不定积分经典习题

不定积分习题课

通过这一章的学习，我们认为应达到如下要求： 1、理解原函数、不定积分的概念。

2、掌握不定积分的基本性质，牢记基本积分公式，了解并能灵活应用若干常用积分公式。

3、理解不定积分的换元积分法和分部积分法的基本思想并能熟练运用于不定积分的计算。

4、掌握有理函数、三角函数有理式和简单无理函数的不定积分的计算方法和技巧。

一、知识网络图

定不分积⎪⎪⎪⎪

⎪

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⎩

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⎪⎨⎧⎪⎩⎪⎨⎧⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧⎩⎨⎧⎩⎨

⎧⎪⎩⎪⎨⎧某些无理函数积分三角函数有理式积分有理函数积分特殊函数的积分查表法

分部积分法第二换元积分法

凑微分法第一换元积分法换元积分法直接积分法计算方法基本积分公式不定积分的性质性质与公式不定积分的几何意义不定积分原函数

基本概念.4)(.3.2.1

一、求不定积分：

例1. 计算22arctan x

x

e dx e

⎰. 提示： 22arctan x x

e dx e

⎰=2222arctan [arctan ](1)x x x x x

x x de e de e e e e ---=--+⎰⎰ =222[arctan (1)

x x

x

x

x x

de de e

e e e ---++⎰⎰] =21arctan arctan x x x x e e e e

---

-C + 例2．计算⎰

+dx x x )

1(1

[解一]

⎰

+dx x x )

1(1 =C x x x d x +-+++=+-+⎰

222

2)2

1

()21()21(ln 21()2

1()21(1

=C x x x ++++

)1(21

ln [解二]

⎰

+dx x x )

1(1

=12

)1ln(2)

(12)

1(1C x x x x d dx x x +++=+=+⎰

⎰

=C x x x ++++

)1(2

1

ln 其中

2ln 1-=C C [方法小结]当被积函数含有根式时，通过巧妙的凑微分化成常用积分公式。

例3．计算⎰+dx e xe x

x

2

)1( [解一] 令，则

t e

x

=⎰+dx e xe x x 2)1(=dt t t t t t td dt t t dt t t t t ⎰⎰⎰⎰⋅+++-=+-=+=+1

111ln 11(ln )1(ln 1)1(ln 22 =C t t t t

dt t t t t ++-++-=+-++-

⎰)1ln(ln 1

ln ]111[1ln =C e e xe x x x

++-+)1ln(1

[解二] ⎰+dx e xe x x 2)1(=dx e e x e d x e e xd x x x x x ⎰⎰⎰+++-=+-=++11

1)11()1()1(2 =⎰⎰+++-=+++-)1(1)1(1x

x x

x x x x x e e de e x dx e e e e x =C e e e x de e e e x x

x x

x x x x ++-++-=+-++-

⎰)1ln(ln 1

)111(1 =C e e xe x x x

++-+)1ln(1

[方法小结] 被积函数中含有的不定积分，

可令, 从而将积分化为其它易积的积分。

另一方面，当用分部积分法，其中难以一步得到时，可以先将其中一部分凑成

x

e t e x

=dv u ,)())((x d x f ϕϕ'的形式，从而))((x df dv ϕ=。

例4．计算22

arctan (1)

x

dx x x +⎰

.

[解一] 令arctan x t =，即tgt x =，则

tdt dx 2

sec

=22arctan (1)x dx x x +⎰=222

22sec cot (csc 1)tan sec t tdt t tdt t t dt t t ==-⋅⎰⎰⎰

=2

cot cot cot 2t td t tdt t t tdt --=-+⎰⎰⎰-

=2

cot ln |sin |2

t t t t C -+-+

=C arctgx x

x

x arctgx +-++-

2)(|1|ln 22 [解二] 22arctan (1)

x dx x x +⎰

=22211arctan ()arctan arctan arctan 1x

xdx dx xd x x x x -=-+⎰⎰⎰ =22

arctan (arctan )2x x dx x -⎰2

1(arctan )arctan 2x xd x

=--⎰ 2

2

arctan 1(arctan )(1)2

x x dx x x x =-+-+⎰ 令t x 1=，则C t t d t dt t t dx x x ++-=++-=+-=+⎰⎰⎰)1ln(21)1(11211

)1(1222

22 =C x

x ++|1|

ln 2

从而原式

=2

arctan (arctan )ln ||2x x C x -

+-+。 [方法小结]当被积函数含有难积的反三角函数时，通常的做法是将这一部分作变量替换。另若分母为相差一个常数的两个因式的乘积，则可以将分式拆项，分别积分。 例5. 计算⎰

++dx x

x

cos 1sin 1

[分析一]本题属于三角函数有理式的积分, 可以利用万能公式作变量替换。

[解一] 令

tan 2x

t =，则2

22212,11cos ,12sin t dt dx t t x t t x +=+-=+= ⎰+dx +x x sin 1cos 1⎰⎰⎰+++=++=+++=++-+

++

=C t t dt t t dt t t t dt t t t t t

)1ln()121(1121211112122

2222

22 =2tan

ln(1tan )22

x x

C +++