2020-2021学年北师大版数学选修2-1课件：第三章 4.2 4.3 直线与圆锥曲线的交点

[解析] 直线 l 的方程与椭圆 C 的方程联立， y＝2x＋m ①
得方程组x42＋y22＝1 ② ，将①代入②， 整理得 9x2＋8mx＋2m2－4＝0.③ 判别式 Δ＝(8m)2－4×9×(2m2－4)＝－8m2＋144. (1)当 Δ＞0，即－3 2＜m＜3 2时，方程③有两个不同的实数根，可知原方程组有两组 不同的实数解．这时直线 l 与椭圆 C 有两个不重合的公共点．
三、方程组的解与曲线交点的关系 方程组有几组不同的实数解，两条曲线就有 几个不同交点 ；方程组没有实数解，两条 曲线就 无交点 ．
[想一想] 1．直线与圆锥曲线相切时，有且只有一个交点．反之，直线与圆锥曲线只有一个交点 时，一定相切，这种说法对吗？为什么？
提示：直线与圆锥曲线相切时，有且只有一个交点，是正确的．但直线与圆锥曲线只 有一个交点时，不一定相切． 因为直线与双曲线、抛物线只有一个交点时，还有相交的情况，若直线与双曲线的渐 近线平行、直线与抛物线的对称轴平行或重合时，都属直线与双曲线、直线与抛物线 相交．
利用抛物线定义解决有关最值问题 (1)要将问题利用定义首先转化为几何知识． (2)注意挖掘题目中隐含条件，还要注重数形结合的应用．
1．试在抛物线 y2＝4x 上求一点 A，使 A 到点 B( 3，2)与到焦点的距离之和最小． 解析：由已知易得点 B 在抛物线内，p2＝1，准线方程 x＝－1，过 B 作 BC′⊥准线 l 于 C′，直线 BC′交抛物线于 A′，则|A′B|＋|A′C′|为满足题设的最小值． 因为 C′B∥x 轴，B 点坐标为( 3，2)， 所以 A′点坐标为(x,2)． 又因点 A′在抛物线上，所以 x＝242＝1， 所以 A′(1,2)即为所求 A 点，此时最小值为|BC′|＝ 3＋1.
[练一练]
2．已知动点 P(x，y)满足|3x－54y－1|＝13· x－12＋y－52，则动点 P 的轨迹是(
)
A．椭圆
B．双曲线
C．抛物线
D．直线
解析：点 P(x，y)到直线 3x－4y－1＝0 的距离为 d＝|3x－54y－1|；点 Pwk.baidu.comx，y)到 A(1,5)
的距离为|PA|＝ x－12＋y－52，∴|PdA|＝3>1，∴动点 P 的轨迹是双曲线．
2．曲线上的点 M(x，y)到定点 F(5,0)的距离和它到直线 l：x＝156的距离之比是常数54， (1)求此曲线方程；(2)在曲线求一点 P 使|PF|＝5.
解析：(1)设 d 是点 M 到定直线 l 的距离，根据题意，曲线上的点 M 满足|MdF|＝54， 由此得 x1－56－52x＋ y2＝54， 即 x－52＋y2＝54156－x， 两边平方整理得1x62 －y92＝1.
(2)当 Δ＝0，即 m＝±3 2时，方程③有两个相同的实数根，可知原方程组有两 组相同的实数解．这时直线 l 与椭圆 C 有两个互相重合的公共点，即直线 l 与 椭圆 C 有且只有一个公共点． (3)当 Δ＜0，即 m＜－3 2或 m＞3 2时，方程③没有实数根，可知原方程组没 有实数解．这时直线 l 与椭圆 C 没有公共点．
4．2 圆锥曲线的共同特征 4．3 直线与圆锥曲线的交点
01课前 自主梳理 02课堂 合作探究 03课时 跟踪训练
一、圆锥曲线的共同特征 圆锥曲线上的点到 一个定点 的距离与它到 一条定直线 的距离之比为定值 e. 当 0<e<1 时，圆锥曲线是 椭圆 ；当 e>1 时，圆锥曲线是 双曲线 ；当 e＝1 时，圆 锥曲线是 抛物线 ．
二、曲线的交点
由曲线方程的定义可知，对于曲线 C1：f(x，y)＝0 和曲线 C2：g(x，y)＝0，由于 M(x0， y0)是 C1 与 C2 的一个交点⇔ f(x0，y0)＝0 且 g(x0，y0)＝0 ，所以，求两条曲线 C1 与 C2
的交点，就是求方程组fgxx00，，yy00＝＝00 的实数解．
(2)设 P(x，y)到 l 的距离为 d，由|PF|＝5，得 d＝4. 即156－x＝4，解得 x＝356或 x＝－45. 由于|x|≥4，故 x＝－45不合题意，舍去． 由 x＝356得 y＝±65 14. ∴点 P 的坐标为356，±6 514.
探究二 直线与圆锥曲线的公共点问题 [典例 2] 已知直线 l：y＝2x＋m，椭圆 C：x42＋y22＝1.试问当 m 取何值时，直线 l 与椭 圆 C： (1)有两个不重合的公共点； (2)有且只有一个公共点； (3)没有公共点．
3．已知点 A(0,2)和抛物线 C：y2＝6x，求过点 A 且与抛物线 C 相切的直线方程．
解析：设直线 l 的方程为 y＝kx＋2.当 k＝0 时，直线方程为 y＝2，代入 y2＝6x 得 x＝23， 可知此时直线 l 与抛物线相交于点(23，2)； 当 k≠0 时，将 y＝kx＋2 代入 y2＝6x 并消去 x，得 ky2－6y＋12＝0，关于 y 的一元二次 方程的判别式 Δ＝36－48k.
直线 l 的方程为 Ax＋By＋C＝0，圆锥曲线的方程为 F(x，y)＝0， 由AFxx＋，Byy＋ ＝C0 ＝0 ，消元(如 y)后，得 ax2＋bx＋c＝0. (1)若 a＝0，直线与圆锥曲线有一个公共点，当直线与双曲线的渐近线平行或直线与抛 物线的对称轴平行时，把直线方程代入相应圆锥曲线方程后得到的方程是一次方程， 因此，直线和圆锥曲线只有一个交点，但不相切． (2)若 a≠0，设 Δ＝b2－4ac， ①Δ>0 时，相交于两点； ②Δ＝0 时，相切于一点； ③Δ<0 时，无公共点．
答案：B
探究一 圆锥曲线的共同特征及应用 [典例 1] 已知抛物线 y2＝4x 的焦点是 F，点 P 是抛物线上的动点，对于定点 A(4,2)， 求|PA|＋|PF|的最小值，并求出取最小值时，P 点坐标．
[解析] 如图，作 PN⊥l 于 N(l 为准线)，作 AB⊥l 于 B， 则|PA|＋|PF|＝|PA|＋|PN|≥|AB|， 当且仅当 P 为 AB 与抛物线的交点时， 取等号． ∴(|PA|＋|PF|)min＝|AB| ＝4＋1＝5. 此时 yP＝2，代入抛物线得 xP＝1，∴P(1,2)．