数学金融学的的重要课题

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数学金融学的重要课题

继1997年东南亚金融危机后,1998年美国又发生了长期资本管理(LTCM)基金事件。两者均由突发事件所引起,造成了震撼全球的金融危机。突发事件在金融领域中具有不容忽视的影响,它是数学金融学的一个重要课题。从LTCM事件谈起1997年亚洲爆发了震撼全球的金融危机,至今仍余波荡漾。究其根本原因,可说虽然是“冰冻三尺,非一日之寒”,而其直接原因却在于美国的量子基金对泰国外行市场突然袭击。1998年9月爆发的美国LTCM基金危机事件,震撼美国金融界,波及全世界,这一危机也是由于一个突发事件----俄罗斯政府宣布推迟偿还短期国债券所触发的。LTCM基金是于1993年建立的“对冲”(hedge)基金,资金额为35亿美元,从事各种债券衍生物交易,由华尔街债券投资高手梅里韦瑟(J.W.Meriwether)主持。其合伙人中包括着名的数学金融学家斯科尔斯(M.S.Scholes)和默顿(R.C.Merton),他们参与建立的“期权定价公式”(即布莱克-斯科尔斯公式)为债券衍生物交易者广泛应用。两位因此获得者1997年诺贝尔经济学奖。LTCM基金的投资策略是根据数学金融学理论,建立模型,编制程序,运用计算机预测债券价格走向。具体做法是将各种债券历年的价格输入计算机,从中找出统计相关规律。投资者将债券分为两类:第一类是美国的联邦公券,由美国联邦政府保证,几乎没有风险;第二类是企业或发展中国家征服发行的债券,风险较大。LTCM基金通过统计发现,两类债券价格的波动基本同步,涨则齐涨,跌则齐跌,且通常两者间保持一定的平均差价。当通过计算机发现个别债券的市价偏离平均值时,若及时买进或卖出,就可在价格回到平均值时赚取利润。妙的是在一定范围内,无论如何价格上涨或下跌,按这种方法投资都可以获利。难怪LTCM基金在1994年3月至1997年12月的三年多中,资金增长高达300%。不仅其合伙人和投资者发了大财,各大银行为能从中分一杯羹,也争着借钱给他们,致使LTCM基金的运用

资金与资本之比竟高达25:1。天有不测风云!1998年8月俄罗斯政府突然宣布推迟偿还短期国债券,这一突发事件触发了群起抛售第二类债券的狂潮,其价格直线下跌,而且很难找到买主。与此同时,投资者为了保本,纷纷寻求最安全的避风港,将巨额资金转向购买美国政府担保的联邦公债。其价格一路飞升到历史新高。这种情况与LTCM计算机所依据的两类债券同步涨跌之统计规律刚好相反,原先的理论,模型和程序全都失灵。LTCM基金下错了注而损失惨重。雪上加霜的是,他们不但未随机应变及时撤出资金,而是对自己的理论模型过分自信,反而投入更多的资金以期反败为胜。就这样越陷越深。到9月下旬LTCM基金的亏损高达44%而濒临破产。其直接涉及金额为1000亿美元,而间接牵连的金额竟高达10000亿美元!如果任其倒闭,将引起连锁反应,造成严重的信誉危机,后果不堪设想。由于LTCM基金亏损的金额过于庞大,而且涉及到两位诺贝尔经济学奖德主,这对数学金融的负面影响可想而知。华尔街有些人已在议论,开始怀疑数学金融学的使用性。有的甚至宣称:永远不向由数学金融学家主持的基金投资,数学金融学面临挑战。LTCM基金事件爆发以后,美国各报刊之报道,评论,分析连篇累牍,焦点集中在为什么过去如此灵验的统计预测理论竟会突然失灵?多数人的共识是,布莱克-斯科尔斯理论本身并没有错,错在将之应用于不适当的条件下。本文作者之一在LTCM事件发生之前四个月着文分析基于随机过程的预测理论,文中将随机过程分为平稳的,似稳的以及非稳的三类,明确指出:“第三类随机过程是具有快变的或突变达的概率分布,可称为‘非稳随机过程’。对于这种非稳过程,概率分布实际上已失去意义,前述的基于概率分布的预测理论完全不适用,必须另辟途径,这也可以从自然科学类似的情形中得到启发。突变现象也存在于自然界中,……”此次正是俄罗斯政府宣布推迟偿还短期国债券这一突发事件,导致了LTCM基金的统计预测理论失灵,而且遭受损失的并非LTCM基金一家,其他基金以及华尔街的一些大银行和投资公司也都损失不赀。经典的布莱克┧箍贫构布莱克┧箍贫构娇梢匀衔牵恢衷诰哂胁蝗范ㄐ缘恼谐≈醒扒笪薹缦仗桌蹲首楹系睦砺

邸E肥狡谌鄣木洳祭晨拴斯科尔斯公式,基于由几个方程组成的一个市场模型。其中,关于无风险债券价格的方程,只和利率r有关;而关于原生股票价格的方程,则除了与平均回报率b有关以外,还含有一个系数为σ的标准布朗运动的“微分”。当r,b,σ均为常数时,欧式买入期权(European call option)的价格θ就可以用精确的公式写出来,这就是着名的布莱克┧箍贫构健S纱丝梢曰竦孟嘤Φ摹疤桌蓖蹲首楹稀2祭晨拴斯科尔斯公式自1973年发表以来,被投资者广泛应用,由此而形成的布莱克┧箍贫估砺鄢闪似谌ㄍ蹲世砺鄣木洌俳苏苌锸背5呐畈⒄埂S腥松踔了怠2祭晨拴斯科尔斯理论开辟了债券衍生物交易这个新行业。笔者以为,上述投资组合理论可称为经典布莱克┧箍贫估砺邸」茉谑导屑晒灿衅渚窒扌浴Sτ檬比绮患幼⒁猓突岢鑫侍狻?br 局限性之一:经典布莱克┧箍贫估砺刍谄轿鹊耐瓯傅氖谐〖偕瑁磖,b,σ均为常数,且σ0,但在实际的市场中它们都不一定是常数,而且很可能会有跳跃。局限性之二:经典布莱克┧箍贫估砺奂俣ㄋ型蹲收叨际巧⒒导实氖谐≈写蠡У挠跋觳蝗莺鍪印L乇鹗窃诓怀墒斓氖谐≈校惺贝蠡Ь哂芯龆ㄐ缘牟僮葑饔谩A孔踊鹪诙涎墙鹑谖邪缪莸慕巧次焕谡庵智榭鱿拢琤和σ均依赖于投资者的行为,原生股票价格的微分方程变为非线性的。经典布莱克┧箍贫估砺刍谄轿仁谐〉募俣粲凇捌轿人婊獭保谄涫视锰跫率钟行АJ率瞪希谌ㄍ蹲收叨嗄昀匆恢痹谟τ茫琇TCM基金也确实在过去三年多中赚了大钱。这次LTCM 基金的失败并非由于布莱克┧箍贫估砺鄄欢裕且蛭环⑹录词保谐”涞煤懿黄轿?原来的“平稳随机过程”变成了“非稳随机过程”。条件变了,原来的统计规律不再适用了。由此可见,突发事件可以使原本有效的统计规律在新的条件下失效。突发实件的机制研究突发事件首先必须弄清其机制。只有弄清了机制才能分析其前兆,研究预警的方法及因此之道。突发事件并不限于金融领域,也存在于自然界及技术领域中。而且各个不同领域中的突发事件具有一定的共性,按照其机制可大致分为以下两大类。“能量”积累型地震是典型的