人教版九年级数学下册锐角三角函数同步练习附答案-精编版

28.1锐角三角函数——正弦、余弦、正切
一、基础·巩固达标
1.在△R t ABC中，如果各边长度都扩大2倍，则锐角A的正弦值和余弦值()
A.都没有变化
B.都扩大2倍
C.都缩小2倍
D.不能确定
2.已知α是锐角，且cosα=4
5
，则sinα=()
A.9
25
B.
4
5
C.
316
D.
525
3.Rt△ABC中，∠C=90°，AC∶BC=1∶3，则cosA=_______，tanA=_________.
4.设α、β为锐角，若sinα=
33
，则α=________；若tanβ=，则β=_________. 23
5.用计算器计算：sin51°30′+cos49°50′－tan46°10′的值是_________.
6.△ABC中，∠BAC=90°，AD是高，BD=9，tanB=4
3
，求AD、AC、BC.
二、综合应用达标
7.已知α是锐角，且sinα=4
5
，则cos(90°－α)=()
A.43
B.
54
C.
31
D.
55
8.若α为锐角，tana=3，求cos
cos
sin
sin
的值.
9.已知方程x2－5x·sinα+1=0的一个根为23，且α为锐角，求tanα.
10.四边形是不稳定的.如图28.1－14，一矩形的木架变形为平行四边形，当其面积变为原矩形的一半时，你能求出∠α的值吗？
图28.1－14
三、回顾展望达标
11.三角形在正方形网格纸中的位置如图28.3－15所示，则sinα的值是()
A.3434
B. C. D. 4355
图28.1－15图28.1－17图28.1－16
12.如图28.1－17，⊙O是△ABC的外接圆，AD是⊙O的直径，连接CD，若⊙O的半径r 3 2，
AC=2，则cosB的值是()
A.3
2
B.
55
C.
32
D.
2
3
13.在△ABC中，∠C=90°，AB=15，sinA=1
3
，则BC=()
A.45
B.5
C.11
D. 545
14.如图28.3－16，CD是△R t ABC斜边上的高，AC=4，BC=3，则cos∠BCD=()
A.3
5
B.
344
C. D.
435
15.课本中，是这样引入“锐角三角函数”的：如图 28.1－18，在锐角 α 的终边 OB 上，任意取两点 P 和 P ，分别过点 P 和 P 做始边 OA 的垂线 PM 和 P M ，M 和 M 为垂足.我们规定，比值________ 叫做角 α 的正弦，比值________叫做角 α 的余弦.这是因为，由相似三角形的性质，可推得关于 这些比值得两个等式：________，________.说明这些比值都是由________唯一确定的，而与 P 点在角的终边上的位置无关，所以，这些比值都是自变量 α 的函数.
图 28.1－18
图 28.1－19
16.计算：2－1－tan60°+(
5
－1)0+
| 3 |
；
17.已知：如图 28.1－19，△ABC 内接于⊙O ，点 D 在 OC 的延长线上，sinB= (1)求证：AD 是⊙O 的切线；
(2)若 OD ⊥AB ，BC=5，求 AD 的长.
参考答案
1
2
，∠CAD=30°.
一、基础·巩固达标
1.在 △R t ABC 中，如果各边长度都扩大 2 倍，则锐角 A 的正弦值和余弦值(
)
A.都没有变化
B.都扩大 2 倍
C.都缩小 2 倍
D.不能确定
思路解析：当 △R t ABC 的各边长度都扩大二倍，所得新三角形与原三角形相似，故锐角 A 大
小不变.
答案：A
2.已知 α 是锐角，且 cos α=
4 5
，则 sin α=(
)
A.
9 25
B.
4 5
C.
3 16 D.
5
25
思路解析：由 cos α=
4 5
，可以设 α 的邻边为 4k ，斜边为 5k ，根据勾股定理，α 的对边为 3k ，则
sinα=
3 5
.
答案：C
1 1 1 1 1
3.Rt△ABC中，∠C=90°，AC∶BC=1∶3，则cosA=_______，tanA=_________.
思路解析：画出图形，设AC=x，则BC=
义计算.
3x，由勾股定理求出AB=2x，再根据三角函数的定
答案：1
2
，3
4.设α、β为锐角，若sinα=
33
，则α=________；若tanβ=，则β=_________. 23
思路解析：要熟记特殊角的三角函数值.
答案：60°,30°
5.用计算器计算：sin51°30′+cos49°50′－tan46°10′的值是_________.
思路解析：用计算器算三角函数的方法和操作步骤.
答案：0.3860
6.△ABC中，∠BAC=90°，AD是高，BD=9，tanB=4
3
，求AD、AC、BC.
思路解析：由条件可知△ABC、△ABD、△ADC是相似的直角三角形，∠B=∠CAD，于是有
tan∠CAD=tanB=求解.4
3
，所以可以在△ABD、△ADC中反复地运用三角函数的定义和勾股定理来
解：根据题意，设AD=4k，BD=3k，则AB=5k.
在△R t ABC中，∵tanB=4420
，∴AC=AB= k.∵BD=9,∴k=3. 333
所以AD=4×3=12，AC=20
3
×3=20.
根据勾股定理BC 20215225.
二、综合应用达标
7.已知α是锐角，且sinα=4
5
，则cos(90°－α)=()
A.43
B.
54
C.
31
D.
55
思路解析：方法1.运用三角函数的定义，把α作为直角三角形的一个锐角看待，从而对边、邻边、斜边之比为4∶3∶5，(90°－α)是三角形中的另一个锐角，邻边与斜边之比为4∶5，cos(90°
－α)=4 5 .
方法2.利用三角函数中互余角关系“sinα=cos(90°－α)”.
答案：A
8.若α为锐角，tana=3，求
cos
cos
sin
sin
的值.
思路解析：方法1.运用正切函数的定义，把α作为直角三角形的一个锐角看待，从而直角三角形三边之比为3∶1∶10，sinα=
3
10
，cosα=
1
10
，分别代入所求式子中.
方法2.利用tanα=
sin
cos
计算，因为cosα≠0，分子、分母同除以cosα，化简计算.
答案：原式=
cos sin
cos cos
cos sin
cos cos
1tan 131
1tan 132
9.已知方程x2－5x·sinα+1=0的一个根为23，且α为锐角，求tanα.
思路解析：由根与系数的关系可先求出方程的另一个根是
利用前面介绍过的方法求tanα.
23
解：设方程的另一个根为x，则()x=1
23
∴x=
4
.
∴5sinα=(23)+(23)，解得sinα=
5
23，进而可求出sinα=
4
5
，然后
设锐角α所在的直角三角形的对边为4k，则斜边为5k，邻边为3k，
∴tanα=
4k4
3k3
.
10.四边形是不稳定的.如图28.1－14，一矩形的木架变形为平行四边形，当其面积变为原矩形的一半时，你能求出∠α的值吗？
图28.1－14
思路解析：面积的改变实际上是平行四边形的高在改变，结合图形，可以知道h=
1
2
b，再在高
所在的直角三角形中由三角函数求出α的度数.
解：设原矩形边长分别为a，b，则面积为ab，
22
2
1 2ab.
由题意得，平行四边形的面积S=
又因为 S=ah=a(bsin α)，所以 1 1
ab=absin α，即 sinα= .所以 α=30°.
2 2
三、回顾 展望达标
11.三角形在正方形网格纸中的位置如图 28.3－15 所示，则 sin α 的值是(
)
A.
图 28.1－15
3
4 3 4 B. C. D.
4
3 5 5
思路解析：观察格点中的直角三角形，用三角函数的定义. 答案：C
12.如图 28.1－17，⊙O 是△ABC 的外接圆，AD 是⊙O 的直径，连接 CD ，若⊙O 的半径
r
3 2
，
AC=2，则 cosB 的值是(
)
图 28.1－17
A.
3 2
B.
5 5 C.
3
2
D.
2 3
思路解析：利用∠BCD=∠A 计算. 答案：D
13.在△ABC 中，∠C=90°，AB=15，sinA= 1
3
，则 BC=(
)
A.45
B.5
C.
1 1 D.
5 45
思路解析：根据定义 sinA= 答案：B
BC AB
，BC=AB·sinA.
14.如图 28.3－16，CD 是 △R t ABC 斜边上的高，AC=4，BC=3，则 cos ∠BCD=(
)
图 28.1－16
A.
3 5
B.
3 4 4 C. D.
4
3 5
思路解析：直径所对的圆周角是直角，设法把∠B 转移到 △R t ADC 中，由“同圆或等圆中，同 弧或等弧所对的圆周角相等”，得到∠ADC=∠B.
答案：B
15.课本中，是这样引入“锐角三角函数”的：如图 28.1－18，在锐角 α 的终边 OB 上，任意取两点 P 和
P ，分别过点 P 和 P 做始边 OA 的垂线 PM 和 P M ，
M 和 M 为垂足.我们规定，比值________ 叫做角 α 的正弦，比值________叫做角 α 的余弦.这是因为，由相似三角形的性质，可推得关于 这些比值得两个等式：________，________.说明这些比值都是由________唯一确定的，而与 P 点在角的终边上的位置无关，所以，这些比值都是自变量 α 的函数.
图 28.1－18
思路解析：正弦、余弦函数的定义.
答案：
PM OM PM
P M OM
OM , , 1 1 , 1
OP OP OP
OP
OP
OP
1
1
，锐角 α 16.计算：2
1
－tan60°
+( 5 －1)0+ | 3 | ；
思路解析：特殊角的三角函数，零指数次幂的意义，负指数次幂的意义.
解：2 － －tan60°+(
5
－1)0+| 3
|=
1 3
－ 3 +1+ 3 = .
2 2
17.已知：如图 28.1－19，△ABC 内接于⊙O ，点 D 在 OC 的延长线上，sinB=
1 2
，∠CAD=30°.
图 28.1－19
1 1 1 1 1 － 1
(1)求证：AD是⊙O的切线；
(2)若OD⊥AB，BC=5，求AD的长.
思路解析：圆的切线问题跟过切点的半径有关，连接OA，证∠OAD=90°.
由sinB=1
2
可以得到∠B=30°，由此得到圆心角∠AOD=60°，从而得到△ACO是等边三角形，
由此∠OAD=90°.
AD是△R t OAD的边，有三角函数可以求出其长度.
(1)证明：如图，连接OA.
∵sinB=1
2
，∴∠B=30°.∴∠AOD=60°.
∵OA=OC，∴△ACO是等边三角形
∴∠OAD=60°.
∴∠OAD=90°.∴AD是⊙O的切线. (2)解：∵OD⊥AB∴OC垂直平分AB.∴AC=BC=5.∴OA=5.
在△R t OAD中，由正切定义，有tan∠AOD=∴AD=53.AD OA
.。