三维图形几何变换

3.1.2 三维图形几何变换
三维几何变换包括平移、旋转和变比。

三维几何变换可以表示为公式，或三维齐次坐标和4×4变换矩阵的乘积。

下面分别以公式，矩阵乘积和简记符号来描述三维几何变换。

并记变换前物体的坐标为x,y,z；变换后物体的坐标为x′，y′，z′。

一、平移
设Tx,Ty,Tz是物体在三个坐标方向上的移动量，则有公式：
x′＝x＋T x
y′＝y＋T y
z′＝z＋T z
矩阵运算表达为：
［x′ y′ z′ 1］＝［x y z 1］
简记为：T(Tx,Ty,Tz)
二、旋转
旋转分为三种基本旋转：绕z轴旋转，绕x轴旋转，绕y轴旋转。

在下述旋转变换公式中，设旋转的参考点在所绕的轴上，绕轴转θ角，方向是从轴所指处往原点看的逆时针方向(图3.5(a),(b))。

1 绕z轴旋转的公式为：
x′＝xcosθ－ysinθ
y′＝xsinθ＋ycosθ
z′＝z
矩阵运算的表达为：
［x′ y′ z 1］＝［x y z 1］简记为R z(θ)。

2 绕x轴旋转的公式为：
x′＝x
y′＝ycosθ－zsinθ
z′＝ysinθ＋zcosθ
矩阵运算的表达为：
［x′ y′ z′ 1］＝［x y z 1］简记为R x(θ)
2 绕y轴旋转的公式为：
x′＝zsinθ＋xcosθ
y′＝y
z′＝zcosθ－xsinθ
矩阵的运算表达式为：
［x′ y′ z′ 1］＝［x y z 1］
简记为Ry(θ)。

如果旋转所绕的轴不是坐标轴，而是一根任意轴，则变换过程变显得较复杂。

首先，对物体作平移和绕轴旋转变换，使得所绕之轴与某一根标准坐标轴重合。

然后，绕该标准坐标轴作所需角度的旋转。

最后，通过逆变换使所绕之轴恢复到原来位置。

这个过程须由7个基本变换的级联才能完成。

设旋转所绕的任意轴为p1, p2两点所定义的矢量。

旋转角度为 (图3.6)。

这7个基本变换是：
1 T(－x1,－y1,－z1)使p1点与原点重合(图3.6(b))；
2 R x(α)，使得轴p1p2落入平面xoz内(图3.6(c))；
3 R y(β)，使p1p2与z轴重合(图3.6(d));
4 R z(θ)，执行绕p1p2轴的θ角度旋转(图3.6(e))；
5 R y(－β)，作3的逆变换；
6 R x(－α)，作2的逆变换；
7 T(x1,y1,z1)作1的逆变换。

图3.6 绕任意轴P1P2旋转的前四个步骤
1 求R x(α)的参数：转角α是u在yoz平面的投影u′＝（o，b,c)与z轴的夹角(图3 7(a))，故有：
cos ＝，其中d＝
又因u′×u z＝u x｜u′｜｜u z｜sinα
其中u x是在x轴上的投影。

并且用行列式计算矢量积得：
u′×u z＝u x·b，故得：
sinα＝，得出R x(α)为：
R x(α)=
图3.7
2 求R y(β)的参数(图3.7(b))：经过R x(α)变换，p2已落入xoz平面，但p2点与x轴的距离保持不变。

因此，p1p2现在的单位矢量u″的z 方向分量之值即为u′之长度，等于d,β是u″与u z之夹角，故有：
cosβ=＝d
根据矢量积的定义，有：
u z｜u″｜｜u z｜sinβ＝u y·(－a）
因为｜u″｜＝＝＝１，并｜u z｜＝１，所以：
sinβ＝－a
因此得到R y（β)为：
Ry（β)＝
绕任意轴(x1 y1 z1)(x2 y2 z2)转动θ角的变换R(θ)为如下级联变换：
R(θ)＝Ｔ（－x1,－y1,－z1)·R x(a)·R y(β)·R z(θ)·
R y（－β）·R x(－a)·T(x1,y1,z1)
三、变比
设sx,sy,sz是物体在三个方向的比例变化量，则有公式：
x′＝x·sx，
y′＝y·sy，
z′＝z·sz，
矩阵运算的表达为
［x′ y′ z′ 1］＝［x y z］
简记为S(sx,sy,sz)。

相对于某个非原点参数点(xf,yf,zf)进行固定点变比变换，是通过
如下级联变换实现的：
T(－xf,－yf,－zf)·S(sx,sy,sz)·T(xf,yf,zf)
四、三维几何变换的指令
和二维类似，三维几何变换也有三条指令，分别执行建立变换矩阵，积累变换和坐标变换的功能。

1 建立变换矩阵的指令：
creat-transformation-matrix-3(x f,y f,z f,s x,s y,s z,x r1,y r1,z r1,x r2,y r2,z
,α,t x , t y, t z, matrix);
r2
其中：x f,y f,z f是变比固定坐标；
s x,s y,s z是变比参数；
x r1,y r1,z r1,x r2,y r2,z r2是旋转所绕任意轴的起点与终点坐标；
α是平移参数；
matrix 是返回的4×4的变换矩阵。

2 积累变换的指令
accumulate-matrices-3(m1,m2,m);
其中m1,m2是输入矩阵，m是输出矩阵。

三个都是4×4的矩阵。

这条指令执行如下功能：
m＝m1·m2
3 坐标变换的指令：
set-segment-transformation-3(Id,matrix);
其中Id是物体的编号，matrix是变换矩阵。

这条指令将Id所含的坐标逐一与matrix相乘，从而实现三维几何变换。