三角形四心的向量表示

AH BC.
垂心
又∵点D在AH的延长线上，∴AD、BE、CF相交于一点．
1.O是 ABC
1
的垂心
OA OB OB OC OC OA
2. (
AB | A B | cos B

AC | A C | cos C
)
2
[0, )
是△ABC的边BC的高AD 上的任意向量，过垂心.
例 5 .如 图 , 在 A B C 内 求 一 点 P , 使 得 : |AP| +|BP| +|CP|
2 2 2
的值最小.
解 : 设 A P = m ,A B = a ,A C = b , 则 B P = m - a ,C P = m - b . m
2
A
| AP | | BP | | CP | (m a) a b 3 )
则 A G A D (b EG EB (
AE EG AG , 即 :
( 1 2
1 2
a, EB EC CB
1 2
b a.
1 2
a) b 1 2
1 2
a,
A
1 2
1 2
b a)
b ( 1 2
b a.
2
1

2
a b
2
解:
(1) .
1 2 1 2

a b

2

a
b

2

2
1 2

a b 1 2

2


a b

2
cos
2

a b
2Leabharlann (1 c o s )
a b s in S
( 2 ).由 ( 1 ) 知 : S
1 2 1 2
例3． O是平面上一定点，A、B、C是平面上不共线的三个点， 动点 P 满足
OP OA ( AB | A B | cos B AC | A C | cos C ),
则P的轨迹一定通过△ABC的
_______
BC AB | A B | cos B BC AC | A C | cos C
AB + AC ), λ ∈ [ 0 ,+ ∞ ) .
|AB| |AC|
则P的轨迹一定通过△ABC的（ B ） A．外心 B．内心 C．重心 D．垂心
内心
(
AB | AB | AC | AC | ), R
是∠BAC的角平分线上的任意向量，过内心；
3.（2006陕西）已知非零向量AB 与

a b

2
a b
2
2
1 2
a1 a 2
2
2
b1 b 2 a 1 b1 a 2 b 2
2 2
2
a 1 b 2 a 2 b1

1 2
| a 1 b 2 a 2 b1 |
【总结】(1).是用数量积给出的三角形面积公式; (2).则是用向量坐标给出的三角形面积公式.
三角形“四心”的向量表 示
一、 外心
三角形三边的中垂线交于一点，这一点为三角形外接圆的圆心，称外心。
证明外心定理
证明: 设AB、BC的中垂线交于点O， 则有OA=OB=OC， 故O也在AC的中垂线上， 因为O到三顶点的距离相等， 故点O是ΔABC外接圆的圆心． 因而称为外心．
A
O
A
O
B
C
B
C
若 O 为 A B C 内一点，O A O B O C 则 是 A B C 的（ B ） A．内心 B．外心
重心
即：AG = 2GD 同理可得：AG = 2GD , CG = 2GF ．
想想看？
例2．证明：三角形重心与顶点的距离等于它到对边中点距离的两倍．
另证:
连 结 EF,则 EF为 ABC的 中 位 线 ,EF//BC, 且 EF:BC=1:2,由 平 行 线 分 线 段 成 比 例 得 FG:GC=1:2,同 样 可 得 DG:GA=1:2.
AB | A B | cos B
时，
特级教师 王新敞
wxckt@
P的轨迹一定通过△ABC的垂心.
新疆 源头学子小屋
/wxc/
特级教师 王新敞
wxckt@
例4.点O是Δ ABC所在平面上一点， 若 OA OB OB OC OC OA ， 则点O是Δ ABC的（ D ） （A）三个内角的角平分线的交点 （B）三条边的垂直平分线的交点 B （C）三条中线的交点 （D）三条高线的交点

OA OB OC 0
4 .P G
G 为 A B C 的重心.
例1． P是△ABC所在平面内任一点.G是△ABC的重心
PG 1 3 (PA PB PC )
证明:
PG PA AG PB BG PC CG
3PG ( AG BG CG ) (PA PB PC )
∴
BC (
AB | A B | cos B
AB | A B | cos B
AC | A C | cos C )

AC | A C | cos C
)
∴(
在△ABC的边BC的高AD上.
AC | A C | cos C )
所以，O P O A (
新疆 源头学子小屋
/wxc/
解: ∵
BC (
AB | A B | cos B

AC | A C | cos C
)

| B C | | A B | c o s( B ) | A B | cos B

| B C | | A C | cos C | A C | cos C
| B C | | B C | 0
( AB | AB | AC | AC | ) BC 0且 AB
满足 AC
AC 1 2 ,
| AB | | AC |
则△ABC为（ ） D A．三边均不相等的三角形 B．直角三角形 C．等腰非等边三角形 D．等边三角形
解法一：根据四个选择项的特点，本题可采用验证法来处理. 不妨先验证等边三角形，刚好适合题意，则可同时 排除其他三个选择项，故答案必选 D.
O
C．垂心
D．重心
解析：由向量模的定义知 O 到 A B C 的三顶点距离相等。 故 O 是 A B C 的外心 ，选B。 点评：本题将平面向量模的定义与三角形外心 的定义及性质等相关知识巧妙结合。 O是 ABC 的外心 O A O B O C
OA
2
OB
2
OC
2
(O A O B ) A B (O B O C ) B C (O C O A ) C A
OG 1 3 (OA OB OC )
O为△ABC的内心、垂心呢？
例2．证明：三角形重心与顶点的距离等于它到对边中点距离的两倍．
证：设 A C b , C B a , 则 A D A C C D b ∵A, G, D共线，B, G, E共线． ∴可设 A G A D , E G E B .
解: OA
OB OB OC
A O C
OB ( OA OC ) 0
OB CA
OB CA 0
则O在CA边的高线上, 同理可得O在CB边的高线上.
垂心
5. P是△ABC所在平面上一点，若 P A P B P B P C P C P A , 则P是△ABC的（ D ） A．外心 B．内心 C．重心 D．垂心
F G B D C A
EG:GB=1:2,
E
重心
四、内心
三角形三内角平分线交于一点，这一点为三角形内切圆的圆心，称内心。
证明内心定理
证明 : 设∠A、∠C的平分线相交于I, 过I作ID⊥BC，IE⊥AC， IF⊥AB，则有IE=IF=ID． A 因此I也在∠C的平分线上， 即三角形三内角平分线 交于一点． I
3
注: 等边三角形(即正三角形)的“外心、垂心、 重心、内心、中心 ” 五心合一！
法一抓住了该题选择项的特点而采用了验证法,
是处理本题的巧妙方法；法二要求学生能领会一些向 量表达式与三角形某个“心”的关系，如AB
| AB | AC所在 | AC |
直线一定通过△ABC的内心;
AB AC
所在
D
B
C
1 . ( A B A C ), [0 , )
是BC边上的中线AD上的任意向量，过重心. 2.在 ABC 中，给出
AD 1 AB AC , 2
等于已知AD是 ABC 中 BC边的中线;
3. O是 ABC 的重心
1 (PA PB PC ) 3
1 2
F G
a.
E
b a) b
)a (
1 2

1 2
) b 0.
a , b不 平 行 ,
B
D
C
2 1 0 2 3 2 AG AD 1 1 1 3 0 2 3 2
∵G是△ABC的重心
G A G B G C 0 A G B G C G 0,
即 3 PG
PA PB PC
由此可得
PG
1 3
( PA PB PC )（反之亦然（证略））
_______ .
思考： 若O为△ABC外心，G是△ABC的重心，则O G

思考: 如图，设点O在 ABC 内部，且有 O A 2 O B 3 O C 0 ,
三、重心
三角形三边中线交于一点，这一点叫三角形的重心。 证明重心定理
证 明 :(同 一 法 )设 中 线 BE,CF交 于 点 G,连 结 EF,
A
F G E
则 EF//BC,且 EF:BC=FG:GC=EG:GB=1:2. 同 理 中 线 AD,BE交 于 G,连 结 DE,则 : D E / / A B , 且 E G : G B = D G : G A = D E : A B = 1 : 2 , 故 G , G 重 合 .
2
2
2
2
(m b) 2 3 (a
2
2
P
2
3( m
当 m=
2
b
a b)
B
C
a b 3
2
时 ,即 P为 ABC的 重 心 时 ,
2 2
|AP| +|BP| +|CP|
的 值 最 小 .
扩 展 :当 |AP|+|BP|+|CP|的 值 最 小 时 ,点 P是 ABC的 费 尔 马 点 (即 正 等 角 中 心 ---P对 三 顶 点 A,B,C的 张 角 均 为 120 ).
A I B
F
E
C
B
D
C
1.设a,b,c是三角形的三条边长，O是三角形ABC内心的 充要条件是
a OA b OB c OC 0
| BC | OA | CA | OB | AB | OC 0
A
c O
b
B
a
C
2. O是平面上一定点，A、B、C是平面上不共线的三个点，
动点P满足 O P = O A + λ (
0
例1．如图，AD、BE、CF是△ABC的三条高， 求证：AD、BE、CF相交于一点。
证：设BE、CF交于一点H，
令 AB a, AC b, AH h,
A E
则 BH h a,C H h b, BC b a,
F
B D
H C
BH AC ,CH AB

(h a ) b 0 ( h a ) b ( h b ) a h (b a ) 0 . (h b ) a 0
解法二：由于 由
( AB | AB |
所在直线穿过△ABC的内心，则 | AB | | AC |
AB
AC

AC | AC |
) BC 0 知 |AB |= |AC |
AB AC ， 1 2
(等腰三角形的三线合一定理)；又
所以
| AB | | AC |
ABC为等边三角形，故答案选D. , 即△ A
直线过BC边的中点，从而一定通过△ABC的重心；
AB | AB | cos B AC 所在直线一定通过△ ABC的垂心等. | AC | cos C
4. 在△ABC中:
(1)若CA＝a，CB＝b，求证△ABC的面积 S Δ a b 2 (2)若CA＝(a1，a2 )，CB＝(b1，b2 )， 1 求证：△ABC的面积 S Δ a 1 b 2 a 2 b 1