矢量分析与场论okPPT课件

P 尾
①矢量的表示： ②矢量的大小：
E 、 E 或 OP
模或绝对值
E O首
（|E| 、E、 |E|或 |OP|）
③矢量的方向： 单位长度矢量： E 0 ，|E 0| =1
E= |E| E0
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（一）矢量分析
三、矢量的坐标表示：
①直角坐标系：
z
A A x e x A y e y A z e z
②分配律： A ( B C ) A B A C
③与数量叉积：
(k A ) B k (A B )
④ 特殊的叉积：
平行： AB0 正交：|AB|A10 B
（一）矢量分析
五、矢量的乘法： （二）矢量积、叉积：
⑤ 不服从交换律： A B (B A )
⑥在坐标系内计算叉积：
ex ey ez
复习
矢量分析 场论
1
第一部分
整体概述
THE FIRST PART OF THE OVERALL OVERVIEW, PLEASE SUMMARIZE THE CONTENT
（一）矢量分析
一、标量：
只有大小而没有方向的量
(长度、时间、电压、体积、温度、电量等）
既有大小又有方向的量
二、矢量： (力、速度、电场强度、磁感应强度等）
v(x,y,z)
,力场
F(x,y,z)
空间任一点都有一矢量 A ， A是空间坐标(、时间)的函数。
动态场：场量与时间有关 （时变场）
f( x ,y ,z ,t),A ( x ,y ,z ,t)
静态场：场量与时间无关 （恒定场）
f(x ,y ,z ),A (x ,y ,z )
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（二）场 论
④ 特殊的点积： 同向、反向、正交
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（一）矢量分析
五、矢量的乘法： （1）标量积、内积、点积：
⑤ 在坐标系内计 算点积： 直角坐标：A A x i A yj A zk
B B x i B yj B zk
A • B ( A x e x A y e y A z e z ) • ( B x e x B y e y B z e z )
⑤ 减法： A B A ( B )
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（一）矢量分析
五、矢量的乘法：
B
（1）标量 积（ 内积、点积）：
A •B Ac B o A ,B s )(
A
① 交换律： A • B B •A
② 分配律： A • ( B C ) A • B A • C
③ 与数量点积： (k A )• B k (A • B )
ez
ex
0
ey
A
Az
Ay
y
Ax
x
4
（一）矢量分析
三、矢量的坐标表示：
②圆柱坐标系：
A A e A e A z e z
z
Ax = A cos A
A
Ay = A sin A
Az = Az
0
Az
A 2 = Ax 2+ Ay 2
A
e
tg A = Ay / Ax y Az = Az
x
e
场Байду номын сангаас表示方法
标量场
1. 数学法： f = f ( x, y, z )
矢量场
A (x ,y ,z)A x(x ,y ,z)e x A y(x ,y ,z)ey
A z(x ,y ,z)e z
2. 图示法：
u(x,y,z)： 等值面、等值线 A(x,y,z)：矢线—切向→场量的方向，
u(x,y,z)=c1
AB Ax Ay Az (A yB zA zB y)ex
Bx By Bz (A zB xA xB z)e y
(A xB yA yB x)ez
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（二）场 论
1.场的分类
标量场：如：温度场T(x,y,z)、密度场(x,y,z)
空间任一点都有一标量值， 是空间坐标(、时间)的函数。
矢量场：如：速度场
A xB x A y B yA zB z
柱坐标： A • B A B A B A z B z
球坐标： A • B A r B r A B A B
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（一）矢量分析
C
五、矢量的乘法：
（2）矢量积、叉积：
A
B
CAB
① 大小： |C |AsB iA n ,B )(
方向： 右手定则
疏密程度→场量的大小。
u(x,y,z)=c2 u(x,y,z)=c3
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2、标量场的梯度
①方向导数：
设= (x,y,z) ，方向导数表示沿某一方向 l 的变化率：
co sco scos
l x
y
z
( x e x e l ye y ze z)(ce zx o c so e y sc el o e z)s
☻ 标量场的梯度垂直
于通过该点的等值 面（或切平面）
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参考
梯度运算的基本公式
c 0
cu
u
c u
v
u
v
uv
u
v
v
u
f u f ' u u
0
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例1.1
计算场 f ( r ) = x y2 z 在 A=ax+2ay+2az 方向的方向导数 及在点(2，1，0)处，在B = 2ax – ay + 2az 方向的方向导数。
0 A < + 0 A < 2 -< Az < +5
（一）矢量分析
三、矢③量球的坐坐标z标系A 表：示：A e r eA re r AAA yx = =e AA rrss iinnAAA cse oin s AA
A
0
e
Az = Ar cos A Ar 2 = Ax2+ Ay2+ Az2
解：f ax fxay fyaz
f
=
z
ax
y2
z
+
ay
2
x
y
z
+
az
x
y2
A1 2 2 aAAax3ay3az3
d dA f f•aA1 3y2z3 4xy 3 2 zx2y
②梯度grad 、 ：
P
xexyeyzez
x
哈密顿算子
xex yey zez
0
y
梯度 为矢量，其大小为最大变化率，方向为增大最快的方向。
任一点的梯度垂直于过此点的等值线（面）的方向。
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2、标量场的梯度
☻标量场的梯度函数建立了标量场与矢量场
的联系，这一联系使得某一类矢量场可以 通过标量函数来研究，或者说标量场可以 通过矢量场的来研究。
A
y tg A = Ay / Ax
cos A = Az / Ar
x
0 Ar < + 0 A < 2 0< A < 6
（一）矢量分析
四、矢量的加法： ①三角形法则： ABC
C
B
② 交换律： A
A B B A
③ 结合律 ： A ( B C ) ( A B ) C
④ 分配律： k (A B ) k A k B