高三第一轮等差数列课件(公开课)
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[精]高三第一轮复习全套课件3数列：等差数列
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新疆 源头学子小屋
http :/ www.xjktyg .com /wxc /
特级教师 王新敞 wxckt @126 .com
解：设三个数为 a，公差为 d，则这 5 个数依次为 a-2d，a-d ,a ,a+d ,a+2d依题意： 新疆 源头学子小屋 /wxc/
/wxc/
特级教师 王新敞 wxckt@
新疆 源头学子小屋
/wxc/
特级教师 王新敞 wxckt@
⑴求点 Pn 的坐标；
⑵设抛物线列 c1, c2 , c3 ,, cn ,中的每一条的对称轴都垂直于 x 轴，第 n
/wxc/
特级教师 王新敞 wxckt@
⑶ 设 S x | x 2xn , n N, n 1,T y | y 4 yn , n 1 ， 等 差 数 列
an 的 任 一 项 an S T ， 其 中 a1 是 S T 中 的 最 大 数 ，
新疆 源头学子小屋
/wxc/
特级教师 王新敞 wxckt@
解：设数列｛an｝的公差为 d，首项为 a1， 由已知得 5a1 + 10d = -5, 10a1 + 45d = 15 解得 a1=-3 ，d=1
∴Sn =
n(-3)+
n(n 1) 2
特级教师 王新敞 wxckt@
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/wxc/
特级教师 王新敞 wxckt@
由此得
a6＞－a7＞0 因为 新疆 源头学子小屋 /wxc/
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(a-2d)2 +(a-d)2 + a2 + (a+d)2 + (a+2d)2 = 85 9
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解：设三个数为 a，公差为 d，则这 5 个数依次为 a-2d，a-d ,a ,a+d ,a+2d依题意： 新疆 源头学子小屋 /wxc/
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⑴求点 Pn 的坐标；
⑵设抛物线列 c1, c2 , c3 ,, cn ,中的每一条的对称轴都垂直于 x 轴，第 n
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⑶ 设 S x | x 2xn , n N, n 1,T y | y 4 yn , n 1 ， 等 差 数 列
an 的 任 一 项 an S T ， 其 中 a1 是 S T 中 的 最 大 数 ，
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解：设数列｛an｝的公差为 d，首项为 a1， 由已知得 5a1 + 10d = -5, 10a1 + 45d = 15 解得 a1=-3 ，d=1
∴Sn =
n(-3)+
n(n 1) 2
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由此得
a6＞－a7＞0 因为 新疆 源头学子小屋 /wxc/
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(a-2d)2 +(a-d)2 + a2 + (a+d)2 + (a+2d)2 = 85 9
等差数列前n项和(公开课)PPT课件
数学建模
等差数列的前n项和公式也可以用于数学建模，例如在解决一 些实际问题时，可以利用等差数列的前n项和来建立数学模型 ，从而更好地理解和解决这些问题。
在物理中的应用
物理学中的等差数列
在物理学中，有些物理量呈等差数列 分布，例如光的波长、音阶的频率等 ，等差数列的前n项和公式可以用于 计算这些物理量的总和。
物理学中的级数求和
在物理学中，有些级数的求和问题可 以用等差数列的前n项和公式来解决 ，例如在求解一些物理问题的近似解 时，可以利用等差数列的前n项和来 简化计算。
在经济中的应用
金融投资
在金融投资中，有些投资组合的收益 呈等差数列分布，例如定期存款、基 金定投等，等差数列的前n项和公式 可以用于计算这些投资组合的总收益 。
CHAPTER 02
等差数列的前n项和公式
等差数列前n项和的定义
01
02
03
定义
等差数列的前n项和是指 从第一项到第n项的所有 项的和。
符号表示
记作Sn，其中S表示总和 ，n表示项数。
举例
对于等差数列2, 4, 6, ..., 2n，前n项和为Sn = 2 + 4 + 6 + ... + 2n。
等差数列前n项和(公开 课)ppt课件
汇报人：可编辑
2023-12-23
CONTENTS
目录
• 等差数列的概念 • 等差数列的前n项和公式 • 等差数列前n项和的特例 • 等差数列前n项和的应用 • 习题与解答
CHAPTER 01
等差数列的概念
等差数列的定义
等差数列是一种常见的数列，其 中任意两个相邻项的差是一个常
等差数列前n项和的公式推导
推导方法
等差数列的前n项和公式也可以用于数学建模，例如在解决一 些实际问题时，可以利用等差数列的前n项和来建立数学模型 ，从而更好地理解和解决这些问题。
在物理中的应用
物理学中的等差数列
在物理学中，有些物理量呈等差数列 分布，例如光的波长、音阶的频率等 ，等差数列的前n项和公式可以用于 计算这些物理量的总和。
物理学中的级数求和
在物理学中，有些级数的求和问题可 以用等差数列的前n项和公式来解决 ，例如在求解一些物理问题的近似解 时，可以利用等差数列的前n项和来 简化计算。
在经济中的应用
金融投资
在金融投资中，有些投资组合的收益 呈等差数列分布，例如定期存款、基 金定投等，等差数列的前n项和公式 可以用于计算这些投资组合的总收益 。
CHAPTER 02
等差数列的前n项和公式
等差数列前n项和的定义
01
02
03
定义
等差数列的前n项和是指 从第一项到第n项的所有 项的和。
符号表示
记作Sn，其中S表示总和 ，n表示项数。
举例
对于等差数列2, 4, 6, ..., 2n，前n项和为Sn = 2 + 4 + 6 + ... + 2n。
等差数列前n项和(公开 课)ppt课件
汇报人：可编辑
2023-12-23
CONTENTS
目录
• 等差数列的概念 • 等差数列的前n项和公式 • 等差数列前n项和的特例 • 等差数列前n项和的应用 • 习题与解答
CHAPTER 01
等差数列的概念
等差数列的定义
等差数列是一种常见的数列，其 中任意两个相邻项的差是一个常
等差数列前n项和的公式推导
推导方法
2025届高中数学一轮复习课件《等差数列》ppt
第12页
高考一轮总复习•数学
第13页
重难题型 全线突破
高考一轮总复习•数学
第14页
题型
等差数列基本量的计算
典例 1(1)(2023·全国甲卷，文)记 Sn 为等差数列{an}的前 n 项和．若 a2＋a6＝10，a4a8＝
45，则 S5＝( )
本例可以用 a1，d 来表示这两个条件方程，由方程组求解．
B．8
C．7
D．6
高考一轮总复习•数学
第24页
(2)已知方程(x2－2x＋m)(x2－2x＋n)＝0 的四个根组成一个首项为14的等差数列，则|m－
n|＝( )
A．1
3 B.4
13 C.2 D.8
高考一轮总复习•数学
第25页
解析：(1)因为 S9＝9a5，所以 9a5＝3(a3＋a5＋am)，所以 a3＋a5＋am＝3a5，即 a3＋am＝ 2a5，所以 m＝7.故选 C.
解析：由等差数列的求和公式可得ab77＝TS1133＝73××1133＋＋38＝9447＝2.
高考一轮总复习•数学
4．已知等差数列{an}的通项公式为 an＝2n－11，则数列{|an|}的前 n 项和 10n－n2，n≤5，
Tn＝_____n2_－__1_0_n_＋__5_0_，__n_≥__6______. 解析：设等差数列{an}的前 n 项和为 Sn，则 Tn＝－Sn－Sn，2Sn5，≤n5≥，6， 即 Tn＝n120－n－10nn2＋，5n0≤，5n，≥6.
②若{bn}是等差数列，则 b1＋b3＝2b2， 即a21＋1a23＝2×a62，所以 a2a3＋6a1a2＝6a1a3， 所以(a1＋d)(a1＋2d)＋6a1(a1＋d)＝6a1(a1＋2d)，
《等差数列》PPT课件(公开课)
不是
公差d是每一项（第2项起）与它的前一项的 差，防止把被减数与减数弄颠倒，而且公差可以 是正数，负数，也可以为0
H
7
通项公式的推导一 ：
an－an-1=d
已知等差数列｛an｝的首项是a1，公差是d
a2-a1=d
a2=a1+d
a3-a2=d
a3=a2+d =(a1+d)+d =a1+2d
a4-a3=d a5呢? a9呢?
a1=11 d=-1
所以：a12=a1+11d＝11＋11×(-1)=0
H
14
例题讲解
例3 已知数列的通项公式为an＝6n－1，问这个数列 是等差数列吗？若是等差数列，其首项与公差分 别是多少？
H
15
课堂小结
本节课主要学习：
一个定义： an-an-1=d（d是常数，n≥2， n∈N*） 一个公式：an=a1+（n-1）d 一种思想：方程思想
即等差数列的首项为-2,公差为3
点评：利用通项公式转化成首项和公差
联立方程求解
H
12
题后点评
求通项公式的关键步骤：
求基本量a1和d ：根据已知条件列方程，由 此解出a1和d ，再代入通项公式。
像这样根据已知量和未知量之间的关系，列出 方程求解的思想方法，称方程思想。
这是数学中的常用思想方法之一。
H
等差数列（第一课时） 等差数列的概念及其简单表示
H
1
引入
请同学们仔细观察一下，看看以下 数列有什么共同特征？
H
2
引例一
1.一个剧场设置了20排座位，这个剧场从第1 排起各排的座位数组成数列：
38，40，42，44，46，…
公差d是每一项（第2项起）与它的前一项的 差，防止把被减数与减数弄颠倒，而且公差可以 是正数，负数，也可以为0
H
7
通项公式的推导一 ：
an－an-1=d
已知等差数列｛an｝的首项是a1，公差是d
a2-a1=d
a2=a1+d
a3-a2=d
a3=a2+d =(a1+d)+d =a1+2d
a4-a3=d a5呢? a9呢?
a1=11 d=-1
所以：a12=a1+11d＝11＋11×(-1)=0
H
14
例题讲解
例3 已知数列的通项公式为an＝6n－1，问这个数列 是等差数列吗？若是等差数列，其首项与公差分 别是多少？
H
15
课堂小结
本节课主要学习：
一个定义： an-an-1=d（d是常数，n≥2， n∈N*） 一个公式：an=a1+（n-1）d 一种思想：方程思想
即等差数列的首项为-2,公差为3
点评：利用通项公式转化成首项和公差
联立方程求解
H
12
题后点评
求通项公式的关键步骤：
求基本量a1和d ：根据已知条件列方程，由 此解出a1和d ，再代入通项公式。
像这样根据已知量和未知量之间的关系，列出 方程求解的思想方法，称方程思想。
这是数学中的常用思想方法之一。
H
等差数列（第一课时） 等差数列的概念及其简单表示
H
1
引入
请同学们仔细观察一下，看看以下 数列有什么共同特征？
H
2
引例一
1.一个剧场设置了20排座位，这个剧场从第1 排起各排的座位数组成数列：
38，40，42，44，46，…
等差数列的性质公开课PPT课件
};
(2
){an
2
};
(3
1 ){
an
};
(4){an
an1};
(5){a2k1}
第15页/共26页
第16页/共26页
【变式与拓展1】
1．已知等差数列{an}的前 3 项依次为 a－1，a＋1, 2a＋3， 则此数列的通项 an 为( B )
A．2n－5
B．2n－3
C．2n－1
D．2n＋1
2．数列{an}为等差数列，a2 与 a6 的等差中项为 5，a3 与 a7 的等差中项为 7，则数列的通项 an 为___2_n_－__3_．
第17页/共26页
题型2 等差数列性质及应用 例2：在等差数列{an}中， (1)已知 a2＋a3＋a23＋a24＝48，求a13； (2)已知 a2＋a3＋a4＋a5＝34，a2·a5＝52，求公差d.
自主解答：(1)根据已知条件 a2＋a3＋a23＋a24＝48， 得 4a13＝48，∴a13＝12. (2)由 a2＋a3＋a4＋a5＝34， 得 2(a2＋a5)＝34，即 a2＋a5＝17. 解aa22·＋a5a＝5＝521，7， 得aa25＝ ＝41， 3 或aa52＝ ＝41.3， ∴d＝a55－ －2a2＝13－ 3 4＝3 或 d＝a55－ －2a2＝4－313＝－3.
第25页/共26页
感谢您的观看！
第26页/共26页
C．2
D．1或2
解析：由于2b＝a＋c，则4b2－4ac＝(a＋ c)2－4ac＝(a－c)2≥0，故选D.
答案：D
第23页/共26页
【例 3】
等差数列an的首项为
1，且an
从第
9
项开始各项均大于 25，求公差 d 的取值范围． 错解：设an的公差为 d，第 n 项为 an，则 a9
等差数列前n项和(公开课)PPT课件
公式2
$S_n = na_1 + frac{n(n-1)}{2}d$。
公式3
$S_n = frac{d}{2}n^2 + (a_1 - frac{d}{2})n$。
公式证明
证明1
利用等差数列的定义和性质，通过数学归纳法证 明。
证明2
利用等差数列的通项公式，通过代数运算证明。
证明3
利用二次函数的性质，通过配方法证明。
险费等经济指标。
Байду номын сангаас
会计
在会计中，等差数列前n项和用 于计算成本、收入、利润等财务
数据。
统计学
在经济统计学中，等差数列前n 项和用于分析经济数据，如计算
GDP、CPI等经济指标。
04 等差数列前n项和的变式与拓展
CHAPTER
变式公式
公式1
$S_n = frac{n}{2} (2a_1 + (n-1)d)$，其中$a_1$是首项，$d$是 公差。
公式推导
01
02
03
定义首项和公差
设等差数列的首项为a1， 公差为d。
计算前n项和
前n项和公式为Sn = n/2 * (2a1 + (n-1)d)，其中n 为项数。
推导过程
通过等差数列的性质，将 前n项和表示为首项、公 差和项数的函数，再化简 得到最终公式。
公式应用
解决实际问题
验证结果
等差数列的前n项和公式在日常生活 和科学研究中有着广泛的应用，如计 算存款利息、评估投资回报等。
03 等差数列前n项和的应用
CHAPTER
在数学中的应用
数学证明
等差数列前n项和公式是数学中常 用的工具，用于证明各种数学定 理和性质，如等差数列的性质、 求和公式等。
$S_n = na_1 + frac{n(n-1)}{2}d$。
公式3
$S_n = frac{d}{2}n^2 + (a_1 - frac{d}{2})n$。
公式证明
证明1
利用等差数列的定义和性质，通过数学归纳法证 明。
证明2
利用等差数列的通项公式，通过代数运算证明。
证明3
利用二次函数的性质，通过配方法证明。
险费等经济指标。
Байду номын сангаас
会计
在会计中，等差数列前n项和用 于计算成本、收入、利润等财务
数据。
统计学
在经济统计学中，等差数列前n 项和用于分析经济数据，如计算
GDP、CPI等经济指标。
04 等差数列前n项和的变式与拓展
CHAPTER
变式公式
公式1
$S_n = frac{n}{2} (2a_1 + (n-1)d)$，其中$a_1$是首项，$d$是 公差。
公式推导
01
02
03
定义首项和公差
设等差数列的首项为a1， 公差为d。
计算前n项和
前n项和公式为Sn = n/2 * (2a1 + (n-1)d)，其中n 为项数。
推导过程
通过等差数列的性质，将 前n项和表示为首项、公 差和项数的函数，再化简 得到最终公式。
公式应用
解决实际问题
验证结果
等差数列的前n项和公式在日常生活 和科学研究中有着广泛的应用，如计 算存款利息、评估投资回报等。
03 等差数列前n项和的应用
CHAPTER
在数学中的应用
数学证明
等差数列前n项和公式是数学中常 用的工具，用于证明各种数学定 理和性质，如等差数列的性质、 求和公式等。
2024年高考数学一轮复习(新高考版)《等差数列》课件ppt
A.10
B.11
C.12
√D.13
由题意知(a1＋4)2＝(a1＋2)(a1＋5)，na1＋nn－2 1＝0， 解得a1＝－6，n＝13.
(2)(2020·全国Ⅱ)北京天坛的圜丘坛为古代祭天的场所，分上、中、下三
层.上层中心有一块圆形石板(称为天心石)，环绕天心石砌9块扇面形石板
构成第一环，向外每环依次增加9块.下一层的第一环比上一层的最后一
A.aa94＝－1
√C.aa93＝－1
B.aa83＝－1 D.aa140＝－1
由aa85＝－2 得 a5≠0,2a5＋a8＝a4＋a6＋a8＝3a6＝0， 所以a6＝0，a3＋a9＝2a6＝0， 因为a5≠0，a6＝0， 所以 a3≠0，aa93＝－1.
命题点2 等差数列前n项和的性质
例 4 (1)设等差数列{an}，{bn}的前 n 项和分别为 Sn，Tn，若对任意的
(2)已知数列{an}，{bn}都是等差数列，且a1＝2，b1＝－3，a7－b7＝17， 则a2 024－b2 024的值为__4__0_5_1__.
令cn＝an－bn，因为{an}，{bn}都是等差数列，所以{cn}也是等差数列. 设数列{cn}的公差为d，由已知，得c1＝a1－b1＝5，c7＝17， 则5＋6d＝17，解得d＝2. 故a2 024－b2 024＝c2 024＝5＋2 023×2＝4 051.
由a1＝10，S4＝4a1＋6d＝28，解得d＝－2， 所以 Sn＝na1＋nn－2 1d＝－n2＋11n. 当n＝5或6时，Sn最大，最大值为30.
第
二 部 分
探究核心题型
题型一 等差数列基本量的运算
例1 (1)(2023·开封模拟)已知公差为1的等差数列{an}中，a25 ＝a3a6，若该
高考数学一轮复习 第六章 数列 等差数列及其前n项和 ppt
因为 Sn=na1+������(���2���-1)d, 所以 S4+S6>2S5⇔10a1+21d>10a1+20d⇔d>0, 即“d>0”是“S4+S6>2S5”的充分必要条件,选 C. C
2019年6月1日
缘分让我们相遇，缘分让我们在一 起
关闭
关闭
解析 答答案案7
-8-
知识梳理 双基自测 自测点评
缘分让我们相遇，缘分让我们在一
16
起
考点1
考点2
考点3
考点4
-17-
对点训练1(1)已知等差数列{an}前9项的和为27,a10=8,则
a100=( )
A.100 B.99 C.98 D.97
(2)设Sn为等差数列{an}的前n项和,a12=-8,S9=-9,则
S16=
.
(1)C (2)-72
2019年6月1日
12345
3.(2017辽宁抚顺重点校一模)在等差数列{an} 中,a3+a6=11,a5+a8=39,则公差d为( )
A.-14 B.-7 C.7 D.14
∵a3+a6=11,a5+a8=39,∴4d=28,解得d=7.故选C.
C
2019年6月1日
缘分让我们相遇，缘分让我们在一 起
关闭 关闭
解析 答答案案8
缘分让我们相遇，缘分让我们在一 起
关闭
答答案1案7
考点1
考点2
考点3
考点4
-18-
解析: (1)(方法一)设等差数列{an}的公差为 d,
则由题意得,
9������1
+
新高考一轮复习人教A版6.2 等差数列课件(46张)
【点拨】 在等差数列五个基本量 a1，d，n，an，Sn 中，已知其中三个量，可以根据已知条件 结合等差数列的通项公式、前 n 项和公式列出关于基本量的方程(组)来求余下的两个量，计算 时须注意等差数列性质、整体代换及方程思想的应用.
(1)(2021 届江西南昌高三摸底)Sn 为等差数列{an}的前 n 项和，满足 3a3＝5a2，S10＝100，
(2)(2021 全国甲卷)已知数列{an}的各项均为正数，记 Sn 为{an}的前 n 项和，从下面①②③中选 取两个作为条件，证明另外一个成立. ①数列{an}是等差数列；②数列{ Sn}是等差数列；③a2＝3a1. 注：若选择不同的组合分别解答，则按第一个解答计分.
解：选①②作条件证明③：
第六章 数列
等差数列
1. 通过生活中的实例，理解等差数列的概念和通项公式的意义. 2. 探索并掌握等差数列的前 n 项和公式，理解等差数列的通项公式与前 n 项和公式的关系. 3. 能在具体的问题情境中，发现数列的等差关系，并解决相应的问题. 4. 体会等差数列与一元一次函数的关系.
【教材梳理】
这表明 d≠0 时，Sn 是关于 n 的二次函数，且 d>0 时图象开口向上，d<0 时图象开口向下.
3. 等差数列的性质 (1)与项有关的性质 ①等差数列{an}中，若公差为 d，则 an＝am＋(n－m)d，当 n≠m 时，d＝ann－－mam. ②在等差数列{an}中，若 m＋n＝p＋q(m，n，p，q∈N*)，则 am＋an＝ap＋aq. 特别地，若 m＋ n＝2p，则 am＋an＝2ap.
5. 关于 Sn 的结论 (1)等差数列前 n 项和的最值与{an}的单调性有关. ①若 a1>0，d<0，则数列的前面若干项为正项(或 0)，所以将这些项相加即得 Sn 的最大值. ②若 a1<0，d>0，则数列的前面若干项为负项(或 0)，所以将这些项相加即得 Sn 的最小值. ③若 a1>0，d>0，则{Sn}是递增数列，S1 是{Sn}的最小值；若 a1<0，d<0，则{Sn}是递减数列， S1 是{Sn}的最大值. (2){an}是等差数列⇔Sn＝An2＋Bn(A，B 是常数). 若 Sn＝An2＋Bn＋C 且 C≠0，则{an}从第 2 项起成等差数列.
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∴ 1 ＝ an ＝1＋ 1 ，
an＋1－1 an－1
an－
∵ 1 ＝1， a1－1
∴an－1 1＝1＋(n－1)＝n，∴an＝n＋n 1.
(2)求数列n21an的前 n 项和 Sn. 解 由(1)得n21an＝nn1＋1＝1n－n＋1 1，
∴Sn＝1－12＋12－13＋13－14＋…＋n1－n＋1 1＝1－n＋1 1＝n＋n 1.
§6.2 等差数列及其前n项和（1）
根据下列条件，求相应等差数列an的有关未知数：
1 a1＝3，a2＋a5＝36，求an及d;
2d
1,n 3
37, Sn
629, 求a1及an;
3 3S3＝S3＋S4，a1＝2，求a5；
4 S5＝7，S10＝21，求S15;
教学目标
(1)等差数列基本量的计算 (2)等差数列的基本性质及应用 (3)等差数列的判断及其证明.
跟踪训练 1 数列{an}满足 an＋1＝2aan＋n 1，a1＝1. (1)证明：数列a1n是等差数列； 证明 ∵an＋1＝2aan＋n 1， ∴an1＋1＝2aan＋n 1，化简得an1＋1＝2＋a1n， 即an1＋1－a1n＝2，
故数列a1n是以 1 为首项，2 为公差的等差数列.
由三个数a，A，b组成的等差数列可以看成最简单的等差数列.这时，A叫做a与b 的 等差中项 .
4.等差数列的前n项和公式
na1＋an
nn－1
设等差数列{an}的公差为 d，其前 n 项和 Sn＝ 2
或 Sn＝ na1＋ 2 d.
5.等差数列的常用性质 (1)通项公式的推广：an＝am＋ (n－m)d (n，m∈N*). (2)若{an}为等差数列，且k＋l＝m＋n(k，l，m，n∈N*)，则 ak＋al＝am＋an . (3)数列Sm，S2m－Sm，S3m－S2m，…构成等差数列.
师生共研
等差数列的判定与证明
例1 在数列{an}中，a1＝2，an是1与anan＋1的等差中项.
(.1)求证：数列an－1 1是等差数列，并求an的通项公式；
解 ∵an是1与anan＋1的等差中项，
∴2an＝1＋anan＋1，∴an＋1＝2aan－n 1，
∴an＋1－1＝2aan－n 1－1＝ana－n 1，
知识梳理
ZHISHISHULI
1.等差数列的定义 一般地，如果一个数列 从第2项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数 ， 那么这个数列就叫做等差数列，这个常数叫做等差数列的 公差 ，通常用字母_d_
表示.
2.等差数列的通项公式 如果等差数列{an}的首项为a1，公差为d，那么它的通项公式是 an＝a1＋(n－1)d . 3.等差中项