的若干条件及方法王娜儿（浙江海洋学院 数理与信息学院，浙江 舟山 316004）摘 要：本文给出了判定群的子群成为正规子群的若干条件，并应用这些条件解决某些实际问题，本文的结论对如何寻找正规子群有一定的启示。
关键词：正规子群；可解群；单群中图分类号：O171 文献标识码：A 文章编号：1006-7973（2009）01-0264-02一、前言正规子群是群论中非常重要的子群，它在研究群可解性、同构分类等方面扮演尤为重要的角色。
事实上，对于群G ，如何确定子群H 是否为G 的正规子群对于判定G 是否可解起到关键作用。
所以讨论子群成为正规子群的条件也显得非常的重要，本文从正规子群的定义出发，给出了子群成为正规子群的若干条件，并应用部分条件解决实际问题。
二、判定正规子群的已知结果定义1：G 是群，≤H G 。
若g G ∀∈，有=gH Hg ，则称H 是G 的正规子群．记为H G 。
定理1：,≤H G 则下述条件等价： （1）a G ∀∈，有aH Ha =； （2）a G ∀∈，有⊆aH Ha ；（3）a G ∀∈，有1−⊆aHa H ；（4）a G ∀∈，有1aHa H −=；（5）a G ∀∈，h H ∈均有1aha H −∈。
定理2：设,()≤H G N H 表示H 的正规化子，则⇔ H G ()=G N H 。
子群的判定条件及其应用
子群的判定条件及其应用子群是群论中的一个基本概念。
在群G中，若H是G的一个非空子集且在G中满足群运算，那么H就是G的一个子群。
本文将介绍子群的判定条件以及子群在实际应用中的例子。
一、子群判定条件对于一个非空子集H，H是G的子群的条件有以下两个：1. 封闭性：对于任意的a, b ∈ H，a · b 也必须在H中。
2. 逆元存在性：对于任意的a ∈ H，在H中必须存在a的逆元，即存在b ∈ H，使得a · b = b · a = e，其中e是G的单位元。
二、子群的应用子群的应用非常广泛，以下列举几个实例：1. 密码学密码学中的群，通常被称为“密钥空间”。
如果我们希望破解一个密码系统，就需要找到它的密钥空间。
例如，我们可以把整个宇宙设想成一个总体G，然后把地球上的生命体视为G的一个子集H。
这个子集H是封闭的，因为地球上的生命体只能和它们自己在一起，它们自己无法连接到宇宙中的其他存在。
2. 圆周运动在圆周运动的问题中，我们可以用子群的概念来描述。
设圆周运动的群是G={θ + 2kπ|k∈整数}，它的单位元是0，运算是θ1 · θ2 = θ1 + θ2。
如果我们想要在圆周上寻找一个子群，那么我们可以考虑一个形如{m/nπ|n∈整数}的集合，其中m和n是互质的整数。
这个集合形成的子群具有封闭性和逆元存在性。
3. 组合数学在组合数学中，我们通常要考虑很多的置换问题。
如果我们能够找到一个群，那么我们就可以把置换看作是群G上的某个元素。
例如，我们可以把“硬币正反面”的置换群记为{e, ●, ○,e○●}，其中e表示什么都不做，○表示正面，●表示反面。
如果我们计算出了这个置换群的所有子群，那么我们就可以用子群的概念来研究这个问题。
总结子群是群论中的基本概念，它具有封闭性和逆元存在性。
在实际应用中，子群有着广泛的应用，例如在密码学、圆周运动和组合数学中。
(完整word版)3。2 正规子群与商群
§3.2 正规子群与商群对一般的群G 及N G ≤，左、右陪集不一定相等，即一般aN Na ≠， （见上一章例子，3,{(1),(12)}G S N ==，(13)(13)N N ≠）。
但对某些群G 及其子群N G ≤，总有性质：,a G aN Na ∀∈=。
例如，取3,G S = 3{(1),(123),(132)},N A G ==≤ 则当a 取3(1),(123),(132)A ∈时，总有aN Na =。
而当a 取(12),(13),(23)时， (12){(12),(23),(13)}(12)N N ==，(13){(13),(23),(12)}(13)N N ==，(23){(23),(13),(12)}(23)N N ==，所以3a G S ∀∈=，都有aN Na =。
再比如，交换群的子群总满足上述性质。
设G 是群，N G ≤，若,a G aN Na ∀∈=有，则 称N 是G 的正规子群（Normal subgroup ），记作N G 。
由前面，3A 是3S 的正规子群：33.A S交换群的子群都是正规子群；任何群的中心都是的正规子群：()C G G 。
{}e 和G 总是G 的正规子群，称为平凡正规子群，其余的正规子 群称为非平凡正规子群。
定理1. 设N G ≤，则 1,NG a G aNa N -⇔∀∈⊆有； ⇔,,a G x N ∀∈∀∈ 都有1.axa N -∈例1 证明n n A S 。
例2. 设(){|(),||0}n n G GL R A A M R A =∈≠且，(){|||1}n N SL R A A R A =∈=，且， 证明：N G 。
证明：,X G A N ∀∈∀∈，则111||||||||||||||||1,X AX X A X X A X A ---==== 从而，1X AX N -∈，所以N G 。
例3 证明：{}44(1),(12)(34),(13)(24),(14)(23)K S =。
D2-8子群
易知H i S（i 1,2,3,4 , ） 3 显然S3 H1 H 2 H 3 H 4 .
这表明：群有可能表成三个或四个真子群的并.
下面介绍一种找一个子群的一般方法.
二、生成子群
定理4：
设S是群G的一个非空子集，令A表示G的包含S的所有 子群的集合：A { H | H G，S H }，那么 (1) 令K ( 2) S K; ( 3) 对于G的任一个子群N , 只要S N , , 则K N; ( 4)
同理可以验证：三次交 错群A 3 {(1), (123), (132)}， 有A 3 S 3 .
例4 模6剩余类加群Z6 {[0],[1],[2],[3],[4],[5]} ， 令H1 {[0],[2]， ]} H 2 {[0],[3]}. [4 ，
可知：H1 Z6，H2 Z6 .
一个群能否表示成它的 三、四个真子集的并集 ？
例5 设K 4 （） 12 (34), (13)(24), (14)(23)}, 则易知 { 1（ ） , K 4 是群。即K 4 S4
现令H1 （） 12 ( 34)}, H 2 {(1), (13)(24)}, { 1（ ） , H 3 {(1), (14)(23)},
由(iii ),
a(b 1 )1 ab H.
证完
定理3： （有限子群的判定定理）
一个群G的一个不空有限子集H作成G的一个子群的 充分而且必要条件是： , b H ab H . a
证明：必要性是显然的；
(充分性)：
因为H是有限集合，
只需证明，若 适合以上条件， 就适合群定义的条件 II，III. H H I，
这说明子群 中的单位元就是母群 的单位元。 H G
群论的分类是有关近世代数的群的课件是有关近世代数的群的课件是有关近世代数的群的课件是有关近世代数的群
定理 4 G 是一个半群，则 G 作成群的充分必要条件是： (1)G 有右单位元素 e : ∀a ∈ G, a e = a ； (2)对 G 中每个元素 a，在 G 中都有一个右逆元 a−1 : a a−1 = e 。 定理 5 G 是一个半群，则 G 作成群的充分必要条件是：∀a,b ∈ G, ax = b, ya = b 在 G 中都有解。 结论 设 (G, ) 是一个么半群，令 H = {g g ∈ G且g可逆} ，证明 (H , ) 是一个群. 注 从上述讨论中自然知道：若 e 是群 G 的单位元 ⇒ e−1 = e, ∀a ∈ G ⇒ (a−1)−1 = a ，若 a,b 可逆 ⇒ ab 也可逆且 (ab)−1 = b−1a−1 . 4.有限半群作成群的条件 推论 有限半群 G 作成群的充分必要条件是：在 G 中两个消去律成立。 命题 有限半群 (G, ) 作成群 ⇔ 乘法满足消去律
41
南阳师院《近世代数》教案
批注
(1)任一个群 G 中都在唯一的单位元 e ，特别的，如果 G 是加法群时，G 中的单
位元换叫做“零元” (2)群 G 中任一个元素 a，都在 G 中有唯一的逆元 a−1 .如果 G 是加法群时，a 的逆 元改叫做“负元”，并记为“ −a ”.
作业 习题 2.1：1－2;4;6 （3 例题）
批注
Ⅰ群的定义 1.定义 G 是一个非空集合， 是它的一个代数运算，如果满足:
(1)结合律 ∀a,b, c, (a b) c = a (b c) ； (2)G 中有左单位元素 e : ∀a ∈ G, e a = a ； (3)对 G 中每个元素 a，在 G 中都有一个左逆元 a−1 : a−1 a = e 。 则称 G 对于代数运算 作成一个群，记为 (G, ) 。 如果还满足 (4) ∀a,b ∈ G, a b = b a 则称 G 对于代数运算 作成一个交换群(Abel 群)，否则称为非交换群(非 Abel 群)。 2.例子 (1) (Z , +), (Q, +), (R, +), (C, +), (nZ, +) 均为群，更一般的， (F, +)(F 为数域)。(Abel 群) 左单位元素 0，每个元素 a 的左逆元素-a. 但是 (N, +) 不是群，非零元的左逆元素 不存在。 (2) (Q* ,×), (R*,×), (C*,×) 均为群，更一般的， (F * ,×)(F 为数域)。(Abel 群) 左单位元素 1，每个元素 a 的左逆元素 a−1 。 (3) F 为数域，F 上的 n 级方阵集合 M n (F ) 关于矩阵加法作成交换群：
离散数学-11半群与群-2(课件模板)
子群实例—中心
例11.13 设G为群，令C是与G中所有的元素都可交换的元素构成的 集合，即 C＝{a|a∈G∧x∈G(ax＝xa)} 则C是G的子群，称为G的中心。 证明：由e与G中所有元素的交换性可知，e∈C。C是G的非空子集。 任取a,b∈C，为证明ab-1∈C，只需证明ab-1与G中所有的元素都 可交换。x∈G，有 (ab-1)x ＝ab-1x ＝ab-1(x-1)-1 ＝a(x-1b)-1 ＝a(bx-1)-1 ＝a(xb-1) ＝(ax)b-1 ＝(xa)b-1 ＝x(ab-1) 由判定定理二可知，C≤G。
同时有
Hf5＝{f1f5,f2f5}＝{f5,f3}
可以看出 f3∈Hf5，所以 Hf3＝Hf5。 f3f5-1＝f3f6＝f2∈H
定理11.10
定理11.10 设H是群G的子群，在G上定义二元关系R：a,b∈G， <a,b>∈R ab-1∈H
则R是G上的等价关系，且[a]R＝Ha。
h∈H∧hK
这就推出 hkH。
并且
k∈K∧kH
若不然，由h-1∈H可得 k＝h-1(hk)∈H，与假设矛盾。
同理可证，hkK。
从而得到 hkH∪K。 这与H∪K是子群矛盾。
如何找到有限群的全部子群
第0层：{e}是G的平凡子群，也是最小的子群，放在第0层。 第1层：任取aG，ae，则<a>是a由生成的子群。
陪集的基本性质
定理11.8 设H是群G的子群，则
(1) He＝H。
(2) a∈G有 a∈Ha。 证明： (1) He ＝{he|h∈H} ＝{h|h∈H} ＝H (2) 任取a∈G，由a＝ea和ea∈Ha 得a∈Ha。
定理11.9
定理11.9 设H是群G的子群，则a,b∈G 有 a∈Hb ab-1∈H Ha＝Hb 证明：先证 a∈Hb ab-1∈H。 a∈Hb h(h∈H∧a＝hb) h(h∈H∧ab-1＝h) ab-1∈H
第五章-群
表 4.3 * e a b c e e a b c a a b c e b b c e a c c e a b * e a b c e e a b c
表 4.4 a a c e b b b e c a c c b a e
可以验证表 4.1～4.4 满足群公理，故 4 阶群只能有这四种。表 4.2,4.3,4.4 都 同构于(Z4, +4), 而表 4.1 表示的群就是著名的 Klein 四元群(V,*)，它不与(Z4, +4)同构。 故 4 阶群在同构意义下只有两个(V,*)与(Z4,+4)
∵ael=a(a-1a)=(aa-1)a=ela=a ∴ael=a 因此(G,*,el,-1)为群
定理:设(G,*)为半群且|G|有穷，若(G,*)满足消去律，则(G,*)为群 证 ： 设 G={a1, „ ,an}, a,b, ∈ G 下 证 明 方 程 ax=b 有 唯 一 解 ， 令 aG={aai|i=1,2,„n} ∵左消去律 ∴|aG|=n 从而 aG=G 而 b∈G 故有 ai∈G 使 aai=b 从而 ax=b 有解， 又∵左消去律 ∴解唯一。 同理可证 ya=b 有唯一解。因此(G,*)为群
子群
定义：设<G，*>是群，S是G的非空子集，若<S，*>是群，则 称<S， *>为<G，*>的子群。显然，<{e}，*>和<G，*>是<G，*>的子群，称其为 平凡子群。<G，*>的其余子群称为真子群。
正规子群
定理 11.14 设 N 是群 G 的子群， N⊴G ⇔ ∀g∈G 有 gNg−1=N 证 任取 g∈G 有 g G gNg−1 = N ⇔ (gNg−1)g = Ng ⇔ gN = Ng 由正规子群定义，定理得证.
2．正规子群的判别实例 例 设 N≤ G，若 G 的其他子群都不与 N 等势，则 N⊴G. 证 任取 g∈G，易证 gNg−1 是 G 的子群， 下面证 N ≈ gNg−1. ∀n∈N，令 f(n) = gng−1，则 f：N→ gNg−1. f(n1)=f(n2) ⇒ gn1g−1=gn2g−1 ⇒ n1=n2，即 f 是单射. ∀gng−1∈gNg−1，∃n∈N，f(n) = gng−1 ，f 是满射. 从而 N ≈ gNg−1. 根据已知条件，必有 gNg−1 = N. 所以 N⊴G.
例
设<Z,+>是整数加群,令
3Z = {3z | z∈Z} 则 3Z 是 Z 的正规子群. Z 关于 3Z 的商群 Z/3Z = {[0], [1], [2]} 其中 [i] = {3z+i | z∈Z}，i = 0, 1, 2
且 Z/3Z 中的运算如下表所示.
例 设 N≤ G，若[G:N] = 2，则 N⊴G. 证 由[G:N] = 2 可知存在两个不交的右陪集 N 与 Ng，即 G = N∪Ng，g∉N 同理可知也存在两个不交的左陪集 N 与 gN，即 G = N∪gN，g∉N 任取 g∈G，若 g∈N，则有 gN = N = Ng. 若 g∉N，则有 gN = G−N = Ng. 从而证明了 N 是 G 的正规子群. 说明： 上述例题的结果可以作为正规子群的判别方法
三、商群 1. 商群定义及其实例 商群定义：设 G 是群，N 是 G 的正规子群，令 G/N 是 N 在 G 中的全体右陪集（或左陪集）构成的集合，即 G/N = {Ng | g∈G} 在 G/N 上定义二元运算ο如下：对于任意的 Na, Nb∈G/N， Na ο Nb=Nab 可以证明 G/N 关于ο运算构成一个群，称为 G 的商群.
密码学数学基础第六讲 群(1)
例2 在群< Z , + >中，
30 = 0
在群 < Z3 , ⊕ >中，
20 = 0 23 = 2 ⊕ 2 ⊕ 2 = 0
2−3 = (2−1 )3 = 13 = 0
35 = 3 + 3 + 3 + 3 + 3 = 15
3−5 = (3−1 )5 = (−3)5 = −15
定理1 中的幂运算性质如下： 定理 群<G，*>中的幂运算性质如下： ， 中的幂运算性质如下
四、子群及其如果H关于 的非空子集， 定义 设<G，*>为群，H是G的非空子集，如果 关于 ， 为群 G中的运算 构成群，则称 是G的子群，记作 H ≤ G。若H 中的运算*构成群 的子群， 中的运算 构成群，则称H是 的子群 的子群， 的真子集， 的真子群， 是G的子群，且是 的真子集，则称 是G的真子群，记 的子群 且是G的真子集 则称H是 的真子群 作H < G 。 例1 的子群。 nZ = {nZ | n ∈ N }是整数加群 < Z , + > 的子群。 的真子群。 当 n ≠ 1 时，nZ是Z的真子群。 是 的真子群 定义2 也是G的子群 的平凡子群。 定义 G和{e}也是 的子群，称为 的平凡子群。 和 也是 的子群，称为G的平凡子群
定理2 为群， ∈ ， 是整数， 定理 设<G，*>为群，a∈G，且|a|＝r。设k是整数， ， 为群 ＝。 是整数 当且仅当r|k。 则 a k = e当且仅当 。 定理3 为群， 与其逆元a 定理 设< G，*>为群，则群中任何元素 与其逆元 -1具 ， 为群 则群中任何元素a与其逆元 有相同的阶。 有相同的阶。
代数系统(习题课)
即 a, b ∈ S
（3） S 中含幺元：设 e 是 G 中的幺元，因为对任意的
x ∈ G 有 e ∗ x = x ∗ e ，所以 e ∈ S .
（4）可逆性：对任意的 a∈ S ，所以对任意的 x∈ G 有
a ∗ x = x ∗ a ⇒ a ∗ ( a ∗ x) ∗ a = a ∗ ( x ∗ a ) ∗ a
6阶群不可能有 阶子群.( 阶群不可能有4 8. 6阶群不可能有4阶子群.(
) )
若群中每个元素以自身为逆,则是交换群.( 9. 若群中每个元素以自身为逆,则是交换群.( 10. 为整数集合, 为普通加法. 10. 设V=<I, +>, I为整数集合,＋为普通加法. 则命题为假的是 I,+>是群 A. < I,+>是群 I,+>是循环群 B. < I,+>是循环群 I,+>交换群 C. < I,+>交换群 不是A,B,C D. 不是A,B,C
代数结构
代数系统又称为代数结构(抽象代数,近世代数), 代数系统又称为代数结构(抽象代数,近世代数), 它是在一个抽象集合上定义了若干抽象代数运算后所组 成的系统. 成的系统. 不同的数学结构常常具有相同的代数运算性质, 不同的数学结构常常具有相同的代数运算性质,把 这 些 共 同 的 性 质 抽 象 出 来 加 以 统 一 研 究 就形成了代数系统这门学科. 就形成了代数系统这门学科. 代数系统的理论在逻辑电路设计,形式语言, 代数系统的理论在逻辑电路设计,形式语言,自动 机,数据结构,编码理论等的研究中有广泛的应用. 数据结构,编码理论等的研究中有广泛的应用.
−1 −1 −1
因此， < G ,∗ > 是个阿贝尔群.
子群的判定条件及其应用
子群的判定条件及其应用子群是群论中的一个重要概念，它在代数学、几何学等领域都有广泛的应用。
本文将介绍子群的判定条件以及它在实际问题中的应用。
一、子群的判定条件要判断一个集合是否是一个群的子群，需要满足以下条件：1. 封闭性：对于子群中的任意两个元素，它们的乘积或幂运算结果仍然属于子群。
2. 单位元：子群中必须包含群的单位元。
3. 逆元：对于子群中的任意一个元素，它的逆元也必须属于子群。
4. 结合律：子群中的任意三个元素进行乘积或幂运算，结果不受运算顺序的影响。
以上四个条件是判断一个集合是否是子群的基本条件，只有同时满足这些条件，才能称之为子群。
二、子群的应用子群的概念在数学中有广泛的应用，下面我们将介绍其中的一些应用。
1. 群论：子群是群论的基础概念，在研究群的性质和结构时，子群扮演着重要的角色。
通过对子群的研究，可以揭示群的一些性质和规律。
2. 离散数学：子群的概念在离散数学中也有广泛的应用。
例如在组合数学中，可以通过对子群的研究，来解决一些组合问题。
3. 线性代数：子群的概念在线性代数中也有重要的应用。
例如在矩阵理论中，可以通过对矩阵的子群的研究，来揭示矩阵的一些性质和规律。
4. 几何学：子群的概念在几何学中也有一定的应用。
例如在对称群的研究中，可以通过对对称群的子群的研究，来揭示几何变换的一些性质和规律。
5. 密码学：子群的概念在密码学中也有一定的应用。
例如在椭圆曲线密码算法中，可以通过对椭圆曲线上的子群的研究，来构建一种安全可靠的密码算法。
以上只是子群的一些应用领域的简要介绍，实际上子群的应用非常广泛，涉及到许多不同的数学学科和实际问题。
总结：子群的判定条件是群论中的一个基础概念，它在代数学、几何学等领域都有广泛的应用。
要判断一个集合是否是一个群的子群，需要满足封闭性、单位元、逆元和结合律等条件。
子群的应用涉及到许多不同的数学学科和实际问题，通过对子群的研究，可以揭示一些问题的性质和规律。
群与子群
群中元素的幂
定义10.3 设G是群，a∈G，n∈Z，则a 的 n次幂.
e n 1 n a a (a 1 )m
n0 n0 n 0, n m
群中元素可以定义负整数次幂.
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元素的阶
定义10.4 设G是群，a∈G，使得等式 ak=e 成立的最小正整
数k 称为a 的阶，记作|a|=k，称 a 为 k 阶元. 若不存在这样 的正整数 k，则称 a 为无限阶元.
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陪集的基本性质
定理10.8 设H是群G的子群，则 (1) He = H (2) a∈G 有a∈Ha
证 (1) He = { he | h∈H } = { h | h∈H } = H (2) 任取 a∈G，由a = ea 和 ea∈Ha 得 a∈Ha
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陪集的基本性质
证 先证a∈Hb ab1∈H a∈Hb h(h∈H∧a=hb) h(h∈H∧ab1=h) ab1∈H 再证 a∈Hb Ha=Hb. 充分性. 若Ha=Hb，由a∈Ha 可知必有 a∈Hb. 必要性. 由 a∈Hb 可知存在 h∈H 使得 a =hb，即b =h1a 任取 h1a∈Ha，（根据陪集的定义h1 ∈H）则有 h1a = h1(hb) = (h1h)b∈Hb 从而得到 Ha Hb. 反之，任取h1b∈Hb，则有 h1b = h1(h1a) = (h1h1)a∈Ha 从而得到Hb Ha. 综合上述，Ha=Hb得证.
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典型子群的实例:中心C
定义10.7 设G为群,令 C={a| a∈G∧x∈G(ax=xa)}， 则C是G的子群，称为G的中心.
证 e∈C. C是G的非空子集. 任取a,b∈C，只需证明ab1与G 中所有的元素都可交换. x∈G，有 (ab1)x = ab1x = ab1(x1)1 = a(x1b)1 = a(bx1)1 = a(xb1) = (ax)b1 = (xa)b1 = x(ab1) 由判定定理二可知C≤G. 对于阿贝尔群G，因为G中所有的元素互相都可交换，G的中 心就等于G. 但是对某些非交换群G，它的中心是{e}.
离散数学-第三部分-代数结构-第十章 群与环
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群中元素的幂
定义10.3 设G是群，a∈G，n∈Z，则a 的 n次幂.
e an an1.a
例如，在<Z6,>中， 2和4是3阶元， 3是2阶元， 1和5是6阶元， 0是1阶元.
在<Z,+>中，0是1阶元，其它整数的阶都不存在.
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群的性质：幂运算规则
定理10.1 设G 为群，则G中的幂运算满足： (1) a∈G，(a1)1=a (2) a,b∈G，(ab)1=b1a1 (3) a∈G，anam = an+m，n, m∈Z (4) a∈G，(an)m = anm，n, m∈Z (5) 若G为交换群，则 (ab)n = anbn.
对于阿贝尔群G，因பைடு நூலகம்G中所有的元素互相都可交换，G的中 心就等于G. 但是对某些非交换群G，它的中心是{e}.
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10.3 循环群与置换群
定义10.10 设G是群，若存在a∈G使得 G={ak| k∈Z}
则称G是循环群，记作G=<a>，称 a 为G 的生成元.
循环群的分类：n 阶循环群和无限循环群. 设G=<a>是循环群，若a是n 阶元，则
aiG = {aiaj | j=1,2,…,n} 证明 aiG = G.
证 由群中运算的封闭性有 aiGG. 假设aiGG，即 |aiG| < n.
必有aj,ak∈G使得
子群与正规子群的判定及求法
子群与正规子群的判定及求法1.引言1.1 概述在数学中，群是一种代数结构，它是集合及其上的一种二元运算构成的。
群的研究在数学领域具有重要的地位，并且在许多领域中都有广泛的应用。
在群论中，子群和正规子群是两个基本的概念。
子群是指群中的一个子集，该子集在相同的二元运算下也构成一个群。
子群的判定是群论的一个重要问题，它涉及到对群的结构和性质进行分析。
如何判定一个集合是否是给定群的子群，这是我们在本文中要探讨的一个问题。
正规子群是在子群的基础上，具有一些更为特殊的性质。
具体来说，对于一个群的正规子群，它在群的乘法运算下是不变的。
这意味着正规子群对于群的乘法运算是封闭的，并且对于群的元素进行乘法运算后，结果仍然在正规子群中。
正规子群的判定和求法是群论中的一个重要主题。
本文的目的是介绍子群和正规子群的判定方法和求法。
我们将详细讨论如何判定一个集合是否是给定群的子群，并给出相应的证明方法。
同时，我们还将探讨正规子群的定义和性质，以及正规子群与子群之间的关系。
通过本文的研究，我们能够深入理解子群和正规子群的概念，并掌握判定和求法的方法。
同时，研究子群和正规子群也对于深入理解群论以及其他数学领域中的概念和应用具有重要意义。
通过对子群和正规子群的研究，我们可以进一步拓展和应用这些数学工具，促进数学领域的发展。
接下来，我们将在正文部分详细介绍子群的判定方法、正规子群的判定方法，以及子群和正规子群的求法。
最后，我们将对本文进行总结，并展望子群和正规子群研究的未来发展方向。
1.2文章结构文章结构部分的内容如下：1.2 文章结构本文共分为三个部分：引言、正文和结论。
每个部分都有其特定的目标和内容，旨在全面介绍子群和正规子群的判定与求法的相关知识。
在引言部分，首先对本文的研究主题进行概述，明确讨论的范围和问题。
随后，介绍了文章的结构，以方便读者理解文章的整体安排和内容安排。
最后，明确了本文的目标，即通过详细讨论子群和正规子群的判定和求法，深入探究其原理和应用。
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先证 ｛ 以
｛ ６ ．设 ｚ ｚ… ） ： 。 ∈｛ ， 口 其中 ｝ ＝１２ …， 是 以 ，， Ｓ ） 的共轭元或 口 的共轭元的
逆 元 ． 因为 ａ的共轭 元 的逆 元是 以 的共 轭元 ，所 以 ，－１ ２ … ，） （ ， ， ５是 或 ＆ 的共轭 元 ．进而 可得 ｉ
则 Ｇ是单群的 充要条件是 ｛ ｝｛ ）、…、 都是 Ｇ的平凡正规子群． 口 以 、。
证 必要 性 显然 ．
用反证法证 明充分性 ：若 Ｇ不是单群 ，则 Ｇ有非平凡正规子群 Ｎ ，在 Ｎ 任取非单位元素 ａ，
即有 ｝ 以 Ｎ≠Ｇ， ≠｛ ｝ 所以 ｝是 Ｇ的非平凡正规子群．因为 ｃ、ｃ、…、 Ｇ全部的共轭 “ １ ｚ ｃ是
摘 要 ：基于 正规 闭包 的性质 ，获得 了有 限单 群的一个判定定理 ，由此设计 出判 断有限群是否 为单 群 的算法 ，并 借助于计 算机给出了 Ｓ 一 Ｓ 的所有单子群． 关键词 ：单群 ；判定 ；正规闭包 ；对称群的单子群 中图分类号 ：０ ５ ．，０ ４ １ ２１ ２４ 文献标识 码 ：Ａ 文章 编号 ：１０ — ８ ３ ０ ２０ — ０ ３ ０ ０ ７ ６ ８ （ １）３ ０ １— ５ ２
都 是 Ｇ 的平凡 正 规 子 群 ” 由此设 计 出判 断有 限群 是 否 为单 群 的一 种算 法 ，并 计算 出对 称 群 Ｓ 一Ｓ ． ３ ７ 的所有 单子 群．
１ 预备知识
以下概 念及 结论 请参 看参 考 文【】 ［］ １或 ２ ． 定义 １ 设 Ｇ是群 ， ｃ ， Ｍ Ｇ 则称 Ｇ 的所有包含 Ｍ 的子群的交为由 Ｍ 生成的子群 ，记作（ ） Ｍ ．
得 ＝１２ …， 是 ６ ６ ，， ８ ） 或 共轭元 ，所以 ｚ ∈ ６ ｚ ｛ ，即证得 ｛｝ ｛ ．同理可证 ｛ ∈ ６ ） ） “ ６ ｛“ ６ ．总之 ） 一｛ “ ６ ． ）
定理 ２ （ 单群 的判定 ） Ｇ是群 ， 】 ２ 、ｃ 是 Ｇ全部 的共轭类 ， ｆ １ ２ … ，） 设 ｃ 、ｃ 、… ， 以 ∈ｃ ， ， ， （
单群是群结构的基石 ，关于有限群的研究往往归结为有限单群的研究 ，然而判断任一有限群是否
为 单群 却 是 非常 困难 的．本 文从 正规 闭包 人 手 ，获 得 了单 群 的一 个 判定 定 理 ：“ Ｃ 、 Ｃ 若 、… Ｃ 、
是群 Ｇ全部的 共轭类，以∈ｃ １ ２ …， ） Ｇ是单群的充要条件是 ｛ ｝ ａ｝ … ，， ｆ，则 ａＧ、｛ 。、 ｌ ２
容易看出（ Ｍ）＝｛，ｌ ２ 以 Ｅ Ｉ ，＝１２…｝ １以 以 …， ， ， ＭＣ ，，． Ｍ
定义 ２ 设 Ｇ是 群 ， ａ、 ｇＥ Ｇ ，规 定 ： 以 ＝ｇ ，并 称 ａ 为 ａ在 ｇ下 的共 轭 变 形 ． 对 于 Ｇ
的子群 或子 集 Ｈ ，同样 规定 Ｈ 一 ＝ｇ
类 ，所 以存 在 ｚ １ ≤ ） （ ≤ｚ ￡ ，使 口 ｆ ≤ｚ ，于 是 口是 的共 轭 元 ，这 样 由定 理 １ 得 ∈ｃ １ ≤ ） （ 即
｛ｉ ＝｛ 。 亦即｛｝是 Ｇ的非平凡正规子群， ｄ“ 以 ， ｝ ） ａ“ ｉ 矛盾．
第 ３ 卷第 ３ ３ 期 ２ １年 ６ ０２ 月
韩 山 师 范 学 院 学 报
Ｊｕ ｎ ｌ ｆ ｎ ｈ ｎＮｏｍａ ｉｅｓｔ ｏ ｒａ ｓａ ｒ ｌ ｖ ｒｉ ｏ Ｈａ Ｕｎ ｙ
Ｖｏ ．３Ｎｏ３ １ ． ３
Ｊ ｎ２ ２ ｕ ．０１
单 群 的 判 定
王 积 社
（ 韩山师范学院 数学与应用数学 系，广东 潮州 ５ １４ ） ２ ０ １
Ａ５ ． ）
命题 ６ 当 ７ 时 ， Ａ ７ ≥５ 是单 群 ， Ｓ 不是单 群 ．
２ 单群的判别定理
本文 获得 了一个 单 群 的充 要条 件．
引理１ 设 Ｇ是一个群，口 ∈Ｇ， ６ 以 共轭元， ｆ ｛ Ｌ 、６ 若 是 的 则 以 ＝ ６， ｝ ）．
证 因为 ｂ是 口的共轭元 ，所 以 是 ６的共轭 元 ，所 以 以 是 ６ 的共 轭元 ．
Ｃ ＝｛｝ ２ ， （ １ Ｇ的单位元 ） Ｇ＝Ｃ ２ Ｕ ． ｌ １，ｃ， ｃ 此处 是 … ，且 １ Ｃ Ｕ Ｕ…
定义 ６ 只有平 凡正 规子 群 的群 叫做 单群 命题 ４ 交换 群为单 群 的充要 条件 是它 为素数 阶 的 （ 环 ）群 ． 循 命 题 ５ 有 限 非交 换 单群 之 阶最 小 者 为 ６ ，且 阶为 ６ ０ ０的单 群 之 型是 唯 一 的 （ 即只 有 ５ 次交 代 群
收 稿 日期 ：２ １— ３ ２ ０１ ０— ５
作 者简介：王积社 （ ９４一） １５ ，男，山西晋城人 ，韩 山师 范学院数 学与应用数 学系副教授
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ｌ ・ ３
命题 ３ 共 轭关 系是 等价关 系 ．
于 是 群 Ｇ 的所 有 元 素 按 照 其 共 轭关 系 可 分 为 若 干互 不 相 交 的等 价 类 （ 叫做 共 轭 类 ） ：
，也 叫做 Ｈ 在 ｇ下 的共轭 变形 ．
命 题 １ 共 轭变 形运 算满 足 ： （）ａ １ ＝（ ｎ） ；（）ａ ）：ａｂ ；（）以） ） ． ２ （ｂ ｅ ３（ 一＝ 定 义 ３ 称 Ｇ 的 元 素 ａ、 ６（ 子 群 、或子 集 Ｈ 、 Ｋ ） Ｇ 中共 轭 ，若 存 在 元 素 ｇ 使 ａ ＝６ 或 在 ＥＧ
（ Ｈ 或 ＝Ｋ ）．
定 义 ４ 称 群 Ｇ 的子群 Ｎ 为 Ｇ 的正 规子 群 ，如果 Ｖ ｇＥＧ，Ｎ Ｎ ．
定义５ 设Ｇ是群，Ｍ Ｇ， 称Ｍ。 （ ＪＥ ｇ 为Ｍ在Ｇ中的正规闭包． ＝ Ｍ，Ｅ Ｇ）
、 。 ，
命 题 ２ Ｍ “是群 Ｇ 的包 含子 集 Ｍ 的最小 的正规 子群 ．