第三章 导波与波导(2)
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13
图3.16 圆波导的k图
图3.17 圆波导的kzR-kR图
14
3.5
同轴线与平行双线
同轴线与平行双线都是双导体系统，可以传输TEM波，其临 界波数kc＝0，故在低端，同轴线可工作在较低的频率，直到 直流；而在高端，同轴线工作频率可高达几十吉赫兹（GHz）， 平行双线仅为几百兆赫兹（MHz），前者主要受限于导体损耗， 后者主要受限于辐射损耗。
沿R方向
图3.14 适用与波导的假想的无界力线示意图
(a)TE1i以及TE12 (b)TM1i以及TM11 (c) TE2i以及TE22 (d)TM2i以及TM21
11
图3.15 圆波导中TE02模和TM02模（横截面） (a) TE02 (b)TM02
12
3.4.3 圆波导的色散方程
矩形波导中的kc可以分解为x和y分量，但是圆波导中的 kc不能分解成r和φ 分量。圆波导的色散方程同样是 (3.4.24) k 2 kz kc2 用圆波导的半径乘以色散方程两端，得 2 2 2 2 2 2 kR k R k R k R kR k R c z 或 z c (3.4.25) 上两式对应了两种形式的k图。左式对应的k图，横坐标为 kcR，纵坐标为kzR。色散方程乘以R的好处是kcR只取一系列离 散的值，如表3.2和表3.1所示，这些值即为贝塞尔函数的根uni和 贝塞尔导函数的根vni。当给定工作频率和圆波导的半径后kR圆 就完全确定了。若uni和vni落在kR圆内，那么相应的模便是可以 传播的模；若uni和vni落在kR圆外面，与其相应的模便是截止的 模。图3.17是与右式对应的图，横坐标为kR，纵坐标为kzR。当 kzR＝0时，即临界状态时，kR＝kcR＝uni或kR＝kcR＝vni，图 中的曲线为双曲线，但只画出了一半，每一条双曲线对应于一 个kcR的值。这些曲线以kzR＝kR直线为渐近线。
u 2 j (1) 4 2 H n u e u u 2 j (2) 4 2 H n u e u
n
n
18
第一类n阶汉克尔函数 第二类n阶汉克尔函数 H (2) u J n (u ) jN n (u ) Hn(1)(u) 和Hn(2)(u)分别表示内向收缩（向-r传播）和外向扩展 （向+r传播）的柱面波。同轴线存在着内外导体，可以想象在内 外导体之间同时存在内向收缩和外向扩展的柱面波。R(u)可写成 第一和第二类汉克尔函数的线性组合，也可写成贝塞尔函数与诺 埃曼函数的线性组合，取后一种有
3.5.1 同轴线中的TEM波
同轴线按其结构可分为两种：硬同轴线，其 外导体是一根铜管，内导体是一根铜棒、铜线 或铜管，硬铜轴线可以填充低损耗介质，如聚 四氟乙烯，也可以不填充介质；同轴电缆，内 导体是单根或多根导线，外导体由金属丝编织 而成，内外导体之间充以低损耗介质如聚乙烯， 为了保护外导体再套一层介质保护。同轴线的 图3.18 同轴线几何示意图 15 几何示意图如图3.18所示。
3
TE波 ＝Hz，常数D记作Hni，那么
Hz Hni Jn kc r cos n e jkz z
（3.4.13）
在圆波导内壁r＝R处，Hz所满足的边界条件为： H z (3.4.14) 0 r r R 由上式得： （3.4.15） J n kc R 0 这是圆波导中的TE波的导行条件。各阶贝塞尔函数的导 函数的根ni与临界波数kc（ni）和临界波长λ c（ni）的关系为 （3.4.16）
r r r
设a是外导体的内表面的半径，在r＝a处，＝2；设b是内导 体的外表面的半径，在r＝b处，ψ ＝ψ 1。ψ 1与ψ 2之差记作电 压V，则： V
＝
a ln b ln r
（3.5.3）
H T＝ 1
ET＝－
－jkz ˆ＝－ e r r
V ˆ e－jkzr a r ln b
采用分离变量法，令 (r,, z) R(r )( )e jk z
z
图3.11 特殊函数曲线 （a）0阶、1阶、2阶贝塞尔函数 （b） 0阶、1阶、2阶贝塞尔导函数 （c） 0阶、1阶、2阶诺埃曼函数
2
下面列出若干对我们有用的贝塞尔函数和诺埃曼函数的性质： J 0 0 1 (3.4.8) (3.4.9) J n 0 0 （n≠0）
图3.10 圆波导的圆柱坐标系
1
k 2 kz2 kc2
(3.4.5) 求得： ( ) C cos n 0 (3.4.6) 单值性条件：n=1,2,„,0任意 R u B1Jn u B2 Nn u (3.4.7) 式中，Jn（u）是n阶贝塞尔函数，Nn(u)是诺埃曼函数。
rR
Ez
r R
0
(3.4.2)
假设波沿+z方向传播，exp(-jkzz),对z的二次偏导数可用 (-kz2) 取代，并令： （3.4.3）
则 （3.4.4） 2 2 1 2 2 kc 0 r 3.4.3）称为色散方程。 kc称为临界波数，式（
1 r r r r
9
TM11模 不但有极化简并，而且有一般的模式简并。n≠0,有极化简 并。TM11模和TE01模的临界波数kc相等，故TE01和TM11模为 简并模。事实上，TE0i和TM1i也是简并模。 TE0i模的导行条件：J’=0,TM1i模的导行条件：J1=0
10
3.4.2 圆波导中的力线图
四类力线图：TEni(n≠0), TMni(n≠0) , TE0i, TM0i.
同轴线是多导体系统，因此可以传输TEM波。TEM波的位函数ψ 满足二维拉普拉斯方程，在圆柱坐标中二维拉普拉斯方程的具 体形式为 1 1 2 2 T＝ ＝0 （3.5.1） r ＋ 2 2
r r r r
内外导体表面是两个等位面，分别记作1和2。设ψ 沿φ 方向 无变化，即 ＝0 ，则： 1 （3.5.2） r ＝0
kz H Er kz Hr E
(3.4.23)
n表示纵向场Ez在0≤﹤2内沿变化的周期数，i表示纵向电 场在0﹤r≤R范围内零点的数目， 不包括r=0点。
7
H
E
图 3.12 圆波导TE11、TE01 、TM11和TM01模的力线图以及各种参数
8
TE11模 是圆波导中的最低模,c(ni)=3.41R最大。TE11模的电场具有一定 的极化方向，任意极化方向的电场，总可以分解成两个正交极化 电场， 0=0,/2,如图3.13所示。如果将这两个正交极化的TE11 模看作两个模，他们对应着同一个临界波数kc（11），这种现象称 作极化简并。形成两个独立信道，频率再用。 TM01模 n=0,场沿向无变化，无极化简并现 ˆ H 象。磁场只有分量，由 J S n 可知电流只有z分量。 TM01模具有较强的纵向电场分量。 传导电流在圆波导的内壁，位移 图3.13 圆波导中的TE11模的极化简并 电流相对集中在圆波导的中心，也是沿z方向。 TE01模 n=0,场沿向无变化，无极化简并现象。波导壁附近的磁场只 有z分量，壁电流只有分量。TE01模的损耗比较小。
Nn 0
J 0 u J1 u
(3.4.10) (3.4.11)
Jn（u）的零点和Jnˊ（u）的零点有无穷多个，其相应的根 分别记作uni和vni，i＝1，2，3，„，uni称作贝塞尔函数第i个零 点所对应的u值，vni称作贝塞尔函数导函数的第i个零点所对应的 u值。注意u＝0所对应的零点均不计入i的编号内。 圆波导中任意一点的场必须是有限值，因此式（3.4.7）中 的B2必须为零，否则在r＝0处，Nn（0）→－∞，场为无穷大。得 到: DJn kc r cos n e jkz z (3.4.12)
TEM
ˆ ET r
（3.5.4）
16
图 3.19 同轴线中TEM、TE11、TE01、TM01、TM11模的力线图（横截面）
同轴线中的传输功率
1 V 2 * P＝ ET H T ds a 2s TEM ln( ) b
（3.5.5）
ˆ H zdl ˆ 同轴线内导体的电流 I＝ n
jk z Hr H ni J n kc r cos n e jkz z kc
jk z n H 2 H ni J n kc r sin n e jkz z kc r Er H kz
E kz Hr
(3.4.18)
n表示纵向磁场Hz在0≤﹤2内沿变化的周期数，i表示纵 向磁场在0﹤r≤R范围内极值的数目， Hz的极值点就是贝塞 尔函数导函数的零点，不包括r=0点。 5
TM波 ＝Ez，常数D记作Eni，那么
Ez Eni Jn kc r cos n e jkz z
0
(3.4.19)
在圆波导内壁r＝R处，Ez所满足的边界条件为
Ez
J n kc R 0
r R
(3.4.20)
这是圆波导中TM波的导行条件。各阶贝赛尔函数的根uni与临界 波数kc（ni）、临界波长λ c（ni）的关系为 (3.4.21) uni kc ni R 2 R c ni
园柱坐标系下横向电磁场与纵向电场的关系：
ET jkz Ez 1 Ez ˆ ˆ r 2 kc r r 1 ˆ ET HT z TM
(3.4.22)
6
表 3.2
TMni模的uni和λ
c（ni)的值
jk z Er Eni J n kc r cos n kc jk E 2 z Eni J n kc r sin n kc r
e jkz （3.5.6） a L TEM ln( ) b D TEM D Z 60 ln （3.5.7） Z ln 或 c 同轴线的特性阻抗ZC c d 2 d
17
Hale Waihona Puke Baidu
2V
3.5.2 同轴线中的TE波和TM波
求解同轴线中的TE波和TM波的方法和圆波导中的求解思路 相似，但在同轴线中多了内导体的边界条件，因而它的解也变得 更复杂。设代表同轴线中的Ez（TM波）或Hz（TE波），有： （3.5.8） r,, z R r e jk z 其中 （3.5.9） C cos n
3.4
波动方程
金属圆波导
(3.4.1)
1 1 2 2 2 2 k 0 r 2 r r r r z
圆柱坐标系如图3.10所示；k是自由空间波数；对于TE波，代 表Hz分量，对于TM波，代表Ez分量。R是圆波导的内壁的半径。
H z n 0
z
令u=kcr,则R(u)满足圆柱坐标下的贝塞尔方程
d 2R dR 2 2 u u ( u n )R 0 2 du du
2
为了在同轴线的边界条件下求解贝塞尔方程，介绍一下当u ∞ 时贝塞尔函数、诺埃曼函数、汉克尔函数的性质。u ∞ 时，有
2 n J n u cos u u 4 2 2 n N n (u ) sin u u 4 2
vni kcni R 2 R cni
园柱坐标系下横向电磁场与纵向磁场的关系：
jkz H z 1 H z ˆ ˆ HT 2 r kc r r
(3.4.17)
4
ˆ ET TE HT z
表 3.1 TEni模的vni和λ
c（ni)的值
图3.16 圆波导的k图
图3.17 圆波导的kzR-kR图
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同轴线与平行双线
同轴线与平行双线都是双导体系统，可以传输TEM波，其临 界波数kc＝0，故在低端，同轴线可工作在较低的频率，直到 直流；而在高端，同轴线工作频率可高达几十吉赫兹（GHz）， 平行双线仅为几百兆赫兹（MHz），前者主要受限于导体损耗， 后者主要受限于辐射损耗。
沿R方向
图3.14 适用与波导的假想的无界力线示意图
(a)TE1i以及TE12 (b)TM1i以及TM11 (c) TE2i以及TE22 (d)TM2i以及TM21
11
图3.15 圆波导中TE02模和TM02模（横截面） (a) TE02 (b)TM02
12
3.4.3 圆波导的色散方程
矩形波导中的kc可以分解为x和y分量，但是圆波导中的 kc不能分解成r和φ 分量。圆波导的色散方程同样是 (3.4.24) k 2 kz kc2 用圆波导的半径乘以色散方程两端，得 2 2 2 2 2 2 kR k R k R k R kR k R c z 或 z c (3.4.25) 上两式对应了两种形式的k图。左式对应的k图，横坐标为 kcR，纵坐标为kzR。色散方程乘以R的好处是kcR只取一系列离 散的值，如表3.2和表3.1所示，这些值即为贝塞尔函数的根uni和 贝塞尔导函数的根vni。当给定工作频率和圆波导的半径后kR圆 就完全确定了。若uni和vni落在kR圆内，那么相应的模便是可以 传播的模；若uni和vni落在kR圆外面，与其相应的模便是截止的 模。图3.17是与右式对应的图，横坐标为kR，纵坐标为kzR。当 kzR＝0时，即临界状态时，kR＝kcR＝uni或kR＝kcR＝vni，图 中的曲线为双曲线，但只画出了一半，每一条双曲线对应于一 个kcR的值。这些曲线以kzR＝kR直线为渐近线。
u 2 j (1) 4 2 H n u e u u 2 j (2) 4 2 H n u e u
n
n
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第一类n阶汉克尔函数 第二类n阶汉克尔函数 H (2) u J n (u ) jN n (u ) Hn(1)(u) 和Hn(2)(u)分别表示内向收缩（向-r传播）和外向扩展 （向+r传播）的柱面波。同轴线存在着内外导体，可以想象在内 外导体之间同时存在内向收缩和外向扩展的柱面波。R(u)可写成 第一和第二类汉克尔函数的线性组合，也可写成贝塞尔函数与诺 埃曼函数的线性组合，取后一种有
3.5.1 同轴线中的TEM波
同轴线按其结构可分为两种：硬同轴线，其 外导体是一根铜管，内导体是一根铜棒、铜线 或铜管，硬铜轴线可以填充低损耗介质，如聚 四氟乙烯，也可以不填充介质；同轴电缆，内 导体是单根或多根导线，外导体由金属丝编织 而成，内外导体之间充以低损耗介质如聚乙烯， 为了保护外导体再套一层介质保护。同轴线的 图3.18 同轴线几何示意图 15 几何示意图如图3.18所示。
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TE波 ＝Hz，常数D记作Hni，那么
Hz Hni Jn kc r cos n e jkz z
（3.4.13）
在圆波导内壁r＝R处，Hz所满足的边界条件为： H z (3.4.14) 0 r r R 由上式得： （3.4.15） J n kc R 0 这是圆波导中的TE波的导行条件。各阶贝塞尔函数的导 函数的根ni与临界波数kc（ni）和临界波长λ c（ni）的关系为 （3.4.16）
r r r
设a是外导体的内表面的半径，在r＝a处，＝2；设b是内导 体的外表面的半径，在r＝b处，ψ ＝ψ 1。ψ 1与ψ 2之差记作电 压V，则： V
＝
a ln b ln r
（3.5.3）
H T＝ 1
ET＝－
－jkz ˆ＝－ e r r
V ˆ e－jkzr a r ln b
采用分离变量法，令 (r,, z) R(r )( )e jk z
z
图3.11 特殊函数曲线 （a）0阶、1阶、2阶贝塞尔函数 （b） 0阶、1阶、2阶贝塞尔导函数 （c） 0阶、1阶、2阶诺埃曼函数
2
下面列出若干对我们有用的贝塞尔函数和诺埃曼函数的性质： J 0 0 1 (3.4.8) (3.4.9) J n 0 0 （n≠0）
图3.10 圆波导的圆柱坐标系
1
k 2 kz2 kc2
(3.4.5) 求得： ( ) C cos n 0 (3.4.6) 单值性条件：n=1,2,„,0任意 R u B1Jn u B2 Nn u (3.4.7) 式中，Jn（u）是n阶贝塞尔函数，Nn(u)是诺埃曼函数。
rR
Ez
r R
0
(3.4.2)
假设波沿+z方向传播，exp(-jkzz),对z的二次偏导数可用 (-kz2) 取代，并令： （3.4.3）
则 （3.4.4） 2 2 1 2 2 kc 0 r 3.4.3）称为色散方程。 kc称为临界波数，式（
1 r r r r
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TM11模 不但有极化简并，而且有一般的模式简并。n≠0,有极化简 并。TM11模和TE01模的临界波数kc相等，故TE01和TM11模为 简并模。事实上，TE0i和TM1i也是简并模。 TE0i模的导行条件：J’=0,TM1i模的导行条件：J1=0
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3.4.2 圆波导中的力线图
四类力线图：TEni(n≠0), TMni(n≠0) , TE0i, TM0i.
同轴线是多导体系统，因此可以传输TEM波。TEM波的位函数ψ 满足二维拉普拉斯方程，在圆柱坐标中二维拉普拉斯方程的具 体形式为 1 1 2 2 T＝ ＝0 （3.5.1） r ＋ 2 2
r r r r
内外导体表面是两个等位面，分别记作1和2。设ψ 沿φ 方向 无变化，即 ＝0 ，则： 1 （3.5.2） r ＝0
kz H Er kz Hr E
(3.4.23)
n表示纵向场Ez在0≤﹤2内沿变化的周期数，i表示纵向电 场在0﹤r≤R范围内零点的数目， 不包括r=0点。
7
H
E
图 3.12 圆波导TE11、TE01 、TM11和TM01模的力线图以及各种参数
8
TE11模 是圆波导中的最低模,c(ni)=3.41R最大。TE11模的电场具有一定 的极化方向，任意极化方向的电场，总可以分解成两个正交极化 电场， 0=0,/2,如图3.13所示。如果将这两个正交极化的TE11 模看作两个模，他们对应着同一个临界波数kc（11），这种现象称 作极化简并。形成两个独立信道，频率再用。 TM01模 n=0,场沿向无变化，无极化简并现 ˆ H 象。磁场只有分量，由 J S n 可知电流只有z分量。 TM01模具有较强的纵向电场分量。 传导电流在圆波导的内壁，位移 图3.13 圆波导中的TE11模的极化简并 电流相对集中在圆波导的中心，也是沿z方向。 TE01模 n=0,场沿向无变化，无极化简并现象。波导壁附近的磁场只 有z分量，壁电流只有分量。TE01模的损耗比较小。
Nn 0
J 0 u J1 u
(3.4.10) (3.4.11)
Jn（u）的零点和Jnˊ（u）的零点有无穷多个，其相应的根 分别记作uni和vni，i＝1，2，3，„，uni称作贝塞尔函数第i个零 点所对应的u值，vni称作贝塞尔函数导函数的第i个零点所对应的 u值。注意u＝0所对应的零点均不计入i的编号内。 圆波导中任意一点的场必须是有限值，因此式（3.4.7）中 的B2必须为零，否则在r＝0处，Nn（0）→－∞，场为无穷大。得 到: DJn kc r cos n e jkz z (3.4.12)
TEM
ˆ ET r
（3.5.4）
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图 3.19 同轴线中TEM、TE11、TE01、TM01、TM11模的力线图（横截面）
同轴线中的传输功率
1 V 2 * P＝ ET H T ds a 2s TEM ln( ) b
（3.5.5）
ˆ H zdl ˆ 同轴线内导体的电流 I＝ n
jk z Hr H ni J n kc r cos n e jkz z kc
jk z n H 2 H ni J n kc r sin n e jkz z kc r Er H kz
E kz Hr
(3.4.18)
n表示纵向磁场Hz在0≤﹤2内沿变化的周期数，i表示纵 向磁场在0﹤r≤R范围内极值的数目， Hz的极值点就是贝塞 尔函数导函数的零点，不包括r=0点。 5
TM波 ＝Ez，常数D记作Eni，那么
Ez Eni Jn kc r cos n e jkz z
0
(3.4.19)
在圆波导内壁r＝R处，Ez所满足的边界条件为
Ez
J n kc R 0
r R
(3.4.20)
这是圆波导中TM波的导行条件。各阶贝赛尔函数的根uni与临界 波数kc（ni）、临界波长λ c（ni）的关系为 (3.4.21) uni kc ni R 2 R c ni
园柱坐标系下横向电磁场与纵向电场的关系：
ET jkz Ez 1 Ez ˆ ˆ r 2 kc r r 1 ˆ ET HT z TM
(3.4.22)
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表 3.2
TMni模的uni和λ
c（ni)的值
jk z Er Eni J n kc r cos n kc jk E 2 z Eni J n kc r sin n kc r
e jkz （3.5.6） a L TEM ln( ) b D TEM D Z 60 ln （3.5.7） Z ln 或 c 同轴线的特性阻抗ZC c d 2 d
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Hale Waihona Puke Baidu
2V
3.5.2 同轴线中的TE波和TM波
求解同轴线中的TE波和TM波的方法和圆波导中的求解思路 相似，但在同轴线中多了内导体的边界条件，因而它的解也变得 更复杂。设代表同轴线中的Ez（TM波）或Hz（TE波），有： （3.5.8） r,, z R r e jk z 其中 （3.5.9） C cos n
3.4
波动方程
金属圆波导
(3.4.1)
1 1 2 2 2 2 k 0 r 2 r r r r z
圆柱坐标系如图3.10所示；k是自由空间波数；对于TE波，代 表Hz分量，对于TM波，代表Ez分量。R是圆波导的内壁的半径。
H z n 0
z
令u=kcr,则R(u)满足圆柱坐标下的贝塞尔方程
d 2R dR 2 2 u u ( u n )R 0 2 du du
2
为了在同轴线的边界条件下求解贝塞尔方程，介绍一下当u ∞ 时贝塞尔函数、诺埃曼函数、汉克尔函数的性质。u ∞ 时，有
2 n J n u cos u u 4 2 2 n N n (u ) sin u u 4 2
vni kcni R 2 R cni
园柱坐标系下横向电磁场与纵向磁场的关系：
jkz H z 1 H z ˆ ˆ HT 2 r kc r r
(3.4.17)
4
ˆ ET TE HT z
表 3.1 TEni模的vni和λ
c（ni)的值