两点间的距离公式 课件
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空间两点间的距离公式 课件
【探究提升】对空间两点间距离公式的三点说明 (1)空间两点间距离公式是平面内两点间距离公式的推广. (2)公式的推导是转化成平Байду номын сангаас内两点之间的距离,结合勾股定理 推出的. (3)公式中x1,x2及y1,y2及z1,z2的顺序可以改变.
类型 一 空间两点间的距离公式
尝试解答下列题目，归纳利用空间两点间的距离公式求空间 距离的步骤. 1.点B是点A(1，2，3)在坐标平面yOz内的射影，则|OB|等于
()
A. 14
B. 13
C.2 3
D. 11
2.设点P在x轴上，它到点P1(0， 2 ，3)的距离为到点 P2(0,1,-1)的距离的两倍，求点P的坐标.
【解题指南】1.先求出点B的坐标，再由距离公式求解. 2.先根据x轴上点的坐标特点设出点P的坐标(a,0,0),再根据两 点间距离公式列出关于a的方程，然后解方程即可.
【解析】1.选C.| AB | (4 1)2 (2 2)2 (3 11)2 89.
| AC | (6 1)2 (1 2)2 (4 11)2 75 5 3. | BC | (6 4)2 (1 2)2 (4 3)2 14.
因为|AB|2=|AC|2+|BC|2, 又|AB|，|AC|，|BC|两两不等， 所以△ABC为直角三角形，故选C.
空间两点间的距离公式 观察空间两点间的距离公式,一般地,空间中任意两点 P1(x1,y1,z1),P2(x2,y2,z2)间的距离为
P1P2 (x1 x2 )2 (y1 y2 )2 (z1 z2 )2
探究1：观察公式,探究以下问题 (1)空间两点间的距离公式有何特征? 提示：空间两点间的距离公式右端是同名坐标的差的平方和 的算数平方根. (2)空间两点间的距离公式与平面内两点间的距离公式有什么 关系? 提示：空间两点间的距离公式是平面内两点间的距离公式的 推广,其形式和结构特征是相同的,只是多出一组坐标.
优秀老师课件-两点间距离公式
详细描述
已知三角形的三个顶点坐标，我们可以使用两点 间距离公式计算任意两个顶点之间的距离，从而 得到三角形的边长。
求解球面距离
总结词
在地理学中，两点间距离公式可以用于计算地球表面上两点之间的最短路径， 即球面距离。
详细描述
给定地球上两点的经纬度坐标（纬度θ1，经度λ1）和（纬度θ2，经度λ2），我 们可以使用两点间距离公式计算地球表面上这两点之间的最短路径，即球面距 离。
公式推导
利用勾股定理推导
设两点A(x1, y1)和B(x2, y2)，连接AB，形成一个直角 三角形。根据勾股定理，直角三角形的斜边长（即AB 的距离）为$sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2}$。
利用向量的模长推导
设向量$overset{longrightarrow}{AB} = (x_2 - x_1, y_2 - y_1)$，则向量$overset{longrightarrow}{AB}$ 的模长为$sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2}$，即 AB的距离。
证明方法二：利用向量点积
总结词：数学严谨
详细描述：利用向量的点积性质，我们可以推导出两点间距离公式。假设向量$overrightarrow{AB} = (x_2 - x_1, y_2 - y_1)$，则向量的模长即为两点间距离，即$d = |overrightarrow{AB}| = sqrt{(x_2 x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2}$。
04
两点间距离公式的应用实例
求解线段中点坐标
总结词
利用两点间距离公式，我们可以快速准确地求解线段的中点坐标。
详细描述
已知三角形的三个顶点坐标，我们可以使用两点 间距离公式计算任意两个顶点之间的距离，从而 得到三角形的边长。
求解球面距离
总结词
在地理学中，两点间距离公式可以用于计算地球表面上两点之间的最短路径， 即球面距离。
详细描述
给定地球上两点的经纬度坐标（纬度θ1，经度λ1）和（纬度θ2，经度λ2），我 们可以使用两点间距离公式计算地球表面上这两点之间的最短路径，即球面距 离。
公式推导
利用勾股定理推导
设两点A(x1, y1)和B(x2, y2)，连接AB，形成一个直角 三角形。根据勾股定理，直角三角形的斜边长（即AB 的距离）为$sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2}$。
利用向量的模长推导
设向量$overset{longrightarrow}{AB} = (x_2 - x_1, y_2 - y_1)$，则向量$overset{longrightarrow}{AB}$ 的模长为$sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2}$，即 AB的距离。
证明方法二：利用向量点积
总结词：数学严谨
详细描述：利用向量的点积性质，我们可以推导出两点间距离公式。假设向量$overrightarrow{AB} = (x_2 - x_1, y_2 - y_1)$，则向量的模长即为两点间距离，即$d = |overrightarrow{AB}| = sqrt{(x_2 x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2}$。
04
两点间距离公式的应用实例
求解线段中点坐标
总结词
利用两点间距离公式，我们可以快速准确地求解线段的中点坐标。
详细描述
两点间的距离公式》课件
几何意义：两点间的距离是 两点之间的最短路径
应用实例：计算两点间的距 离，如直线、曲线、平面等
两点间的距离公式
04
在物理中的应用
质点运动学中的距离计算
质点运动学：研究质点在空间中的运动规律 距离公式：描述两个质点之间距离的公式 应用：计算质点在运动过程中的位移、速度和加速度 实例：计算自由落体运动中质点的位移、速度和加速度
两点间的距离公 式：d = sqrt((x2x1)^2 + (y2y1)^2)
公式中的参数： x1, y1, x2, y2 分别表示两个点 的横坐标和纵坐 标
公式的用途：计 算两点间的直线 距离
公式的推导：利 用勾股定理推导 得出
两点间的距离公式
03
在几何中的应用
两点间线段最短问题
两点间的距离公式： d=sqrt((x2-x1)^2+(y2-y1)^2)
两点间的距离公式
05
的扩展应用
任意两点间的距离计算
两点间的距离公 式： d=sqrt((x2x1)^2+(y2y1)^2)
扩展应用：适用于 任意两点间的距离 计算
应用场景：地图导 航、GPS定位、物 流配送等
计算方法：输入两 点的坐标，利用公 式进行计算
多边形边长计算
利用两点间的距离公式，可以计算出多边形的边长 例如，已知多边形的顶点坐标，可以计算出每个边的长度 利用这些边长，可以计算出多边形的面积、周长等参数 在实际应用中，如建筑设计、地图绘制等领域，多边形边长计算具有重要意义
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目 录
01 单 击 添 加 目 录 项 标 题
2.3.2两点间的距离公式(教学课件)-高中数学人教A版(2019)选择性必修第一册
为AC,另一条小路过点D,问：是否在BC上存在一点M,使得
两条小路AC与DM相互垂直?若存在，求出小路DM的长.
解：以B 为坐标原点，BC,BA 所在直线分别为 x 轴 、y 轴建立如图所示的 平面直角坐标系.
因为 |AD|=5 m,|AB|=3 m,所 以C(5,0),D(5,3),A(0,3). 设点M 的坐标为(x,0),
解得
5.光线从点A(-3,4)射到x轴上，经反射后经过点B(4,10),则反 射光线所在直线的方程为 2x-y+2=0 ,光线从A到B的路线长 度为7√5 解析：由题意知，反射光线过(-3,-4)和(4,10)两点，故斜率为
所以反射光线为 y+4=2(x+3),整理得2x-y+2=0,
光线从A到 B 的路线长度，即为(-3,-4)与(4,10)间的距离，所
[例2] 已知点A(3,6), 在x轴上的点P与点A的距离等于 10,则点P的坐标为(-5,0)或(11,0) 解析：设点P 的坐标为(x,0),
由 |PA|=10得
解得x=11 或x=-5. 所以点P 的坐标为(-5,0)或(11,0).
解 ：法一 因 为
所以|AB|=|AC|,且 |AB|²+|AC|²=|BC|²,所以△ABC是等腰直角三角形.
法二 因 为 所以kAc ·kAB=-1.所以AC⊥AB.
所以|AC|=|AB|.所以△ABC是等腰直角三角形.
方法 总 结
利用两点间距离公式判断三角形形状的方法 已知三个顶点的坐标判断三角形的形状时，利用两点间的距离公式 求三边长，从边长间的关系入手，如果边长相等，则可能是等腰或等 边三角形；如果满足勾股定理，则是直角三角形.
C.直角三角形 D.以上都不是
两条小路AC与DM相互垂直?若存在，求出小路DM的长.
解：以B 为坐标原点，BC,BA 所在直线分别为 x 轴 、y 轴建立如图所示的 平面直角坐标系.
因为 |AD|=5 m,|AB|=3 m,所 以C(5,0),D(5,3),A(0,3). 设点M 的坐标为(x,0),
解得
5.光线从点A(-3,4)射到x轴上，经反射后经过点B(4,10),则反 射光线所在直线的方程为 2x-y+2=0 ,光线从A到B的路线长 度为7√5 解析：由题意知，反射光线过(-3,-4)和(4,10)两点，故斜率为
所以反射光线为 y+4=2(x+3),整理得2x-y+2=0,
光线从A到 B 的路线长度，即为(-3,-4)与(4,10)间的距离，所
[例2] 已知点A(3,6), 在x轴上的点P与点A的距离等于 10,则点P的坐标为(-5,0)或(11,0) 解析：设点P 的坐标为(x,0),
由 |PA|=10得
解得x=11 或x=-5. 所以点P 的坐标为(-5,0)或(11,0).
解 ：法一 因 为
所以|AB|=|AC|,且 |AB|²+|AC|²=|BC|²,所以△ABC是等腰直角三角形.
法二 因 为 所以kAc ·kAB=-1.所以AC⊥AB.
所以|AC|=|AB|.所以△ABC是等腰直角三角形.
方法 总 结
利用两点间距离公式判断三角形形状的方法 已知三个顶点的坐标判断三角形的形状时，利用两点间的距离公式 求三边长，从边长间的关系入手，如果边长相等，则可能是等腰或等 边三角形；如果满足勾股定理，则是直角三角形.
C.直角三角形 D.以上都不是
两点间的距离公式》课件(北师大版必修
y1)^2+(z2z1)^2)
椭圆面上的两点 间的距离公式：
d=sqrt((x2x1)^2+(y2y1)^2+(z2-
z1)^2)
双曲面面上的两 点间的距离公式：
d=sqrt((x2x1)^2+(y2y1)^2+(z2-
z1)^2)
抛物面上的两点 间的距离公式：
d=sqrt((x2x1)^2+(y2y1)^2+(z2-
两点间的距离公 式
,
汇报人：
添加目录标题
两点间的距离 公式
两点间的距离 公式在几何中 的应用
两点间的距离 公式在解析几 何中的应用
两点间的距离 公式的扩展应 用
添加章节标题
两点间的距离公式
公式推导
● 两点间的距离公式：d=sqrt((x2-x1)^2+(y2-y1)^2)
● 推导过程： a. 假设有两个点A(x1,y1)和B(x2,y2) b. 连接AB，并设AB的长度为d c. 根据勾股定理， AB的平方等于x2-x1的平方加上y2-y1的平方 d. 因此，两点间的距离公式为d=sqrt((x2x1)^2+(y2-y1)^2)
应用：在几何中，垂直平分线常用于证明线段相等、三角形全等等
公式：两点间的距离公式为d=sqrt((x2-x1)^2+(y2-y1)^2)，其中(x1,y1)和(x2,y2)为两点 的坐标。
两点间线段的斜率
斜率定义：斜率是描述直线或曲线在某一点的倾斜程度的量
斜率公式：斜率等于两点间的纵坐标差除以横坐标差
● a. 假设有两个点A(x1,y1)和B(x2,y2) ● b. 连接AB，并设AB的长度为d ● c. 根据勾股定理，AB的平方等于x2-x1的平方加上y2-y1的平方 ● d. 因此，两点间的距离公式为d=sqrt((x2-x1)^2+(y2-y1)^2)
椭圆面上的两点 间的距离公式：
d=sqrt((x2x1)^2+(y2y1)^2+(z2-
z1)^2)
双曲面面上的两 点间的距离公式：
d=sqrt((x2x1)^2+(y2y1)^2+(z2-
z1)^2)
抛物面上的两点 间的距离公式：
d=sqrt((x2x1)^2+(y2y1)^2+(z2-
两点间的距离公 式
,
汇报人：
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两点间的距离 公式
两点间的距离 公式在几何中 的应用
两点间的距离 公式在解析几 何中的应用
两点间的距离 公式的扩展应 用
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两点间的距离公式
公式推导
● 两点间的距离公式：d=sqrt((x2-x1)^2+(y2-y1)^2)
● 推导过程： a. 假设有两个点A(x1,y1)和B(x2,y2) b. 连接AB，并设AB的长度为d c. 根据勾股定理， AB的平方等于x2-x1的平方加上y2-y1的平方 d. 因此，两点间的距离公式为d=sqrt((x2x1)^2+(y2-y1)^2)
应用：在几何中，垂直平分线常用于证明线段相等、三角形全等等
公式：两点间的距离公式为d=sqrt((x2-x1)^2+(y2-y1)^2)，其中(x1,y1)和(x2,y2)为两点 的坐标。
两点间线段的斜率
斜率定义：斜率是描述直线或曲线在某一点的倾斜程度的量
斜率公式：斜率等于两点间的纵坐标差除以横坐标差
● a. 假设有两个点A(x1,y1)和B(x2,y2) ● b. 连接AB，并设AB的长度为d ● c. 根据勾股定理，AB的平方等于x2-x1的平方加上y2-y1的平方 ● d. 因此，两点间的距离公式为d=sqrt((x2-x1)^2+(y2-y1)^2)
两点间的距离公式》课件3
在平面几何中，两点间的距离公式可以用来计算线段的长度，以及三角形、四边形等图形的周 长和面积。
在立体几何中，两点间的距离公式可以用来计算线段的长度，以及圆柱、圆锥、球等立体图形 的体积和表面积。
在解析几何中，两点间的距离公式可以用来计算直线、曲线、曲面等图形的长度、面积和体积。
两点间的距离公式在现 实生活中的应用
圆上两点间距离问题
两点间的距离公 式： d=sqrt((x2x1)^2+(y2y1)^2)
圆上两点间距离： d=sqrt((x2x1)^2+(y2y1)^2)-r
应用：计算圆上 任意两点间的距 离
注意事项：计算时 需考虑圆心和半径， 避免出现负数
两点间距离公式的几何意义
两点间的距离公式是几何中的一个基本概念，用于计算两点之间的直线距离。
公式应用
计算两点间的直线距离 计算两点间的曲线距离 计算两点间的最短距离 计算两点间的最长距离
公式理解
两点间的距离公式：d=sqrt((x2-x1)^2+(y2-y1)^2) 公式含义：计算两点之间的直线距离 公式应用：测量、导航、定位等领域 公式推导：基于欧几里得几何学和勾股定理
公式记忆
两点间的距离公
● 应用：计算两点间的距离，如A(1,2)和B(3,4)，d=sqrt((3-1)^2+(4-2)^2)=sqrt(10)
● 注意事项： a. 公式中的x1、y1、x2、y2是坐标值，不是变量 b. 公式中的sqrt是开方运算，不是平方根 c. 公式中的d是两点间的距离， 不是变量 ● a. 公式中的x1、y1、x2、y2是坐标值，不是变量 ● b. 公式中的sqrt是开方运算，不是平方根 ● c. 公式中的d是两点间的距离，不是变量
在立体几何中，两点间的距离公式可以用来计算线段的长度，以及圆柱、圆锥、球等立体图形 的体积和表面积。
在解析几何中，两点间的距离公式可以用来计算直线、曲线、曲面等图形的长度、面积和体积。
两点间的距离公式在现 实生活中的应用
圆上两点间距离问题
两点间的距离公 式： d=sqrt((x2x1)^2+(y2y1)^2)
圆上两点间距离： d=sqrt((x2x1)^2+(y2y1)^2)-r
应用：计算圆上 任意两点间的距 离
注意事项：计算时 需考虑圆心和半径， 避免出现负数
两点间距离公式的几何意义
两点间的距离公式是几何中的一个基本概念，用于计算两点之间的直线距离。
公式应用
计算两点间的直线距离 计算两点间的曲线距离 计算两点间的最短距离 计算两点间的最长距离
公式理解
两点间的距离公式：d=sqrt((x2-x1)^2+(y2-y1)^2) 公式含义：计算两点之间的直线距离 公式应用：测量、导航、定位等领域 公式推导：基于欧几里得几何学和勾股定理
公式记忆
两点间的距离公
● 应用：计算两点间的距离，如A(1,2)和B(3,4)，d=sqrt((3-1)^2+(4-2)^2)=sqrt(10)
● 注意事项： a. 公式中的x1、y1、x2、y2是坐标值，不是变量 b. 公式中的sqrt是开方运算，不是平方根 c. 公式中的d是两点间的距离， 不是变量 ● a. 公式中的x1、y1、x2、y2是坐标值，不是变量 ● b. 公式中的sqrt是开方运算，不是平方根 ● c. 公式中的d是两点间的距离，不是变量
两点间的距离公式(上课课件)
人A数学选择性必修第一册
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2．已知点A(－3,4)和B(0，b)，且|AB|＝5，则b＝( A )
A．0或8
B．0或－8
C．0或6
D．0或－6
3 ． 已 知 点 A(1 ， － 5) ， B( － 3 ， － 1) ， 线 段 AB 的 中 点 M ， 则 |OM| ＝ _____1_0____.
D(－b，h)．由两点间的距离公式，得 |AC|＝ －a－b2＋0－h2＝ a＋b2＋h2， |BD|＝ [a－－b]2＋0－h2＝ a＋b2＋h2， 所以|AC|＝|BD|.
人A数学选择性必修第一册
对称问题(2) 1．直线关于点的对称问题 直线l关于点P对称的直线l′满足：
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(1)直线l′与直线l平行；
由距离公式，得
|AE|＝
2c＋a2＋ 23c－02＝ a2＋ac＋c2，
|CD|＝
c＋2a2＋0－ 23a2＝ a2＋ac＋c2，
所以|AE|＝|CD|.
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2.已知等腰梯形ABCD，建立适当的坐标系，证明：对角线|AC|＝|BD|. 证明：如图，以等腰梯形ABCD的下底AB所在直线为x轴，以AB的中点 O为坐标原点建立平面直角坐标系，设梯形下底|AB|＝2a，上底|CD|＝ 2b，高为h，则A(－a,0)，B(a,0)，C(b，h)，
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[例3] 已知点A(2，－3)，直线l：x－y＋1＝0.求： (1)直线l关于点A的对称直线l1的方程； (2)直线2x－y－3＝0关于直线l的对称直线l2的方程．
人A数学选择性必修第一册
两点的距离公式ppt课件
Love ,not time,heals all wounds. 治愈一切创伤的并非时间,而是爱.
Life is tough,but I'm tougher. 生活是艰苦的,但我应更坚强.
知识探究（一）：两点间的距离公式
思考1:在x轴上，已知点P1(x1，0)和 P2(x2，0)，那么点P1和P2的距离为多少？
1.5 平面直角坐标系中的距离公式 一.两点间的距离公式
问题提出
复习： 如何判定两条直线平行？垂直？
1.在平面直角坐标系中，根据直线的方 程可以确定两直线平行、垂直等位置关系， 以及求两相交直线的交点坐标，我们同样可 以根据点的坐标确定点与点之间的相对位置 关系.
2.平面上点与点之间的相对位置关系一 般通过什么数量关系来反映？
P2
M
o
P1 x
| P1P2 | (x2 x1)2 ( y2 y1)2
思考6:当直线P1P2与坐标轴垂直时，上 述结论是否成立？P2 y P1 P2
o
x
P1
思考7:特别地，点P(x，y)与坐标原点的 距离是什么？
| OP | x2 y2
思考6:当直线P1P2与坐标轴垂直时，上 述结论是否成立？P2 y P1 P2
知识探究（一）：两点间的距离公式
思考1:在x轴上，已知点P1(x1，0)和 P2(x2，0)，那么点P1和P2的距离为多少？
|P1P2|=|x1-x2|
思考2:在y轴上，已知点P1(0，y1)和 P2(0，y2)，那么点P1和P2的距离为多少？
|P1P2|=|y1-y2|
思考3:已知x轴上一点P1(x0，0)和y轴上 一点P2(0，y0)，那么点P1和P2的距离为 多少？
思考2:已知平面上两点P1(x1，y1)和 P2(x2，y2)，直线P1P2的斜率为k，则 x2-x1可怎样表示？从而点P1和P2的距 离公式又可作怎样的变形？
Life is tough,but I'm tougher. 生活是艰苦的,但我应更坚强.
知识探究（一）：两点间的距离公式
思考1:在x轴上，已知点P1(x1，0)和 P2(x2，0)，那么点P1和P2的距离为多少？
1.5 平面直角坐标系中的距离公式 一.两点间的距离公式
问题提出
复习： 如何判定两条直线平行？垂直？
1.在平面直角坐标系中，根据直线的方 程可以确定两直线平行、垂直等位置关系， 以及求两相交直线的交点坐标，我们同样可 以根据点的坐标确定点与点之间的相对位置 关系.
2.平面上点与点之间的相对位置关系一 般通过什么数量关系来反映？
P2
M
o
P1 x
| P1P2 | (x2 x1)2 ( y2 y1)2
思考6:当直线P1P2与坐标轴垂直时，上 述结论是否成立？P2 y P1 P2
o
x
P1
思考7:特别地，点P(x，y)与坐标原点的 距离是什么？
| OP | x2 y2
思考6:当直线P1P2与坐标轴垂直时，上 述结论是否成立？P2 y P1 P2
知识探究（一）：两点间的距离公式
思考1:在x轴上，已知点P1(x1，0)和 P2(x2，0)，那么点P1和P2的距离为多少？
|P1P2|=|x1-x2|
思考2:在y轴上，已知点P1(0，y1)和 P2(0，y2)，那么点P1和P2的距离为多少？
|P1P2|=|y1-y2|
思考3:已知x轴上一点P1(x0，0)和y轴上 一点P2(0，y0)，那么点P1和P2的距离为 多少？
思考2:已知平面上两点P1(x1，y1)和 P2(x2，y2)，直线P1P2的斜率为k，则 x2-x1可怎样表示？从而点P1和P2的距 离公式又可作怎样的变形？
两点之间的距离公式课件
详细描述
在平面几何中，给定圆心O(x0, y0)和 圆上任一点P(x1, y1)，圆上任一点到 圆心的距离（即圆的半径）可以通过 距离公式计算得出，即r = sqrt[(x1x0)^2 + (y1-y0)^2]。
两点之间的距离公式练习题及 答案
06
练习题一：求解两点间的距离
总结词
掌握两点间距离公式的应用
几何学
在研究平面或空间中的几何形状、曲线和曲面时，变种公式可以用 来确定点之间的相对位置和距离。
工程学
在建筑设计、土木工程和机械设计中，变种公式可以用来确定结构中 各部分之间的精确位置和距离，以确保结构的稳定性和安全性。
两点之间的距离公式实例解析
05
实例一：求解两点间的最短路径
总结词
两点间的最短路径问题可以通过距离公式进行求解，找到连接两点的最短路径。
详细描述
在平面坐标系中，给定两个点A(x1, y1)和B(x2, y2)，两点之间的距离公式为d = sqrt[(x2-x1)^2 + (y2-y1)^2]。通过计算两点之间的距离，可以找到连接两点 的最短路径，即线段AB。
实例二：求解点到直线的距离
总结词
点到直线的距离问题可以通过距离公式进行求解，找到点到 直线的最近点。
详细描述
在平面几何中，给定点P(x0, y0)和直线Ax + By + C = 0，点 到直线的距离公式为d = |Ax0 + By0 + C| / sqrt(A^2 + B^2)。通过计算点到直线的距离，可以找到点到直线的最近 点。
实例三：求解圆的半径
总结词
圆的半径问题可以通过距离公式进行 求解，找到圆上任一点到圆心的距离。
在平面几何中，给定圆心O(x0, y0)和 圆上任一点P(x1, y1)，圆上任一点到 圆心的距离（即圆的半径）可以通过 距离公式计算得出，即r = sqrt[(x1x0)^2 + (y1-y0)^2]。
两点之间的距离公式练习题及 答案
06
练习题一：求解两点间的距离
总结词
掌握两点间距离公式的应用
几何学
在研究平面或空间中的几何形状、曲线和曲面时，变种公式可以用 来确定点之间的相对位置和距离。
工程学
在建筑设计、土木工程和机械设计中，变种公式可以用来确定结构中 各部分之间的精确位置和距离，以确保结构的稳定性和安全性。
两点之间的距离公式实例解析
05
实例一：求解两点间的最短路径
总结词
两点间的最短路径问题可以通过距离公式进行求解，找到连接两点的最短路径。
详细描述
在平面坐标系中，给定两个点A(x1, y1)和B(x2, y2)，两点之间的距离公式为d = sqrt[(x2-x1)^2 + (y2-y1)^2]。通过计算两点之间的距离，可以找到连接两点 的最短路径，即线段AB。
实例二：求解点到直线的距离
总结词
点到直线的距离问题可以通过距离公式进行求解，找到点到 直线的最近点。
详细描述
在平面几何中，给定点P(x0, y0)和直线Ax + By + C = 0，点 到直线的距离公式为d = |Ax0 + By0 + C| / sqrt(A^2 + B^2)。通过计算点到直线的距离，可以找到点到直线的最近 点。
实例三：求解圆的半径
总结词
圆的半径问题可以通过距离公式进行 求解，找到圆上任一点到圆心的距离。
空间两点间的距离公式 课件
取A1C1的中点O,由于M为BD1的中点, 所以 M( a , a , a ),O( a , a ,a).
222 22
因为|A1N|=3|NC1|,所以N为A1C1的四等分点,从而N为OC1的中点,
故 N( a , 3a ,a).
44
根据空间两点间距离公式,
得 MN (a a )2 (a 3a )2 (a a)2 6 a.
O
Q1
R1
x
y
|P1Q1|=|x1-x2|； |Q1R1|=|y1-y2|；|R1P2|=|z1-z2| |P1P2|2=|P1Q1||2+|Q1R1|2+|R1P2|2 | P1P2 | (x1 x2 )2 (y1 y2 )2 (z1 z2 )2
【合作探究】
在空间中，到原点的距离等于定长r的点的轨迹是：
【能力提升】
【例题1】如图,已知正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为a,M为BD1的中点, 点N在A1C1上,且A1N=3NC1,试求MN的长.
【解析】以D为原点,以DA,DC,DD1所在直线分别为x轴,y轴,z轴建立 如图所示的空间直角坐标系.因为正方体棱长为a. 所以B(a,a,0),A1(a,0,a),C1(0,a,a),D1(0,0,a).
o
x
P
2
zБайду номын сангаас E
3m 4m o xA
H G
6m C
F
y B
1.空间点到原点的距离
z
提示：
P(x, y, z)
|BP|=|z|
y |OB|= x2 + y2
o
C
|OP|= x2 + y2 + z2
xA
2.3.2两点间的距离公式ppt课件新教材人教A版选择性必修第一册
知识点
任务型课堂
课后素养评价
两点间的距离
1 ． 平 面 内 的 两 点 P1(x1 ， y1) ， P2(x2 ， y2) 间 的 距 离 公 式 ， |P1P2| ＝
2 − 1 2 + 2 − 1 2
______________________．
2．两点间距离的特殊情况
2 + 2
(1)原点O(0，0)与任一点P(x，y)间的距离|OP|＝ __________．
|x2－x1|
(2)当P1P2∥x轴(y1＝y2)时，|P1P2|＝_______．
|y2－y1|
(3)当P P ∥y轴(x ＝x )时，|P P |＝_______．
1 2
1
2
1 2
问题式预习
2.3.2 两点间的距离公式
任务型课堂
课后素养评价
[微训练]
1．已知M(2，1)，N(－1，5)，则|MN|＝(
的中线AM的长为(
)
A．8
B．13
C．2 15
D． 65
D
解析：由B(10，4)，C(2，－4)可得M(6，0)，又A(7，8)，所以
|AM|＝
6−7
2
+ 0 − 8 2 ＝ 65.
问题式预习
2.3.2 两点间的距离公式
任务型课堂
课后素养评价
2．已知线段AB的两个端点分别在x轴和y轴上，且线段AB的中点为
第二章 直线和圆的方程
2.3
直线的交点坐标与距离公式
2.3.2 两点间的距离公式
问题式预习
2.3.2 两点间的距离公式
学习任务目标
掌握两点间的距离公式并会简单应用．(逻辑推理)
数学：432《空间两点间的距离公式》课件新人教A版必修2
详细描述
通过中点坐标公式，可以方便地找到线段的中点，进而用于 计算线段的长度、确定平行线间的距离、进行向量加法运算 等。
中点坐标计算实例
总结词
通过具体的例子，演示如何使用中点坐标公式进行计算。
详细描述
例如，已知线段两端点A(1,2)和B(4,5)，使用中点坐标公式可以计算出中点M的 坐标为(2.5,3.5)。
CHAPTER 04
空间中线段的斜率与方向向量
斜率与方向向量的关系
斜率是描述线段在空间中倾斜程度的 数值，而方向向量则表示线段的方向 。
在三维空间中，线段的斜率与方向向 量之间的关系可以用数学公式表示， 为研究空间几何提供了重要的理论基 础。
斜率与方向向量的关系密切，斜率可 以通过方向向量计算得出，反之亦然 。
公式
如果点A(x1, y1, z1)和点B(x2, y2, z2)是空间中的两点，那么它们之 间的距离d可以通过以下公式计算 ：d = sqrt[(x2-x1)^2 + (y2y1)^2 + (z2-z1)^2]。
公式推导过程
利用勾股定理推导
通过勾股定理，我们可以推导出空间两 点间的距离公式。设线段AB为两点间的 距离，过点A和B分别作垂直于线段AB的 两个平面，分别交线段AB于点C和D。利 用勾股定理，我们可以得到AC^2 + CD^2 = AD^2，其中AC和CD分别是点 A到平面BCD的距离和平面BCD到点D的 距离，AD是线段AB的长度。通过这个等 式，我们可以推导出空间两点间的距离 公式。
线段长度与时间的关系
在物理学中，物体的运动轨迹可以表示为线段，线段的长度与物体 运动的时间有关。
线段长度与速度的关系
在物理学中，物体的运动速度可以表示为线段长度与时间的比值， 即线段长度与速度有关。
通过中点坐标公式，可以方便地找到线段的中点，进而用于 计算线段的长度、确定平行线间的距离、进行向量加法运算 等。
中点坐标计算实例
总结词
通过具体的例子，演示如何使用中点坐标公式进行计算。
详细描述
例如，已知线段两端点A(1,2)和B(4,5)，使用中点坐标公式可以计算出中点M的 坐标为(2.5,3.5)。
CHAPTER 04
空间中线段的斜率与方向向量
斜率与方向向量的关系
斜率是描述线段在空间中倾斜程度的 数值，而方向向量则表示线段的方向 。
在三维空间中，线段的斜率与方向向 量之间的关系可以用数学公式表示， 为研究空间几何提供了重要的理论基 础。
斜率与方向向量的关系密切，斜率可 以通过方向向量计算得出，反之亦然 。
公式
如果点A(x1, y1, z1)和点B(x2, y2, z2)是空间中的两点，那么它们之 间的距离d可以通过以下公式计算 ：d = sqrt[(x2-x1)^2 + (y2y1)^2 + (z2-z1)^2]。
公式推导过程
利用勾股定理推导
通过勾股定理，我们可以推导出空间两 点间的距离公式。设线段AB为两点间的 距离，过点A和B分别作垂直于线段AB的 两个平面，分别交线段AB于点C和D。利 用勾股定理，我们可以得到AC^2 + CD^2 = AD^2，其中AC和CD分别是点 A到平面BCD的距离和平面BCD到点D的 距离，AD是线段AB的长度。通过这个等 式，我们可以推导出空间两点间的距离 公式。
线段长度与时间的关系
在物理学中，物体的运动轨迹可以表示为线段，线段的长度与物体 运动的时间有关。
线段长度与速度的关系
在物理学中，物体的运动速度可以表示为线段长度与时间的比值， 即线段长度与速度有关。
空间两点间的距离公式 课件
解析：∵平面ABCD⊥平面ABEF，
平面ABCD∩平面ABEF＝AB，AB⊥BE，
∴BE⊥平面ABCD.∴AB、BC、BE
两两垂直．
∴以B为原点，以BA、BE、BC所在直线为x轴、y轴和z 轴，建立如图所示的空间直角坐标系，
则 M 22a，0，1－ 22a，N 22a， 22a，0. ∴|MN|＝ 22a－ 22a2＋0－ 22a2＋1－ 22a－02 ＝ a2－ 2a＋1＝ a－ 222＋12.
2．在空间中，P1(x1，y1，z1)与P2(x2，y2，z2)的距离|P1P2| ＝___x_1－__x_2_2_＋__y_1_－__y_2_2＋___z_1－__z_2_2.
思考应用
若点P(x，y，z)到点A(2,1,4)的距离为5，则x，y，z满 足什么关系式？你能想象点P的集合是什么吗？
解析： x－22＋y－12＋z－42＝5， ∴(x－2)2＋(y－1)2＋(z－4)2＝25. 点 P 的集合是以(2,1,4)为球心，半径为 5 的球面．
∴当 a＝ 22时，|MN|最短，即为 22时， M、N 恰为 AC、BF 的中点．
点评：依据题中的垂直关系，建立恰当的坐标系，利
用空间坐标系中的性质、定理来求距离、证垂直、求角度
等．
OA＝2，OC＝3，AC＝
13，∴OD＝
6 ＝6 13
13 13 .
36
在 Rt△ODA 中，OD2＝y·OA，∴y＝123＝1183.
在 Rt△ODC 中，OD2＝x·OC，
36
∴x＝133＝1123.∴D1123，1183，0.
∴|O1D|＝
11232＋11832＋4＝1113424＝2286 13 .
解析：由空间两点间的距离公式得 |AB|＝ 1－x2＋[x＋2－5－x]2＋[2－x－2x－1]2 ＝ 14x2－32x＋19＝ 14x－872＋57 当 x＝87时，|AB|有最小值 75＝ 735，
平面ABCD∩平面ABEF＝AB，AB⊥BE，
∴BE⊥平面ABCD.∴AB、BC、BE
两两垂直．
∴以B为原点，以BA、BE、BC所在直线为x轴、y轴和z 轴，建立如图所示的空间直角坐标系，
则 M 22a，0，1－ 22a，N 22a， 22a，0. ∴|MN|＝ 22a－ 22a2＋0－ 22a2＋1－ 22a－02 ＝ a2－ 2a＋1＝ a－ 222＋12.
2．在空间中，P1(x1，y1，z1)与P2(x2，y2，z2)的距离|P1P2| ＝___x_1－__x_2_2_＋__y_1_－__y_2_2＋___z_1－__z_2_2.
思考应用
若点P(x，y，z)到点A(2,1,4)的距离为5，则x，y，z满 足什么关系式？你能想象点P的集合是什么吗？
解析： x－22＋y－12＋z－42＝5， ∴(x－2)2＋(y－1)2＋(z－4)2＝25. 点 P 的集合是以(2,1,4)为球心，半径为 5 的球面．
∴当 a＝ 22时，|MN|最短，即为 22时， M、N 恰为 AC、BF 的中点．
点评：依据题中的垂直关系，建立恰当的坐标系，利
用空间坐标系中的性质、定理来求距离、证垂直、求角度
等．
OA＝2，OC＝3，AC＝
13，∴OD＝
6 ＝6 13
13 13 .
36
在 Rt△ODA 中，OD2＝y·OA，∴y＝123＝1183.
在 Rt△ODC 中，OD2＝x·OC，
36
∴x＝133＝1123.∴D1123，1183，0.
∴|O1D|＝
11232＋11832＋4＝1113424＝2286 13 .
解析：由空间两点间的距离公式得 |AB|＝ 1－x2＋[x＋2－5－x]2＋[2－x－2x－1]2 ＝ 14x2－32x＋19＝ 14x－872＋57 当 x＝87时，|AB|有最小值 75＝ 735，
2.3.2两点间的距离公式 课件(共15张PPT)
.
解：设点的坐标为（，0）,
PA
( x 1)2 (0 2)2 x2 2x 5
PB ( x 2)2 (0 7)2 x2 4x 11
由||＝||，得 2 + 2 + 5＝ 2 − 4 + 11. 解得＝1.
∴所求点为(1,0), 且||＝ (1 1)2 (0 2)2 2 2
(1) x1≠x2, y1=y2
P1(x1,y1) P2(x2,y2)
| P1 P2 || x 2 x1 |
(2) x1 = x2, y1 ≠ y2
| P1 P2 || y 2 y1 |
P2(x2,y2)
x
思考：你能利用1(1, 1)， 2(2, 2)构造直角三角形，再用勾股定理推导两点间的距离公式吗？
与向量法比较，你有什么体会？
y P (x1,y1)
1
(3) x1 ≠ x2, y1 ≠ y2
Q (x2,y1)
| 1 |＝ |2 − 1 |
| 2 |＝ | 2 − 1 |
| 1 2 |＝
2 − 1
2
+ 2 − 1
2
P2 (x2,y2)
x
即时巩固
求下列两点间的距离：
(1) (6,0), (−2,0);
例2 证明：平行四边形四条边的平方和等于两条对角线的平方和.
由两点间的距离公式，得
y
D (b,c)
C(a+b,c)
||² = ||² = ²，
||² = ||² = ² + ²，
||² = ( + )² + ²
o A(0,0)
两点间距离公式课件
两点间距离公式课件
xx年xx月xx日
• 两点间距离公式的基本概念 • 两点间距离公式的应用 • 两点间距离公式的扩展 • 两点间距离公式的实际例子 • 两点间距离公式的数学性质 • 两点间距离公式的历史与发展
目录
01
两点间距离公式的基本概 念
定义
两点间距离公式是用 于计算平面上任意两 点之间的直线距离的 数学公式。
在机器人路径规划中，两点间距离公式可以用来计算两点 间的直线距离，为路径规划提供基础数据。同时，结合其 他算法和约束条件，可以进一步优化路径，提高机器人的 运动效率。
05
两点间距离公式的数学性 质
距离的度量性 质
唯一性
两点之间的距离是唯一的，不会 因测量方法和工具的不同而改变。
传递性
如果点A到点B的距离等于点B到 点C的距离，且点B到点C的距离 等于点C到点D的距离，那么点A 到点D的距离也等于点A到点B的
VS
双曲几何和椭圆几何
在双曲几何中，两点之间的距离公式与欧 几里得几何不同，而在椭圆几何中，距离 公式取决于该几何的具体定义和性质。
THANKS
雷达测距
雷达是一种利用电磁波探测目标的设备，常用于测量目标距 离和速度。雷达测距的基本原理是通过发送电磁波并测量反 射回来的时间来计算目标距离。
雷达测距的精度和准确性对于军事、气象、交通等领域至关 重要。两点间距离公式在雷达测距中也有应用，例如在计算 发射机和接收机之间的距离时。
机器人路径规划
机器人路径规划是指在给定起点和终点的情况下，规划出 一条从起点到终点的最优路径。机器人路径规划的目标是 使机器人能够安全、高效地移动到目的地。
间的距离。
重力场中两点距离
在重力场中，利用已知的两点间距 离和重力加速度，可以计算两点间 的万有引力。
xx年xx月xx日
• 两点间距离公式的基本概念 • 两点间距离公式的应用 • 两点间距离公式的扩展 • 两点间距离公式的实际例子 • 两点间距离公式的数学性质 • 两点间距离公式的历史与发展
目录
01
两点间距离公式的基本概 念
定义
两点间距离公式是用 于计算平面上任意两 点之间的直线距离的 数学公式。
在机器人路径规划中，两点间距离公式可以用来计算两点 间的直线距离，为路径规划提供基础数据。同时，结合其 他算法和约束条件，可以进一步优化路径，提高机器人的 运动效率。
05
两点间距离公式的数学性 质
距离的度量性 质
唯一性
两点之间的距离是唯一的，不会 因测量方法和工具的不同而改变。
传递性
如果点A到点B的距离等于点B到 点C的距离，且点B到点C的距离 等于点C到点D的距离，那么点A 到点D的距离也等于点A到点B的
VS
双曲几何和椭圆几何
在双曲几何中，两点之间的距离公式与欧 几里得几何不同，而在椭圆几何中，距离 公式取决于该几何的具体定义和性质。
THANKS
雷达测距
雷达是一种利用电磁波探测目标的设备，常用于测量目标距 离和速度。雷达测距的基本原理是通过发送电磁波并测量反 射回来的时间来计算目标距离。
雷达测距的精度和准确性对于军事、气象、交通等领域至关 重要。两点间距离公式在雷达测距中也有应用，例如在计算 发射机和接收机之间的距离时。
机器人路径规划
机器人路径规划是指在给定起点和终点的情况下，规划出 一条从起点到终点的最优路径。机器人路径规划的目标是 使机器人能够安全、高效地移动到目的地。
间的距离。
重力场中两点距离
在重力场中，利用已知的两点间距 离和重力加速度，可以计算两点间 的万有引力。
两点间的距离公式课件
工具。
精度要求
对于需要高精度计算的应用场景，如地理信息系统（GIS），需要使用更 高精度的计算方法。
在某些特定领域，如物理学或工程学，对距离计算的精度有更高的要求 。
在日常应用中，一般使用默认的浮点数精度即可满足需求。
THANKS
感谢观看
实例计算
使用两点间的距离公式：d = sqrt[(x2-x1)^2 + (y2-y1)^2]。
计算过程中需要注意运算顺序和精度 ，确保结果准确。
将点A和点B的坐标值代入公式中进行 计算。
实例结果分析
根据计算结果，分析两点间的距离。 比较不同点对之间的距离，了解距离与坐标值之间的关系。
通过实例分析，加深对两点间距离公式的理解和应用。
公式推导
该公式是通过勾股定理推导出来 的，即直角三角形的斜边平方等
于两直角边平方之和。
在平面直角坐标系中，设两点 A(x1, y1)和B(x2, y2)，则线段
AB的中点M的坐标为 ((x1+x2)/2, (y1+y2)/2)。
线段AB的长度即为AM的长度， 根据勾股定理，有d² = [(x2-
x1)² + (y2-y1)²]，开方得到d = √[(x2-x1)² + (y2-y1)²]。
公式应用场景
两点间的距离公式在几何学、 物理学、工程学等领域都有广 泛应用。
在计算两点之间的直线距离、 确定物体运动轨迹、解决实际 问题等方面都需要用到该公式 。
在地理信息系统、地图绘制、 导航等领域，该公式也是不可 或缺的工具。
02
公式中的符号解释
符号含义
d：表示两点间的距 离。
√：表示开平方运算 。
06
公式注意事项
空间两点间的距离公式课件(人教A版必修
空间两点间的距 离公式
,
汇报人：
添加目录标题
两点间的距离 公式
公式中的符号 含义
公式的应用场 景
公式的注意事 项
添加章节标题
两点间的距离公式
公式推导
● 两点间的距离公式：d=√(x2-x1)²+(y2-y1)²
● 推导过程： a. 假设有两个点A(x1,y1)和B(x2,y2) b. 连接AB，得到线段AB c. 线段AB的长度即为两点间的距离 d. 根据勾股定理，AB²=AC²+BC² e. 代入AB的长度，得到d=√(x2-x1)²+(y2-y1)²
公式中的符号含义
符号说明
d：表示两点间的距离 r：表示半径 θ：表示角度 π：表示圆周率，约等于3.14159
符号含义
符号应用
d：表示两点间的 距离
r：表示半径
θ：表示角度
π：表示圆周率
√：表示平方根
2：表示常数2
d：表示两点 间的距离
符号记忆 r：表示半径
θ：表示角度
π：表示圆周 率
2：表示平方
√：表示开方
公式的应用场景
计算两点间的距离
平面几何中的应用
判断两点是否在同一平面上
添加标题
添加标题
判断两点是否在同一直线上
添加标题
添加标题
计算三角形的面积
解析几何中的应用
计算两点间的距离
计算多边形的面积
计算线段的长度 计算三角形的面积
计算曲线的长度 计算曲面的面积
向量中的应用
向量加法：用于表示两个向量的和
● a. 假设有两个点A(x1,y1)和B(x2,y2) ● b. 连接AB，得到线段AB ● c. 线段AB的长度即为两点间的距离 ● d. 根据勾股定理，AB²=AC²+BC² ● e. 代入AB的长度，得到d=√(x2-x1)²+(y2-y1)²
,
汇报人：
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两点间的距离 公式
公式中的符号 含义
公式的应用场 景
公式的注意事 项
添加章节标题
两点间的距离公式
公式推导
● 两点间的距离公式：d=√(x2-x1)²+(y2-y1)²
● 推导过程： a. 假设有两个点A(x1,y1)和B(x2,y2) b. 连接AB，得到线段AB c. 线段AB的长度即为两点间的距离 d. 根据勾股定理，AB²=AC²+BC² e. 代入AB的长度，得到d=√(x2-x1)²+(y2-y1)²
公式中的符号含义
符号说明
d：表示两点间的距离 r：表示半径 θ：表示角度 π：表示圆周率，约等于3.14159
符号含义
符号应用
d：表示两点间的 距离
r：表示半径
θ：表示角度
π：表示圆周率
√：表示平方根
2：表示常数2
d：表示两点 间的距离
符号记忆 r：表示半径
θ：表示角度
π：表示圆周 率
2：表示平方
√：表示开方
公式的应用场景
计算两点间的距离
平面几何中的应用
判断两点是否在同一平面上
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判断两点是否在同一直线上
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计算三角形的面积
解析几何中的应用
计算两点间的距离
计算多边形的面积
计算线段的长度 计算三角形的面积
计算曲线的长度 计算曲面的面积
向量中的应用
向量加法：用于表示两个向量的和
● a. 假设有两个点A(x1,y1)和B(x2,y2) ● b. 连接AB，得到线段AB ● c. 线段AB的长度即为两点间的距离 ● d. 根据勾股定理，AB²=AC²+BC² ● e. 代入AB的长度，得到d=√(x2-x1)²+(y2-y1)²
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第三章 3.3 3.3.版 ·数学 ·必修2
互动课堂
第三章 3.3 3.3.2
成才之路 ·高中新课程 ·学习指导 ·人教A版 ·数学 ·必修2
●典例探究
求平面上两点间距离
已知 A(a,3)和 B(3,3a＋3)的距离为 5，求 a 的值． [分析] 利用两点间距离公式列方程解得a的值． [解析] ∵|AB|＝ a－32＋3－3a－32＝5， 即 5a2－3a－8＝0，∴a＝－1 或 a＝85.
第三章 3.3 3.3.2
成才之路 ·高中新课程 ·学习指导 ·人教A版 ·数学 ·必修2
坐标法的应用
△ABC 中，D 是 BC 边上的任意一点(D 与 B，C 不重合)，且|AB|2＝|AD|2＋|BD|·|DC|.求证：△ABC 为等腰三角形．
[分析]
建立适当 的坐标系
→
设出各点 的坐标
→
根据已知中所 给的边与边之 间的关系
第三章 3.3 3.3.2
成才之路 ·高中新课程 ·学习指导 ·人教A版 ·数学 ·必修2
法二：∵kAB＝3－－1－－11＝－2，kAC＝0－3－－11＝12， ∴kAB·kAC＝－1， ∴AB⊥AC， ∴△ABC 是以 A 为直角顶点的直角三角形． (2)∵∠A＝90°， ∴S△ABC＝12|AB|·|AC|＝5.
第三章 3.3 3.3.2
成才之路 ·高中新课程 ·学习指导 ·人教A版 ·数学 ·必修2
2 ． 已 知 点 A(2k ， － 1) ， B(k,1) ， 且 |AB| ＝ ， 则 实 数 k 等 于
()
A．±3
B．3
C．－3
D．0
[答案] A
[解析] 由题意得 2k－k2＋－1－12＝ 13， 解得 k＝±3.
第三章 3.3 3.3.2
成才之路 ·高中新课程 ·学习指导 ·人教A版 ·数学 ·必修2
4．直线l1：2x＋3y＋4＝0与l2：4x＋6y＋8＝0的位置关系 是( )
A．重合
B．平行
C．垂直
D．相交但不垂直
[答案] A
第三章 3.3 3.3.2
成才之路 ·高中新课程 ·学习指导 ·人教A版 ·数学 ·必修2
第三章 3.3 3.3.2
成才之路 ·高中新课程 ·学习指导 ·人教A版 ·数学 ·必修2
(4)若已知一定点和一定直线，常以定点到定直线的垂线段 的中点为原点，以定点到定直线垂线段的反向延长线为x轴建 立直角坐标系；
(5)若已知定角，常以定角的顶点为原点，定角的角平分线 为x轴建立直角坐标系．
第三章 3.3 3.3.2
在直角坐标系中，我们求线段的长度时，常常使用两点间 的距离公式．
第三章 3.3 3.3.2
成才之路 ·高中新课程 ·学习指导 ·人教A版 ·数学 ·必修2
两点间距离公式的应用 已知△ABC 的三个顶点坐标是 A(1，－1)，B(－ 1,3)，C(3,0)． (1)判定△ABC 的形状； (2)求△ABC 的面积． [分析] 可按照以下流程进行思考：
第三章 3.3 3.3.2
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规律总结：两点间的距离公式与两点的先后顺序无关， 也就是说公式既可以写成|P1P2|＝ x2－x12＋y2－y12，也可以 写成|P1P2|＝ x1－x22＋y1－y22，利用此公式可以将有关的几 何问题转化为代数问题进行研究．
因为点D与点B，C不重合，所以d－b≠0，故－b－d＝c－ d，即－b＝c.
所 以 |OB| ＝ |OC| ， 于 是 |AB| ＝ |AC| ， 即 △ABC 为 等 腰 三 角 形．
第三章 3.3 3.3.2
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规律总结：建立直角坐标系的原则： (1)若条件中只出现一个定点，常以定点为原点建立直角坐 标系； (2)若已知两定点，常以两点的中点(或一个定点)为原点， 两定点所在的直线为x轴建立直角坐标系； (3)若已知两条互相垂直的直线，则以它们为坐标轴建立直 角坐标系；
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第三章 3.3 直线的交点坐标与距离公式
3.3.2 两点间的距离公式
第三章 3.3 3.3.2
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●温故知新 旧知再现 1 ． 在 平 面 直 角 坐 标 系 中 ， 易 知 x 轴 上 的 两 点 A(x1,0) 、 B(x2,0)间的距离为|AB|＝__|_x1_－__x_2_| __ ；在y轴上两点C(0，y1)、 D(0，y2)间的距离为|CD|＝__|y_1_－__y_2|___. 2．平行四边形的性质：平行四边形的对边__平__行______且 _相__等_____，对角线__互__相__平__分__． 3．勾股定理： 在 直 角 三 角 形 ABC 中 ， 若 ∠B 为 直 角 ， 则 AC2 ＝ _A__B_2_＋__B_C_2_.
新知导学 1．两点间的距离公式 (1) 公 式 ： 点 P1(x1 ， y1) ， P2(x2 ， y2) 间 的 距 离 公 式 |P1P2| ＝ _____x_2－__x_1__2＋___y_2_－__y1__2 ____. (2)文字叙述：平面内两点的距离等于这两点的横坐标之差 与纵坐标之差的平方和的算术平方根． [破疑点] 坐标平面内两点间的距离公式是数轴上两点间 距离公式的推广．
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随堂测评
第三章 3.3 3.3.2
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1．已知 M(2,1)，N(－1,5)，则|MN|等于( )
A．5
B． 37
C． 13
D．4
[答案] A
[解析] |MN|＝ 2＋12＋1－52＝5.
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规律总结：三角形形状的判定策略 (1)判断三角形的形状，要采用数形结合的方法，大致明确 三角形的形状，以确定证明的方向． (2)在分析三角形的形状时，要从两个方面来考虑，一是考 虑角的特征；二是考虑三角形边的长度特征．
确定各点的坐标 作出 → 标间的关系 → 判断
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[解析] 作 AO⊥BC，垂足为 O，以 BC 所在的直线为 x 轴，OA 所在的直线为 y 轴， 建立如右图所示的平面直角坐标系．
设 A(0，h)，B(b,0)，C(c,0)，D(d,0)．已 知|AB|2＝|AD|2＋|BD|·|DC|，则由两点间距离公 式得 b2＋h2＝d2＋h2＋(d－b)(c－d)，化简，得－(d－b)(b＋d)＝ (d－b)(c－d)．
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规律总结：解决本题的关键是建立适当的坐标系， 以及转化为代数问题，即转化为距离大小和斜率相等问题．
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2．用坐标法证明：矩形的对角线相等． [证明] 如图所示，以矩形ABCD的顶点A为原点，以AB所 在直线为x轴建立直角坐标系． 设|AB|＝m，|AD|＝n， 则 A(0,0)，B(m,0)，C(m，n)，D(0，n)． ∴|AC|＝ m2＋n2， |BD|＝ 0－m2＋n－02＝ m2＋n2. ∴|AC|＝|BD|，即矩形的对角线相等．
5．直线 y＝2x＋10，y＝x＋1，y＝ax－2 交于一点，则 a 的值是( )
A．1
B．－23
C．23
D．－1
[答案] C 6．过直线2x－y＋4＝0与x－y＋5＝0的交点，且平行于直 线x－2y＝0的直线方程是_x_－__2_y_＋__1_1_＝__0__.
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3．已知△ABC 的顶点 A(2,3)，B(－1,0)，C(2,0)，则△ABC
的周长是( )
A．2 3
B．3＋2 3
C．6＋3 2
D．6＋ 10
[答案] C
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4．若 x 轴上的点 M 到原点的距离与到点 N(5，－3)的距离
相等，则 M 点的坐标是( )
A．(－2,0)
B．(1,0)
C．(32，0)
D．(3.4,0)
[答案] D
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5．已知点A(5,2a－1)，B(a＋1，a－4)，若|AB|取得最小 值，则实数a的值是________．
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[解析] (1)如图，△ABC可能为直角三角形，下面进行验 证
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法一：∵|AB|＝ －1－12＋[3－－1]2＝ 20＝2 5， |AC|＝ 3－12＋[0－－1]2＝ 5， |BC|＝ [3－－1]2＋0－32＝ 25＝5， ∴|AB|2＋|AC|2＝|BC|2， 即△ABC 是以 A 为直角顶点的直角三角形．
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2．坐标法 (1)定义：通过建立平面直角坐标系，用__代__数___方法解决 几何问题的方法称为坐标法． (2)步骤：①建立_坐__标__系_____，用坐标表示有关的量：②进 行有关_代__数__运__算___；③把代数运算结果“__翻__译___”成几何关 系．
互动课堂
第三章 3.3 3.3.2
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●典例探究
求平面上两点间距离
已知 A(a,3)和 B(3,3a＋3)的距离为 5，求 a 的值． [分析] 利用两点间距离公式列方程解得a的值． [解析] ∵|AB|＝ a－32＋3－3a－32＝5， 即 5a2－3a－8＝0，∴a＝－1 或 a＝85.
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坐标法的应用
△ABC 中，D 是 BC 边上的任意一点(D 与 B，C 不重合)，且|AB|2＝|AD|2＋|BD|·|DC|.求证：△ABC 为等腰三角形．
[分析]
建立适当 的坐标系
→
设出各点 的坐标
→
根据已知中所 给的边与边之 间的关系
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法二：∵kAB＝3－－1－－11＝－2，kAC＝0－3－－11＝12， ∴kAB·kAC＝－1， ∴AB⊥AC， ∴△ABC 是以 A 为直角顶点的直角三角形． (2)∵∠A＝90°， ∴S△ABC＝12|AB|·|AC|＝5.
第三章 3.3 3.3.2
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2 ． 已 知 点 A(2k ， － 1) ， B(k,1) ， 且 |AB| ＝ ， 则 实 数 k 等 于
()
A．±3
B．3
C．－3
D．0
[答案] A
[解析] 由题意得 2k－k2＋－1－12＝ 13， 解得 k＝±3.
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4．直线l1：2x＋3y＋4＝0与l2：4x＋6y＋8＝0的位置关系 是( )
A．重合
B．平行
C．垂直
D．相交但不垂直
[答案] A
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(4)若已知一定点和一定直线，常以定点到定直线的垂线段 的中点为原点，以定点到定直线垂线段的反向延长线为x轴建 立直角坐标系；
(5)若已知定角，常以定角的顶点为原点，定角的角平分线 为x轴建立直角坐标系．
第三章 3.3 3.3.2
在直角坐标系中，我们求线段的长度时，常常使用两点间 的距离公式．
第三章 3.3 3.3.2
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两点间距离公式的应用 已知△ABC 的三个顶点坐标是 A(1，－1)，B(－ 1,3)，C(3,0)． (1)判定△ABC 的形状； (2)求△ABC 的面积． [分析] 可按照以下流程进行思考：
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规律总结：两点间的距离公式与两点的先后顺序无关， 也就是说公式既可以写成|P1P2|＝ x2－x12＋y2－y12，也可以 写成|P1P2|＝ x1－x22＋y1－y22，利用此公式可以将有关的几 何问题转化为代数问题进行研究．
因为点D与点B，C不重合，所以d－b≠0，故－b－d＝c－ d，即－b＝c.
所 以 |OB| ＝ |OC| ， 于 是 |AB| ＝ |AC| ， 即 △ABC 为 等 腰 三 角 形．
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规律总结：建立直角坐标系的原则： (1)若条件中只出现一个定点，常以定点为原点建立直角坐 标系； (2)若已知两定点，常以两点的中点(或一个定点)为原点， 两定点所在的直线为x轴建立直角坐标系； (3)若已知两条互相垂直的直线，则以它们为坐标轴建立直 角坐标系；
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3.3.2 两点间的距离公式
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●温故知新 旧知再现 1 ． 在 平 面 直 角 坐 标 系 中 ， 易 知 x 轴 上 的 两 点 A(x1,0) 、 B(x2,0)间的距离为|AB|＝__|_x1_－__x_2_| __ ；在y轴上两点C(0，y1)、 D(0，y2)间的距离为|CD|＝__|y_1_－__y_2|___. 2．平行四边形的性质：平行四边形的对边__平__行______且 _相__等_____，对角线__互__相__平__分__． 3．勾股定理： 在 直 角 三 角 形 ABC 中 ， 若 ∠B 为 直 角 ， 则 AC2 ＝ _A__B_2_＋__B_C_2_.
新知导学 1．两点间的距离公式 (1) 公 式 ： 点 P1(x1 ， y1) ， P2(x2 ， y2) 间 的 距 离 公 式 |P1P2| ＝ _____x_2－__x_1__2＋___y_2_－__y1__2 ____. (2)文字叙述：平面内两点的距离等于这两点的横坐标之差 与纵坐标之差的平方和的算术平方根． [破疑点] 坐标平面内两点间的距离公式是数轴上两点间 距离公式的推广．
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1．已知 M(2,1)，N(－1,5)，则|MN|等于( )
A．5
B． 37
C． 13
D．4
[答案] A
[解析] |MN|＝ 2＋12＋1－52＝5.
第三章 3.3 3.3.2
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规律总结：三角形形状的判定策略 (1)判断三角形的形状，要采用数形结合的方法，大致明确 三角形的形状，以确定证明的方向． (2)在分析三角形的形状时，要从两个方面来考虑，一是考 虑角的特征；二是考虑三角形边的长度特征．
确定各点的坐标 作出 → 标间的关系 → 判断
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[解析] 作 AO⊥BC，垂足为 O，以 BC 所在的直线为 x 轴，OA 所在的直线为 y 轴， 建立如右图所示的平面直角坐标系．
设 A(0，h)，B(b,0)，C(c,0)，D(d,0)．已 知|AB|2＝|AD|2＋|BD|·|DC|，则由两点间距离公 式得 b2＋h2＝d2＋h2＋(d－b)(c－d)，化简，得－(d－b)(b＋d)＝ (d－b)(c－d)．
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规律总结：解决本题的关键是建立适当的坐标系， 以及转化为代数问题，即转化为距离大小和斜率相等问题．
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2．用坐标法证明：矩形的对角线相等． [证明] 如图所示，以矩形ABCD的顶点A为原点，以AB所 在直线为x轴建立直角坐标系． 设|AB|＝m，|AD|＝n， 则 A(0,0)，B(m,0)，C(m，n)，D(0，n)． ∴|AC|＝ m2＋n2， |BD|＝ 0－m2＋n－02＝ m2＋n2. ∴|AC|＝|BD|，即矩形的对角线相等．
5．直线 y＝2x＋10，y＝x＋1，y＝ax－2 交于一点，则 a 的值是( )
A．1
B．－23
C．23
D．－1
[答案] C 6．过直线2x－y＋4＝0与x－y＋5＝0的交点，且平行于直 线x－2y＝0的直线方程是_x_－__2_y_＋__1_1_＝__0__.
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3．已知△ABC 的顶点 A(2,3)，B(－1,0)，C(2,0)，则△ABC
的周长是( )
A．2 3
B．3＋2 3
C．6＋3 2
D．6＋ 10
[答案] C
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4．若 x 轴上的点 M 到原点的距离与到点 N(5，－3)的距离
相等，则 M 点的坐标是( )
A．(－2,0)
B．(1,0)
C．(32，0)
D．(3.4,0)
[答案] D
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5．已知点A(5,2a－1)，B(a＋1，a－4)，若|AB|取得最小 值，则实数a的值是________．
第三章 3.3 3.3.2
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[解析] (1)如图，△ABC可能为直角三角形，下面进行验 证
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法一：∵|AB|＝ －1－12＋[3－－1]2＝ 20＝2 5， |AC|＝ 3－12＋[0－－1]2＝ 5， |BC|＝ [3－－1]2＋0－32＝ 25＝5， ∴|AB|2＋|AC|2＝|BC|2， 即△ABC 是以 A 为直角顶点的直角三角形．
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2．坐标法 (1)定义：通过建立平面直角坐标系，用__代__数___方法解决 几何问题的方法称为坐标法． (2)步骤：①建立_坐__标__系_____，用坐标表示有关的量：②进 行有关_代__数__运__算___；③把代数运算结果“__翻__译___”成几何关 系．