第九章格与布尔代数

第九章 格与布尔代数

习题提示

9.1 下面整数集合对于整除关系都构成偏序集，判断哪些偏序集是格。 （1）L={1,2,3,4,5} （2）L={1,2,3,6,12}

（3）L={1,2,3,4,6,9,12,18,38} （4）L={}

2

3

1,2,2,2,,2n

解：（1）不是格。（2）是格。（3）不是格。（4）是格。

9.2．试问下面哈斯图所示的偏序集是否是格？

图9.2

解：（1）是格。（2）不是格。（3）不是格。（4）是格。（5）是格。（6）是格。

9.4 设G 是群，L (G )表示G 的所有子群组成的集合，L (G)的偏序关系定义为：对于任意

，G 当且仅当，证明12,()G G L G ∈12G ≤21G G ⊆((),)L G ≤是格。

提示：直接验证。

9.5 设S 是非空集合，T S 是S 的非空子集，证明⊆()(),P T ⊆是()()

,P S ⊆的子格。

提示：关键要证格()()

,P T ⊆中运算与()()

,P S ⊆子格()P T 的运算也一致。

9.7 在格(,)+

≺Z 中（其中是正整数集合，偏序“+

Z ≺”定义为：a b a b ⇔≺）

，下面的集合是否是它的子格。

（1）S={1,2,3,9,12,72} （2）S={1,2,3,12,18} （3）S={}

2

3

1,2,2,2,,2n

解：（1）和（2）都不是子格。（3）是子格。

9.10 证明如果L 是有界格，并且2L ≥，则0I ≠。

证明：如果0I =， 因为对任意L 中元x ，0x I ≺≺，所以x I ≺，I x ≺。从而I x =。于2L ≥矛盾。

9.12 判断下面图所示的格是否是分配格，是否是补格。

图 9.4

解：（1）不是分配格，也不是补格。 （2）不是分配格，也不是补格。 （3）不是分配格，是补格。

9.16 在同构的意义下确定所有4个元素的格，并证明它们都是分配格。

解：（1）， 其中不可比较。（2）{0,,,}S b c =I I ,b c {0,,,}S b c =， 其中b c ≺。

9.17 找出所有不同构的5元格。

解：不同构的5元格共有五个，它们的哈斯图如下：

图9.5

9.21设(,,,)L ∨∧是布尔代数，在L 上定义二元运算⊕为：()(a b a b a b )⊕=∧∨∧，证明是交换群。

(,)L ⊕提示： 直接验证（1）结合律（2）交换律（3）有单位元，格的最小元即为运算的单位元（4）每个元素有逆元：设a ， 为其本身的逆元。 ⊕L ∈a

9.22 设f ：B 3→B 1是布尔函数，它的真值表为

(1) (,,)000100011

110001010011110100

11110y z f x y z 10010

01001101011110

(2) (,,)00x y z f x y z x 010********

表9.1

请将f 表示为布尔多项式。

解：（1） 001010011111f E E E E =∨∨∨ （2）000001100110f E E E E =∨∨∨