层合板的刚度与强度

（3－1）
（i,j=1,2,6） 称为层合板的面内刚度系数。面内刚度系数也象模量分量一 样，具有对称性。即Aij=Aji
式中
A
ij

h/2
(k )
h / 2
Q
dz
ij
为了使本章讨论对称层合板的刚度与以前讨论单向层合 板的刚度相关联。因此，将面内力与面内刚度系数进行正则 化，即设
Nx

N
h
x
( 90 ) 1 (0) (0) ( 90 ) (0) ( 90 ) ( 90 ) (n Q n Q ) V Q V Q Q (Q Q )V A11 n 11 22 11 11 22 11 11 ( 90 ) 1 (0) ( 0) ( 90 ) (0) ( 90 ) ( 90 ) (n Q n Q ) V Q V Q Q (Q Q )V A22 n 22 11 22 11 22 22 22
u(z)=u0
v(z)=v0
这在层合板的厚度与长度、宽度相比为很小时 是合理的。
所以沿层合板厚度上各点的应变是一样的。
εx(z)=εx˚ εy (z)=εy˚ γxy(z)=γxy˚
但因为层合板各个铺层的Qij可以不同，所以应力未 必是一样的。
为了确定层合板的面内刚度，必须建立层合板的面内力 与面内应变的关系。所谓层合板的面内力，就是层合板各铺 层应力的合力。（其单位为Pa²m，表示厚度为h的层合板横 截面单位宽度的力。）
A Q
h/2 ij h / 2
(k )
dz
ij
则可得正则化面内刚度系数的计算式，见书中(3-24)
3.1.5几种典型对称层合板的面内刚度
层合结构的复合材料，利用铺层的各单层材料和方向 的随意性可以得到各种各样的层合板。这一节将主要讨论 各铺层具有同样材料和厚度的一些特殊的对称层合板。 A.正交铺设对称层合板 凡各铺层只有00和900铺层方向的对称层合板称为正交铺 设对称层合板。 由正则化面内刚度系数的计算式可以求得正交铺设对称 层合板的Aij*。
N x x dz
(k ) h / 2
h/2
h/2
Ny

h / 2
y dz
(k )
N xy xy dz

(k ) h / 2
h/2
面内力的符号仍规定正面正向和负面负向为正，否则为负。 与应力符号规则一致。
为了建立面内力——面内应变关系式，只需要将各铺层的 应力—应变关系式代入上式中，【利用（ζ ）＝（Qij）（ε）】
例如：【0/90】s 即【0/90/0】
对于非对称层合板，必须在标记中表明全部铺层组的铺设顺 序，并标明下角标T。例如：【05/902/45/90/03】T 这种层合板标记，仅表明由底面向上至顶面的铺设顺序，而 不能相反。 当然，即使为对称层合板，有时也可采用标出全部铺层组的 标记，例如前面给出的对称层合板可写成： 【0 /90 /45/-45 /-45 /45/90 /0 】
0 0 x 11 x 12 y 16
0 0 y 21 x 22 y 26 0 0 xy 61 x 62 y 66
0 xy
0 xy 0 xy
（3－2）
上式为对称层合板的正则化面内力——面内应变关系式， 实质上就是对称层合板的平均应力（称层合板应力）和面内应 变的关系式。 我们将面内力——面内应变的关系式作逆变换，可得面内 应变与面内力的关系式。
xy y

a a

62 22
面内剪切弹性模量 面内泊松耦合系数
x a 21 0
G xy
0

1
a
66

0 x , xy
x xy
a a

61 66

0 y , xy


y xy

a a
62 66
a

0 y
a12
N
y
N
h
y
N
xy
N
xy
h
Aij

A
h
ij
Nx*、Ny*、Nxy*称为层合板的正则化面内力，单位是Pa或N/m2， 它们实际上表示了层合板的平均应力，又称层合板应力。 Aij* 称为层合板的正则化面内刚度系数，单位是Pa或N/m2， 与模量分量的量纲一样。
所以
N A A A N A A A N A A A
3 层合板的刚度与强度


层合板的刚度与强度的分析是建立在已知单 层刚度与强度的基础上。 假设层合板为连续、均匀、正交各向异性的 单层构成的一种连续性材料，并假设各单层 之间是完全紧密粘接，且限于线弹性、小变 形情况下研究层合板的刚度与强度，这种层 合理论称为经典层合理论。 本章是利用经典层合理论来讨论层合板的刚 度与强度。
ij

ij
即单向层合板的正则化面内柔度系数就是柔量分量。
（3－1）～（3－4）均可写成矩阵形式。（略）
3.1.3 对称层合板的面内工程弹性常数
类似于定义单层的工程弹性常数，利用单轴层合板应力或 纯剪层合板应力来定义对称层合板的面内工程弹性常数，可以 得到面内拉压弹性模量 例： Nx*≠0, Ny*= Nxy*=0, 利用公式（3－4），得

A12*=Q12
A66*=Q66
A16*= A26*= 0
式中 V(0)=n(0)/n, V(90)=n(90)/n 分别表示0˚方向和 90˚方向铺层的体积含量。 由正则化面内刚度系数矩阵求逆，即得正则化面内柔度 系数矩阵（aij*）。 P48 例题
•B. 斜交铺设对称层合板 凡各个单层只按±φ 两种方向铺设的对称层合板称为斜 交铺设对称层合板。如果两种方向的层数相同，则称为均衡斜 交铺设对称层合板。 对于均衡斜交铺设对称层合板，存在两个弹性主方向。
N
x
h/2
h / 2
[Q11
(k )


x
Q12
(k )


y
Q16
(k )

xy
]dz
]dz


h/2
h / 2
[Q11
(k )
0 x
Q12
(k )
0 y
Q16
(k )

0
0 xy
由于中面应变与Z无关，所以
N
0 x
h/2
x h / 2
源自文库
Q11 dz y
a N a N a N a N a N a N
0 y 21 x 22 y 26
xy
（3－4）
0





xy
xy
61
x
62
y
66
很明显，aij*=aijh，称为对称层合板的正则化面内柔度系数。 aij*的意义是，当对称层合板为单向层合板时，
a s

或【05/902/45/-456/45/902/05】T 另外，总数为奇数层的对称层合板往往采用T的标记法。 例如：【05/903/05】T
3.1.2 面内力——面内应变关系 由于本章讨论的是对称层合板，所以 各单层铺层角：θ（z）= θ（- z） 各单层模量：
Qij ( z ) Qij ( z )
a N a N a N a N a N a N a N a N a N
0 x 11 x 12 y 16
0 y 21 x 22 y 26
xy
xy
（3－3）
0
xy
61
x
62
y
66
xy
式中aij称为层合板面内柔度系数。 0 正则化形式： a11 N x a12 N y a16 N xy x
同样，由正则化面内刚度系数的计算式可以求得Aij*。
A Q
11

( )
11
A Q
22

( ) 22
A Q
12

( )
12
A66 Q
( )

( ) 66
A

16

A
26
0
Q
ij
表示铺层方向角θ ＝φ 时的偏轴模量分量。但要注 意，当θ ＝φ 时的偏轴模量分量
( )
Q
16
和Q
例如：【05/902/45/-453】s 这种标记的层合板表示，从板的底面开始，第一个铺层组 包含五层相对参考轴为0˚方向的铺层，接着向上是两层90˚方 向铺层，再向上是一层45˚方向铺层，最后至中面的三层是 －45˚方向的铺层。下角标s，表示对称层合板。
奇数层：在对称中面上的铺层用顶标“－”表示。
( ) 26
不为零。
因为此时铺层呈现各向异性。但层合板有两种偏轴方向 ＋φ 和－φ ，使参考轴为主方向时，不存在拉剪耦合或 剪拉耦合；因此，
A

16

A
26
0 也即层合板呈现正交各向异性。

c.准各向同性层合板
凡面内各个方向的刚度为相同的对称层合板称为准各向 同性层合板。 根据上述定义，可以证明，准各向同性层合板的充要条件： A16*=A26*=0, A11*=A22*, A66*=(A11*-A12*)/2 （3－6） 满足式中A16*=A26*=0表示层合板具有正交各向异性的性 能，又满足A11*=A22*，表示层合板具有正方对称的性能，再 满足A66*=(A11*-A12*)/2 表示层合板具有准各向同性的性能。 为满足（3－6）的条件，可以采用定向层体积含量相同 的 m(m≥3)种定向层，以间隔为π/m弧度的方向铺设成对称 层合板，即为准各向同性层合板。 例如： 【-60/0/60】s的m＝3的π/3层合板 【-45/0/45/90】s的m＝4的π/4层合板 均可推出（3－6）
11
a
22
拉剪耦合系数

0 xy , x

a a
61 11

0 xy , y

a a
62 22
剪拉耦合系数

0 x , xy

a a
16 66

0 y , xy

a a
26 66
3.1.4

面内刚度系数的计算

由于面内刚度系数与构成对称层合板的各铺层模量有简单 的积分关系式，而且各铺层可以有不同的偏轴模量，所以 正则化面内刚度系数可改写成求和的形式进行计算。 利用偏轴模量的计算公式及面内刚度系数的定义
对于这样的层合板，当作用力的合力作用线位于层合板 的几何中面内时（如图），由于层合板刚度的中面对称性， 层合板将引起面内变形（厚度方向的变形可忽略），不引起 弯曲变形。
在面内变形下，由于层合板各铺层是紧密粘接 的，因而可认为位移是一致的，即层合板厚度方向 上坐标为Z的任一点的面内位移就等于中面的位移， 即
3.1 对称层合板的面内刚度

所谓对称层合板，是指层合板的铺层方向相对于层合 板的几何中面是镜面对称的，也就是说，从中面向上 或向下观察各铺层方向，铺设顺序是相同的，单向层 合板可看作是对称层合板的一种特例。
3.1.1层合板的标记 层合板各铺层的方向随设计者的需要可以任意铺设。为 了分析各种铺设顺序层合板的力学性能，应简明地给出表征 层合板铺层或铺层组铺设顺序的符号，即层合板的标记。 偶数层：对称铺层只写出一半，括号外加写下标“s”表示对称。
由于正则化面内刚度系数与铺设顺序无关，而与铺层比有 关，所以按上述方法构成的准各向同性层合板，若改变它的铺 层顺序，也不会改变其准各向同性的性能。 例如： 【-602/02/602】s 【-60/02/60/-60/60】s •D.一般π /4层合板 凡是具有四个铺层方向彼此相隔45˚（即π/4），且各铺层 组可具有任意厚度的对称层合板称为一般π /4层合板。当四个 铺层组具有相同铺层体积含量时称为标准的π /4层合板，它是 准各向同性层合板。 一般π /4层合板，各定向层包含不同体积含量所得的Aij* 之间有很简单的线性关系，书中51页给出了以T300/4211复合 材料的例子。 但一般π /4层合板的aij*的变化图线和工程弹性常数的变化 图线要比Aij*的变化图线复杂得多。因此，利用面内刚度系数进 行层合板的力学分析，将比利用面内柔度系数更方便。
E
0 x
N
x

0 x

1
a


0 x

x
11
a a
y

21
11

0 xy , x
xy x

a a
61
11
同理，
Ey
0
N
y

0 y

1
a
22
x a12 y
0

y
a
22

0 xy , y
(k ) 0
h/2
h / 2
Q12 dz
(k )
0
xy h / 2

h/2
Q16 dz
0 xy 0 xy 0 xy
(k )
利用同样方法， 可导出Ny 、 Nxy， 简写为
N N N
x

y
xy
A A A A A A A A A
0 11 x 12 y 16 0 0 21 x 22 y 26 0 0 61 x 62 y 66