变结构控制

基于观测器的网络化控制系统的变结构控制
摘要：本文主要研究网络化控制系统的滑模变结构控制器的设计方法。

变结构控制的突出优点
就是滑动模态对系统摄动和外在干扰的不变性。

文中主要以线性时不变系统作为被控对象，考虑
在传感器和控制器之间存在网络时延时，通过在控制器端构造状态观测器，并利用观测到的状态
来设计变结构控制器。

观测器的增益矩阵可以由线性矩阵不等式的可行性问题给出，这样可以很
方便地利用Matlab中的LMI工具箱进行求解。

仿真算例表明了该方法可行性与有效性。

关键词：网络化控制系统；变结构控制；观测器；线性矩阵不等式
Observer-based Variable structure controller for networked control systems
Abstract:A simple design method of variable structure controller for networked control systems is proposed in this paper. The greatest advantage of variable structure control is invariability of sliding mode for overcoming the influence of the system perturbations and external disturbances. Considering only existence of network-induced delays between sensor and controller, we design a state observer for the controlled plant being linear time invariable systems on the controller side and further use the state of observer to design variable structure controller. The observer gain matrix can be obtained by a feasibility problem of LMI, so we can easily use LMI toolbox of Matlab to solve it. A simulation example shows the feasibility and effectiveness of the method.
Keywod: Networked control systems (NCSs); Variable structure control (VSC); Observer; Linear matrix inequality (LMI)
1引言
通过实时网络构成的闭环反馈控制系统称为网络化控制系统(Networked Control Systems (NCSs))。

这种分布式结构减少了连线，降低了成本，便于安装和维护，广泛应用于汽车工业、机器人遥操作和自动化生产系统中。

网络化控制系统的主要功能元件（传感器、控制器、执行器等）都通过通信网络相连接，有关的信号和数据要经过网络进行交换。

然而，由于有限网络带宽影响了数据及时准确地传输，从而会产生网络诱导时延(Network-induced delays)，其特性依赖于网络类型和硬件选择，或为常数或为时变的，都会降低系统性能，甚至会破坏系统的稳定性。

近年来，对NCSs的研究已逐渐成为国内外控制领域研究的热点之一[1-6]。

Halevi和Ray[3]考虑了连续时间线性对象和离散时间控制器的情况，通过将对象的状态方程离散化，利用状态增广的方法分析了NCSs的稳定性。

Nilsson[4]详细分别研究了当网络时滞为定常、独立随机和马尔可夫链时的模型，同时解决了不同模型下的LQG(Linear Quadratic Gaussian)优化控制问题；Walsh[5]等利用摄动的方法考虑了以连续时间系统作为被控对象，采用连续的动态反馈控制器的NCSs的稳定性，给出了保证系统性能的最大允许传输间隔(Maximum Allowable Transfer Interval，MATI)。

W. Zhang[6]将NCSs建模为异步动态系
统(Asynchronous Dynamic Systems ，ADS)，利用Hassibi [7]关于ADS 的结果分析了NCSs 存在数据丢包时系统的稳定性。

变结构控制(Variable Structure Control ，VSC)，又称为滑模控制(Sliding Mode Control, SMC)，出现在20世纪50年代，经历了50多年的发展，已经形成了相对独立的研究体系。

由于变结构控制对系统摄动及外部干扰较好的鲁棒性，且具有快速响应、无需系统在线辨识、物理实现简单等优点，适用于线性、非线性、离散、随机、分布参数、时滞等系统，并能实现镇定、跟踪、自适应等目标，近些年在国内外控制界都受到极大重视[8,9,14,15,16]，广泛应用于机器人操纵机构的跟踪控制、同步发电机的调节问题、电液伺服机构、数控中心加工伺服机构和火箭发动机的燃烧镇定等。

在网络化控制系统中，很少有文献对其进行研究。

文献[10]中给出了网络化控制系统的变结构控制器设计，但在控制律中直接利用了对象的状态信息，而在对象与控制器之间又存在网络，显然这样的控制器是不可能实现的。

文献[11]中将控制器和执行器置于网络的同一节点，这种网络控制系统失去了其本身的优点，对其进行研究没有实际的意义。

本文主要是在传感器和执行器之间存在网络时，给出基于状态观测器的变结构控制器的设计方法。

基于观测器的网络化控制系统的结构如图1。

图1 基于观测器的网络化控制系统
文中用到的一些符号：n
表示n 维欧几里德空间；n m
⨯
表示n m ⨯维的实矩阵的集合；
I 表示合适维数的单位阵；1,,T A A A -+分别表示A 的转置、逆、M-P 逆；{}
12,,,n diag A A A 表示对角线上为12,,,n A A A 的对角阵；0X >和0X ≥分别表示X 是正定和半正定的实对称阵；x 表示向量x 的欧氏向量范数或者诱导2-范数；A 表示矩阵A 的2-范数；对于任意的矩阵B 和对称矩阵A 和C ，A B C ⎡⎤
⎢
⎥
*⎣⎦
表示一个对称矩阵，其中*表示矩阵对称块部分。

2 问题描述及观测器的设计
考虑如下线性时不变对象：
()()()()
()x
t Ax t Bu t y t Cx t =+⎧⎪⎨
=⎪⎩ (1)
其中：()n x t ∈ 、()p u t ∈ 、()q y t ∈ 分别为系统状态向量、输入向量和输出向量，
,,A B C 为合适维数的已知矩阵。

对系统(1)做如下基本假设： (i) (),A B 能控，(),A C 能观测。

(ii) B 列满秩，C 行满秩。

假设传感器采用时间驱动，控制器和执行器采用事件驱动，数据采用单包传输，不考虑数据丢包和错序的影响，并且只考虑在传感器和控制器之间存在网络的情况。

我们在控制器端设置缓冲器，使网络诱导延时为常数。

正像文献[12]那样，在控制器端引入观测器，这样不仅可以利用观测器的信号构造变结构控制器，对网络时延进行了补偿，而且观测器也可以起到过滤网络噪声的作用。

观测器的方程如下：
()()()()()()
ˆˆˆx
t Ax t Bu t L y t Cx t ττ=++--- (2) 其中：()ˆn x
t ∈ 为观测器的状态向量，n q
L ⨯∈ 为观测器增益阵， τ表示网络诱导时延。

我们在观测器的输出端也引入一个等长度的缓冲器，来获得信号()ˆx
t τ-，然后用此信号与接收到的实际对象状态信息的偏差以及控制输入共同作为观测器的输入来构造观测器。

同时，我们不失一般性地假设时延τ是有界的，即假设0M ττ≤≤。

显然这样的假设是合理的，如果τ是无界的，系统必然无法镇定，研究这样的系统也就失去了意义。

注1 时延τ表示从传感器采样到控制器接收到采样信号之间的所需时间，其中包含了等待时延、处理时延、传播时延。

定义误差向量()()()ˆt x t x
t σ=-，观测器方程和误差方程分别为： ()()()()ˆˆx
t Ax t Bu t LC t στ=++- (3) ()()()t A t LC t σ
σστ=-- (4) ()()[)00,M t t t t t σφτ=∈-
这里()t φ是误差系统的初始函数。

本文的主要目的：
1)设计状态观测器，使得()()ˆlim t x
t x t →∞
=，即()lim 0t t σ→∞
=。

2)利用观测器的状态信息，设计变结构控制()u t ，使得闭环网络化控制系统在有限时
间到达切换流形()ˆˆ0S x
x =Λ=，并且确定矩阵Λ使得滑动模态具有良好的动态品质。

下面首先给出如下引理：
引理1 (Schur 补引理[17]) 对于给定对称矩阵n n
S ⨯∈
并可分块表示为
11
1221
22S S S S S ⎡⎤
=⎢⎥⎣⎦
其中11r r S ⨯∈ ，()
12r n r S ⨯-∈
，()12n r r
S -⨯∈
，()()
12n r n r S -⨯-∈。

以下三个条件是等价的：
（i ）0S <；
（ii ）1
11222111120,0S S S S S -<-<； （iii ）122111211210,0S S S S S -<-<。

引理2 [13] 对任意给定的常矩阵n n
W ⨯∈
，0T
W W =≥和标量()0M r t r ≤≤以及向
量函数[]:,0n M x
r -→ ，有下述不等式成立： ()()()
()()()()
()()()0
T T T M r t x t W
W r x t Wx t d x t x t r t x t r t W
W ξξξ-⎛⎫
-⎛⎫-++≤- ⎪ ⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭
⎰
定理1 对于误差系统(4)和给定的0M ττ≤≤，如果存在正定矩阵P 以及合适维数的矩阵N ，满足下述线性矩阵不等式
0T T T M T M PA AP P C N P PA P N C P ττ⎡⎤
+--+⎢⎥
*--<⎢⎥⎢⎥**-⎣⎦
(5) 则当观测器增益1
T
L C NP C -+
=时，误差系统(4)是指数渐近稳定的。

证明 由于矩阵C 行满秩，对于固定的矩阵L ，则必存在矩阵M ，使得
T LC C M = (6)
此时(4)式变为
()()()T t A t C M t σ
σστ=-- (7) 对于存在0P >，取Lyapunov-Krasovskii 泛函： ()()
()()()()()0,M
t
T T M t V t t t P t P d d τβ
σσσσατσααβ-
+=+
⎰⎰
(8)
()(),V t t σ上沿系统(7)的轨线求导得：
()()()()()()()()()()()()0
2,2M
T T T T T
T
M
M V
t t t A P PA x t t PC M t t P t t P t d τ
σσσσττσ
σσατσαα-=+--+-++⎰ (9)
由0M ττ≤≤知下式成立：
()()()()0
M
T T t R t d t R t d τ
τ
σ
ασαασασαα-
--
++≤-++⎰⎰ (10) 又由引理1知： ()()()()
()()()()0
T T
T
M t P P t P t d t t t P P τ
σσ
ατσαασστστ-
⎛⎫
⎛⎫--
++≤-
⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭
⎰ ()()()()()()2T T T t P t t P t t P t σσσστστστ=-+---- (11) 结合(9)~(11)式得：
()()()()()()()()()()()()2
,2T T T T T
T
M
V
t t t PA AP P t t PC M P t t P t t P t σσσσστσ
τσττσ
σ≤+-------+
令()()()()T
T T t t t ξ
σστ=-，则有：
()()()()(),T T T
T T M M M T
M A A P PA P PC M P V t t t P A C M t M C P τσξττξτ⎧⎫⎛⎫⎛⎫+--+⎪⎪≤+⎨⎬ ⎪ ⎪*-⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎩⎭
根据Schur 补引理知
()0T T T T
M M M T
M A A P PA P PC M P P A C M M C P ττττ⎛⎫⎛⎫+--+Ω=+< ⎪ ⎪*-⎝⎭⎝⎭
等价于
0T T T M T M A P PA P PC M P A P P M CP P ττ⎡⎤+--+⎢⎥
*--<⎢⎥⎢⎥**-⎣⎦
(12) 我们取1
P P -=，M NP =，在(5)式分别左乘和右乘{}
,,diag P P P ，便有(12)式成立。

所以有
()()()()()()22min min
,V t t t t σλξλσ≤--Ω≤--Ω 定义函数()()t
W t V t e μ=，利用与文献[18]类似的方法，可得存在足够小的常数0
μ>以及常数0ρ>，满足
()()00
2
0sup
,M t t s t V t s e t t μτρ
φ--≤≤≤≥ 进而由(8)式可得 ()
()00
2
0sup
,M t
s t x t s e
t t μτφ-
-≤≤≤
≥
所以误差系统(4)是指数渐近稳定的。

又由1
M NP -=及(6)式可求出观测器增益阵
1T L C NP C -+=，所以结论成立。

注2 利用引理2，可以求出使误差系统(4)指数渐近稳定的最大允许时延界M τ。

M τ可
以通过求解以下的优化问题得到：
,max M P N
τ
..s t 0P >，满足(5)。

(13) 上述问题可以转化为线性矩阵不等式中的广义特征值问题，利用LMI 工具箱中的gevp 求解器得到该问题的全局最优解。

3 变结构控制器的设计
由于在传感器到控制器通道存在网络，所以对象的状态信息不能直接利用，我们利用观测器的状态来构造滑模变结构控制器。

取切换函数为
()ˆˆS x
x =Λ (14) 其中p n
⨯Λ∈
为一待设计的矩阵，要求满足()det 0B Λ≠。

由于B 行满秩，故必然可以找
到满足要求的Λ。

(14)式两端求导得：
()ˆˆS
x x =Λ ()()()ˆ0Ax
t Bu t LC t στ=Λ+Λ+Λ-= (15) 由此可得等效控制为
()()
()()()1
ˆeq u t B Ax
t LC t στ-=-ΛΛ+Λ- (16) 为了保证正常运动段的品质，减少到达滑动模态的时间和超调量，并使正常运动段具有完全自适应性，抑制和削弱滑动模态上的抖动现象，采用如下的指数趋近律
sgn S
S KS ε=-- (17) 其中1sgn sgn ,,sgn T
p S s s ⎡⎤=⎣⎦ ，
{}()1,,0p i K diag k k k => ，{}()1,,0p i
diag εεεε
=> ，
1,i p = 。

取变结构控制为等效控制加切换控制的形式，即
()()()eq s u t u t u t =+ (18) 将(16)式和(18)式代入(15)式得
()()ˆsgn s S
x Bu t S KS ε=Λ=-- 所以 ()()()1
sgn s u t B S KS ε-=-Λ+
故
()()
()()()1
ˆsgn u t B Ax
t LC t S KS στε-=-ΛΛ+Λ-++ (19) 从而当0S ≠时
()s g n s g n T T T
S S S S K S
S S
εε=-+
<- 这表明滑动模态的存在条件和到达条件被满足。

下面给出切换面的设计方法。

切换面的设计原则主要是确定矩阵Λ，使得滑动模态渐近稳定，且具有良好的动态品质。

对观测器状态方程(3)作线性变换
ˆˆz
Tx = 使得
0ˆTB B ⎡⎤
=⎢⎥⎣⎦
其中ˆB
为p p ⨯非奇异矩阵，则(4)式变为 ()()()()11111221ˆˆˆˆz t A z t A z t L t στ=++- (20) ()()()()()22112222
ˆˆˆˆˆz t A z t A z t L t Bu t στ=++-+ (21) 这里对ˆz
作了分解，相应的矩阵定义如下： 12ˆˆˆz z
z ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦，1112121
22A
A TAT A A -⎡⎤=⎢⎥⎣⎦，1
2ˆˆˆL L TLC L ⎡⎤==⎢⎥⎢⎥⎣⎦
切换方程ˆ0x
Λ=变换后变为 1
ˆ0T z -Λ= 记[]1
12T
-Λ=ΛΛ，则有
1122ˆˆ0z
z Λ+Λ= (22) 我们不失一般性的假设2Λ非奇异，由(22)式可以解出
1
2211ˆˆz z
-=-ΛΛ 于是我们得到n p -维的滑动模态的运动方程为
()()()111ˆˆˆz t Az t L t στ=+- (23) 其中 1112
A A A F =+ 121F -=-ΛΛ (24)
定理2 如果A
是Hurwitz 的，则系统(23)是指数渐近稳定的。

证明： 由定理1知误差系统
()()()t A t LC t σ
σστ=-- 是指数渐近稳定的，而时延τ是定常的，故有 ()00t
t m e
λστ--≤ (25)
这里0m 和0λ为正常数。

由线性系统理论知，式(23)的解可以表示为
()()()1101
ˆˆˆt
A t At
z
t e z e L d ασατα-=+-⎰
(26) 对(26)式两端取范数得
()()()1101
ˆˆˆt A t At z t e z e L d ασατα-=+-⎰ (27) 考虑到A
是Hurwitz 的，故 11t At
e
m e λ-≤ (28)
其中1m 和1λ为适当正数。

这样将(25)和(28)式代入(27)得
()()01111110011
ˆˆˆt
t t z t m z e m m L e
d λλλα
λα-++-=+⎰
()01111100110
ˆˆt t t
m z
e m m L e e d λλλλαα-+-=+⎰
()01111100111ˆˆ1t t
t m z e m m L e e λλλλ----=+- 0111100111
ˆˆt t
m z
e m m L e λλλ---≤+ t
me
λ-≤
其中11100111ˆˆm m z m m L λ-=+，{}01
min ,λλλ=。

所以，系统(23)是指数渐近稳定的。

引理3[8] 若(),A B 可控，则()1112,A A 是可控的。

由于()1112,A A 是可控的，故我们可以利用极点配置或最优控制的方法来取定增益矩阵
F ，从而由(24)式确定出1Λ。

为了计算方便，我们通常取2p I Λ=，当[]F
I T Λ=-时，
由定理2可保证滑动模态是指数渐近稳定的。

综上所述，可以总结网络化控制系统变结构控制器的设计步骤如下：
(1) 根据(13)求取最大允许时延界max M τ，如果实际时延max M ττ>，说明问题不可解，否则做下一步；
(2) 根据定理1，求解LMI(5)，计算观测器增益阵1
T
L C NP C -+
=；
(3) 求取非奇异线性变换矩阵T ，使得ˆ0T
T TB B ⎡⎤=⎣⎦
；利用极点配置或最优控制的方法来求取增益矩阵F ，使得()1112A A F +为Hurwitz 矩阵；取[]F
I T Λ=-，并保证
()det 0B Λ≠；
(4) 选取合适的i ε，i k ()1,,i p = ，i ε较小，i k 较大； (5) 根据(19)求取控制律。

注 3 采用趋近律的方法可以通过调节参数i ε和i k 来削弱抖振。

当相轨线接近切换面
0S =时，有
,0i i i s
s ε=-> ,0i i i s
s ε=+< 就是说，参数i ε表示到达切换面的趋近速度。

这样我们可以选取足够小的i ε，保证趋近速度较小，穿过切换面的距离就小，从而切换的滞后小，这也就保证了抖振较小。

但同时要注意到趋近速度很慢，这又导致了坏的品质，为了保证削弱抖振的同时也保证快速趋近，应在减小i ε的同时，增大i k 的值。

注4 由于利用观测器的状态来构造切换面()ˆˆS x
x =Λ与理想的切换面()S x x =Λ是平行的，它们之间存在距离为()d t σ=Λ，随着时间t 的增加d 最终趋于零，但这种替换会对系统的鲁棒性造成一定的影响。

4 算例及仿真
考虑如下被控对象
()2
1
257
p G s s s =
++ ()p G s 的状态空间实现为
()()()()()11220107251x t x t u t x t x t ⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤=+⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥--⎣
⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦ ()[]()()1210x t y t x t ⎡⎤
=⎢⎥⎣⎦
由(13)求取最大允许时延界max 0.28M τ=。

我们取0.2τ=，根据定理1，求解LMI(5)得
0.79850.21140.21140.0786P -⎡⎤=⎢⎥-⎣⎦
，[]0.76780.2032N =-
故观测器增益
[]10.96150T
T L C NP C -+==
观测器方程为
()()()()()()()111222ˆˆ0100.96150ˆ725100ˆx t x t t u t x t t x t στστ⎡⎤-⎡⎤⎡⎤
⎡⎤⎡⎤⎡⎤=++⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥---⎣
⎦⎣⎦⎣⎦⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦ 由于B 已经是标准形式，故T I =。

取期望极点为-5，由极点配置原理可取5F =-，故取
[]51Λ=；取100K =，0.01ε=，由(19)式求得控制律为
()()()12112ˆˆˆˆ49370 4.80750.01sgn 5u t x
x t x x στ=--+-+-+ 当取初始条件为121,1x x ==-时闭环网络化控制系统对象的状态、观测器状态、控制输入、切换函数的仿真曲线分别如下图：
图2 对象状态响应曲线 图3 观测器状态响应曲线
图4 控制输入曲线 图5 切换函数Ｓ曲线
当1ε=时，仿真曲线如下：
图6
1ε=时对象状态响应曲线 图7 1ε=时观测器状态响应曲线
图8 1ε=时控制输入曲线 图9 1ε=时切换函数Ｓ
由图6~8可以看出，仿真曲线有明显的抖振。

这说明减小ε对削弱抖振具有显著的效果。

给对象施加一个扰动信号()[]00.5sin T f t t =，取0.01ε=，仿真曲线分别如下：
图10 存在扰动时对象状态响应曲线 图11 存在扰动时观测器状态响应曲线
图12 存在扰动时控制输入曲线 图13 存在扰动时切换函数Ｓ 由图10~13可以看出，当存在外部扰动时，闭环系统不能完全渐近稳定，存在一定的稳态误差，但是对于该扰动具有很好的抑制作用，这说明该变结构控制器具有一定的鲁棒性。

5 结论
本文主要研究了在传感器和控制器之间存在时网络化控制系统的变结构控制问题。

由于对象的状态不能直接利用，所以我们在控制器端设计了状态观测器，利用观测器的状态来构
造切换函数和变结构控制律。

文中采用指数趋近律的方法，可以通过调节参数i 和i k 来削弱抖振，增加动态响应速度。

仿真算例表明，该网络化控制系统的变结构控制器是有效的，并且具有一定的鲁棒性。

对于同时存在时延和数据丢包时网络化控制系统的变结构控制以及离散时间网络化控制系统的变结构控制是以后需要进一步研究课题。

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