二重积分的分部积分公式与格林公式

在导出黎曼问题的弱解概念时，在欧拉方程两边同时乘以任意函数再积分转 化为一等价的“弱”形式的方程时用到了二重积分的分部积分方法， 其实就是格 林公式。

一般意义下的分部积分公式：
uv dx = uv _ vu dx
或 udv = uv - vdv
证明: c _ c .I ・！ u - T >■' y ■ '■ ° f ■■ IE ■ T ■ • r‘ 一= *f ■ ■ — - — — - —.—— - = q
F 冷 &
(wv) = w r + uv\
= [MP ] 「b
i 一 u r vdx + uvdx^
G Ja
| udv = [uv]「
f vdu. 分部积分实际上是把普通积分公式 f dx 二f 中的被积函数f 换成了两个函 数的乘积，故可称之为一维情况下的分部积分；
把普通积分公式运用到二维情况，其实就得到了格林公式，格林公式实现了 把面积分转换成了线积分（降次）。

格林公式：
!! Jxdy 二-v Fdx
门;：y 「
i f Q
般合并写为
证明（以第一个公式为例）：
则:
:
Q :x 6P -一 dxdy = N Pdx + Qdy
刃丿 L
D 积分域为＜1
c F (b (y),y) dy - c F (a (y),y)
=\ Fdy
类似地，把格林公式中的被积函数换成两个函数的乘积，则导出二维情况下 的分部积分。

二重积分的分部积分公式：
f 耳xdy = ^(f
g )dy - g f
dxdy d 泳
/ 6次 f 〜dxdy 二 - (fg )dx - g 丄 dxdy 门「y 「 门绢
证明(以第一个公式为例)：
在u'Jxdy =浙Fdy 中，把F 换为fg ，贝U ： 门：x
小
!!血凝八 \(fg )dy ， 即,(f 弓g 9xdy
=捫刖 即 I i f 週xdy = [ (fg )dy 11 g 丄 dxdy
6 &
£ Q dx
综上： 把普通积分公式中的被积函数换成两个函数的乘积，则导出了一维分部积分 公式； 把格林公式中的被积函数换成两个函数的乘积，
则导出了二维分部积分公式
且两种分部积分公式在形式上是很相似的： uv dx = uv - vu dx 对比 iif ^dxdy = v (fg )dy n g 丄dxdy
6馭
Q 6馭 北航曾元圆
F ^xdy :x
c F (x,y) x 』(y)
X 三(y) dy
dy d
b(y a (y) c。