广义延拓矩阵的满秩分解和广义逆

应用 问题等 领 域 不 仅有 广 泛 的实 际 应 用 ，而 且 也 有重要 的理 论 研 究价 值 ．文 献针 对 工 程 应 用 领 域 中大量 出现 的对 称 图像 ，给 出 了延 拓矩 阵 （ 或 行 列对称 矩阵 ） 的概 念 ，本 文在 文 献 ［ ４ 的 基 １～ ］ 础上给 出 了广 义延 拓 矩 阵 的满 秩 分 解 、秩分 解 和 广 义逆 的公 式及快 速算法 ，从而拓 宽 了文 献 ［ １— ４ 的理论应 用范 围． ］
广 义延拓 矩 阵 的满 秩 分 解 和 广 义 逆 米
简芳 洪 伍 亚魁 董永红 许 成锋 刘 智 秉
（ 江学院理 学院 江西九江 九 ３２ ０ ） ３０ ５
摘 要 ：本文研 究 了广 义延拓 矩 阵的性 质 ，利 用分块 矩 阵理论 获得 了许 多新 的 结果 ，给
出 了广义延拓 矩 阵的满秩分 解 、秩 分解和 广 义逆 的公 式及 快 速算 法． 它们 可极 大地 减 少广 义延拓 矩 阵的满秩 分解 、秩 分解 和广 义逆 的计 算 量与存储 量 ，并且 不会 丧失数 值精度 ．
关键词 ：广义延拓矩阵；满秩分解 ；广义逆 中图分类 号 ： ５ ． １ 文献标 识码 ：Ａ 文章编号：１７ — ５５（００ ３ ０３ （３ ０ １ １２ ６４ ９４ ２ １）０ — ０４一 ０ ）
满秩 分解 是 矩 阵 的基 本 分 解 方法 之一 ，在 求
Ｃ Ａ； Ｐ ， ， ）＝［ 。 （ Ｐ ，ｚ… Ｐ一 ，Ｐ ， ， ， 一］∈ …
１广义延 拓矩阵 的概念
阵）时 ， （ ； Ｐ ， Ｐ ） Ｒ Ａ Ｐ ， …， ¨ 为文献 ［ ５—６ ］的第
一
类ｋ 次行延拓．当 Ｐ ＝Ｐ ２＝… ＝ 一 （ ，＝ 单
６ ］的第二类 ｋ次行 延拓．
（ ）当 Ｐ ２ ＝Ｐ ＝ … ＝Ｐ ＝Ｊ 单位 矩 阵 ） ¨ （
位反对角矩阵） ， （ Ｐ ，２ …， 一 为文献［ 时 Ｒ Ａ；。Ｐ ， 。 ） ５
矩阵 Ｐ ，２…， ¨ ∈ Ｃ ， Ｐ ， Ｐ ｋ为任意给定的正整
数． 定义 广义行 延拓矩 阵 Ｒ（ Ｐ ， … ， ）为 Ａ； Ｐ ， Ｐ
Ａ Ａ
…
由以上定义 ， 然有 以下结 论． 显
性质 ｌ 保 秩性 ） （ ｒｎＲ Ａ；１Ｐ ， ， １ ＝ ｒｎＣ Ａ； １Ｐ ， ａ ｋ （ Ｐ ，２… Ｐ 一） ａ ｋ （ Ｐ ，２
—
时， （ ； 。 ２…， ） ＣＡ Ｐ ， ， Ｐ Ｐ 为文献 ［ — ］ ５ ６ 的第一类 ｋ
次列延拓．当 Ｐ ＝Ｐ 。 ：＝… ＝Ｐ ＝， 单位反对 ¨ （
角矩阵） Ｃ Ａ Ｊ ，２…，ｋ ） 时， （ ； Ｐ ， Ｐ一 为文献的［ ６ Ｐ ５— ］
第 二类 ｋ次列延 拓．
定义 １（ 广义行 延 拓矩 阵 ）令 Ａ ∈ Ｃ ， 逆 可
， —１
）：ｒ ｎ （ ． ａ ｋ Ａቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
Ｒ（ 尸 ， ２ … ， 一）＝ ＰＡ Ｅ Ａ； 】Ｐ ， １ ２ Ｃ
●
．
性 质 ２ 共 轭转置关 系 ） （ ［ Ａ；。Ｐ ， ，¨ ） ＝Ｃ（ ； ， ， Ｒ（ Ｐ ， … Ｐ ］ Ａ Ｊ， … Ｐ
） ，
：
—
作者简介 ：简芳洪 （９３一） １８ ，男，江西宜丰人 ，硕 士 ，主要研究方 向：图论 ，ｊｕ ｃｂ ＠１６ ｔｍ ｌｅ ｆ＇ ｏａ ２ ．ｏ
简 芳洪 ，等 ：广义延拓矩 阵的满 秩分解和广义逆
・ ５・ ３
一
－
） ，
Ｘ Ａ； １Ｐ ， ， ¨ ） ＝ Ｃ Ｘ Ｊ ，２ … ， Ｃ（ Ｐ ， ２ … Ｐ （ Ａ； １Ｐ ， Ｐ Ｐ ） ．
２广义 延拓 矩阵 的满 秩分解
定 理 １（ 满秩 分解 ） Ａ ∈ ｃ 的满 秩分 解 为 设 ７
Ａ ＝Ｆ 其 中 Ｆ ∈ Ｃ 和 Ｇ ∈ ｃ ， Ｇ， 则广 义行 延 拓
矩 阵 Ｂ ＝Ｒ（ ，２… ， ）∈ｃ 存 在满 秩分 Ａ； Ｐ ， Ｐ
解 Ｂ ＝Ｒ（ Ｐ ， ： … ， ） ． Ｆ； 。Ｐ ， Ｐ Ｇ
， 为任 意给定的正整数． ｋ
性质 ３ 矩阵相乘关系） （
Ｒ（ Ｐ ， ， ，ｋ１Ｙ ＝ Ｒ（ ； １Ｐ ， ， Ａ； １ … Ｐ一） ＡＹＰ ，２…
定义广 义列延 拓矩 阵 Ｃ Ａ； Ｐ ， ， 一）为． （ 尸 ，２… 。
｝基金项 目：江西省 自然科学基金项 目 （０ ７ Ｚ １６ ） ２０ Ｇ Ｓ７ ０ ；江 西省教 育厅 ２０ ０ ８年度科技项 目 （ Ｊ０４ ２ Ｇ Ｊ８ ３ ） 收稿 日期 ：２ １ ０ ０ ０— ５—１ ４
ｌ
Ａ
Ａ称 为 Ｒ Ａ； ，２… ， ）的母矩 阵． （ ＰｌＰ ， Ｐ 定 义 ２（ 广义 列延 拓矩 阵）令 Ａ ∈Ｃ ， 可逆 矩
［ （ ； ｌ ２…，¨ ） ＝Ｒ Ａ ； ， ， ＣＡＰ， ， Ｐ Ｐ ］ （ …，
ｐ ） Ｕ ¨ ．
阵 Ｐ ，２…， 一 ∈ Ｐ ， 。
证明： 由条 件有 Ｒ（ Ｐ ， … ， ）Ｅ ｃ ， Ｆ； Ｐ ， Ｐ Ｇ ∈Ｃ 使 ： （ Ｐ ， ２ … ， ） ＝ （ Ｇ； １Ｐ ， ， Ｆ； １Ｐ ， Ｐ 一 Ｇ Ｆ 户 ， ２ … １
２１ ０ ０年第 ３期
Ｎｏ ３， ２ ０ ． ０１
九 江 学 院学 报 （ 自然 科 学 版 ） Ｊｕ ａ ｏ ￣ｉｎ ｎ ｅｓｙ （ ａ ｒｌ ｃ ｎｅ ） ｏ ｒ ｌ ｆｉ ａｇＵ ｉ ｒｉ ｎｔ ａ ｓｉ ｃｓ ｎ ｊ ｖ ｔ ｕ ｅ
（ 第９ 总 ０期 ） （ｕ ｏ９ ） Ｓ ｍ Ｎ ．０
Ｃ ｈ
．
广义逆矩阵时起着重要的作用．矩阵的满秩分解
及 Ｍｏｒ ｅｒｓ 在 信 号处 理 、系 统 科 学 、神 ｏｅ—Ｐｎｏｅ逆
经 网络 、 自动 控 制 、统计 学 、最 优 化 问题 及 工 程
Ａ称 为 Ｃ Ａ； Ｐ ， ， ）的母 矩阵． （ Ｐ ，２… Ｐ 注 ：（ ）当 Ｐ １ 。＝Ｐ ：＝ … ＝Ｐ ＝， 单 位矩 ¨ （