两点间的距离公式 课件

第三章 3.3 3.3.2
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互动课堂
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●典例探究
求平面上两点间距离
已知 A(a,3)和 B(3,3a＋3)的距离为 5，求 a 的值． [分析] 利用两点间距离公式列方程解得a的值． [解析] ∵|AB|＝ a－32＋3－3a－32＝5， 即 5a2－3a－8＝0，∴a＝－1 或 a＝85.
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随堂测评
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1．已知 M(2,1)，N(－1,5)，则|MN|等于( )
A．5
B． 37
C． 13
D．4
[答案] A
[解析] |MN|＝ 2＋12＋1－52＝5.
确定各点的坐标 作出 → 标间的关系 → 判断
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[解析] 作 AO⊥BC，垂足为 O，以 BC 所在的直线为 x 轴，OA 所在的直线为 y 轴， 建立如右图所示的平面直角坐标系．
设 A(0，h)，B(b,0)，C(c,0)，D(d,0)．已 知|AB|2＝|AD|2＋|BD|·|DC|，则由两点间距离公 式得 b2＋h2＝d2＋h2＋(d－b)(c－d)，化简，得－(d－b)(b＋d)＝ (d－b)(c－d)．
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坐标法的应用
△ABC 中，D 是 BC 边上的任意一点(D 与 B，C 不重合)，且|AB|2＝|AD|2＋|BD|·|DC|.求证：△ABC 为等腰三角形．
[分析]
建立适当 的坐标系
→
设出各点 的坐标
→
根据已知中所 给的边与边之 间的关系
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2．坐标法 (1)定义：通过建立平面直角坐标系，用__代__数___方法解决 几何问题的方法称为坐标法． (2)步骤：①建立_坐__标__系_____，用坐标表示有关的量：②进 行有关_代__数__运__算___；③把代数运算结果“__翻__译___”成几何关 系．
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规律总结：解决本题的关键是建立适当的坐标系， 以及转化为代数问题，即转化为距离大小和斜率相等问题．
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法二：∵kAB＝3－－1－－11＝－2，kAC＝0－3－－11＝12， ∴kAB·kAC＝－1， ∴AB⊥AC， ∴△ABC 是以 A 为直角顶点的直角三角形． (2)∵∠A＝90°， ∴S△ABC＝12|AB|·|AC|＝5.
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(4)若已知一定点和一定直线，常以定点到定直线的垂线段 的中点为原点，以定点到定直线垂线段的反向延长线为x轴建 立直角坐标系；
(5)若已知定角，常以定角的顶点为原点，定角的角平分线 为x轴建立直角坐标系．
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4．若 x 轴上的点 M 到原点的距离与到点 N(5，－3)的距离
相等，则 M 点的坐标是( )
A．(－2,0)
B．(1,0)
C．(32，0)
D．(3.4,0)
[答案] D
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5．已知点A(5,2a－1)，B(a＋1，a－4)，若|AB|取得最小 值，则实数a的值是________．
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●自我检测 1．已知点P1(5,1)，P2(2，－2)，则|P1P2|＝________. [答案] 3 2 [解析] |P1P2|＝ 5－22＋1＋22＝3 2.
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4．直线l1：2x＋3y＋4＝0与l2：4x＋6y＋8＝0的位置关系 是( )
A．重合
B．平行
C．垂直
D．相交但不垂直
[答案] A
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第三章 3.3 直线的交点坐标与距离公式
3.3.2 两点间的距离公式
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●温故知新 旧知再现 1 ． 在 平 面 直 角 坐 标 系 中 ， 易 知 x 轴 上 的 两 点 A(x1,0) 、 B(x2,0)间的距离为|AB|＝__|_x1_－__x_2_| __ ；在y轴上两点C(0，y1)、 D(0，y2)间的距离为|CD|＝__|y_1_－__y_2|___. 2．平行四边形的性质：平行四边形的对边__平__行______且 _相__等_____，对角线__互__相__平__分__． 3．勾股定理： 在 直 角 三 角 形 ABC 中 ， 若 ∠B 为 直 角 ， 则 AC2 ＝ _A__B_2_＋__B_C_2_.
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规律总结：三角形形状的判定策略 (1)判断三角形的形状，要采用数形结合的方法，大致明确 三角形的形状，以确定证明的方向． (2)在分析三角形的形状时，要从两个方面来考虑，一是考 虑角的特征；二是考虑三角形边的长度特征．
[分析] 以第三边所在直线为x轴，并以其中点为原点建立 坐标系，利用斜率相等证明平行，利用两点间距离公式证明长 度关系．
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[证明] 如图所示，E，F分别是 △ABC的边AB和AC的中点．
以线段BC的中点为原点，直线BC为x 轴，建立如图所示的直角坐标系．
在直角坐标系中，我们求线段的长度时，常常使用两点间 的距离公式．
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两点间距离公式的应用 已知△ABC 的三个顶点坐标是 A(1，－1)，B(－ 1,3)，C(3,0)． (1)判定△ABC 的形状； (2)求△ABC 的面积． [分析] 可按照以下流程进行思考：
[答案]
1 2
[解析] 由题意得|AB|＝ 5－a－12＋2a－1－a＋42
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＝ 2a2－2a＋25＝ 取得最小值．
2a－122＋429，所以当 a＝12时，|AB|
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6．用坐标法证明：三角形的中位线平行于第三边且等于 第三边的一半．
因为点D与点B，C不重合，所以d－b≠0，故－b－d＝c－ d，即－b＝c.
所 以 |OB| ＝ |OC| ， 于 是 |AB| ＝ |AC| ， 即 △ABC 为 等 腰 三 角 形．
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规律总结：建立直角坐标系的原则： (1)若条件中只出现一个定点，常以定点为原点建立直角坐 标系； (2)若已知两定点，常以两点的中点(或一个定点)为原点， 两定点所在的直线为x轴建立直角坐标系； (3)若已知两条互相垂直的直线，则以它们为坐标轴建立直 角坐标系；
5．直线 y＝2x＋10，y＝x＋1，y＝ax－2 交于一点，则 a 的值是( )
A．1
B．－23
C．23
D．－1
[答案] C 6．过直线2x－y＋4＝0与x－y＋5＝0的交点，且平行于直 线x－2y＝0的直线方程是_x_－__2_y_＋__1_1_＝__0__.
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新知导学 1．两点间的距离公式 (1) 公 式 ： 点 P1(x1 ， y1) ， P2(x2 ， y2) 间 的 距 离 公 式 |P1P2| ＝ _____x_2－__x_1__2＋___y_2_－__y1__2 ____. (2)文字叙述：平面内两点的距离等于这两点的横坐标之差 与纵坐标之差的平方和的算术平方根． [破疑点] 坐标平面内两点间的距离公式是数轴上两点间 距离公式的推广．
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3．已知△ABC 的顶点 A(2,3)，B(－1,0)，C(2,0)，则△ABC
的周长是( )
A．2 3
B．3＋2 3
C．6＋3 2
D．6＋ 10
[答案] C
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2．用坐标法证明：矩形的对角线相等． [证明] 如图所示，以矩形ABCD的顶点A为原点，以AB所 在直线为x轴建立直角坐标系． 设|AB|＝m，|AD|＝n， 则 A(0,0)，B(m,0)，C(m，n)，D(0，n)． ∴|AC|＝ m2＋n2， |BD|＝ 0－m2＋n－02＝ m2＋n2. ∴|AC|＝|BD|，即矩形的对角线相等．
设A(a，b)，C(c,0)，则B(－c,0)． 则 AB 的中点 E 的坐标是(a－2 c，b2)，AC 的中点 F 的坐标 是(a＋2 c，b2)．
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所以|EF|＝ a－2 c－a＋2 c2＋b2－b22＝|c|； |BC|＝2|c|. ∴|EF|＝12|BC|. 又 kEF＝0，kBC＝0， ∴EF∥BC. 综上所述，三角形的中位线平行于第三边且等于第三边的 一半．
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规律总结：两点间的距离公式与两点的先后顺序无关， 也就是说公式既可以写成|P1P2|＝ x2－x12＋y2－y12，也可以 写成|P1P2|＝ x1－x22＋y1－y22，利用此公式可以将有关的几 何问题转化为代数问题进行研究．
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[解析] (1)如图，△ABC可能为直角三角形，下面进行验 证
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法一：∵|AB|＝ －1－12＋[3－－1]2＝ 20＝2 5， |AC|＝ 3－12＋[0－－1]2＝ 5， |BC|＝ [3－－1]2＋0－32＝ 25＝5， ∴|AB|2＋|AC|2＝|BC|2， 即△ABC 是以 A 为直角顶点的直角三角形．
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2 ． 已 知 点 A(2k ， － 1) ， B(k,1) ， 且 |AB| ＝ ， 则 实 数 k 等 于
()
A．±3
B．3
C．－3
D．0
[答案] A
[解析] 由题意得 2k－k2＋－1－12＝ 13， 解得 k＝±3.