f第六章定积分的应用郭长河

第六章 定积分应用

第二节 定积分在几何学上的应用

1．

填空题。

（1）由曲线y=2

x 与y=x+2所围平面图形的面积为 dx x x ⎰--+=21

2

)2(29 。

（2） 由曲线y=ln x, x=2与x 轴所围平面图形的面积为

12ln 2ln ln 2

1

2

1

2

1

-=-=⎰⎰

dx x x xdx 。

（3）由双纽线θ2cos 2

=r 所围平面图形的面积为 1 。

（4）由摆线)cos 1(),sin (t a y t t a x -=-=的一拱)20(π≤≤t 与x 轴所围平面图形的

面积为 2

3a π 。

（5）抛物线342

-+-=x x y 及其点)3,0(-和)0,3(处的切线所围平面图形的面积为

4

9

。 （6）求心形线)cos 1(θ+=a r 的全长为 a 8 。

2． 求曲线x y ln =在区间(2,6)内的一条切线，使得该切线与x=2和x=6及曲线x y ln =所

围成的平面图形的面积最小，并求此最小面积。

解：设切点为),ln ,(00x x 切线x x x y x x x x y 0

000011ln ),(1ln +-=-=

- ⎰--+=--+=6

2

00

0002ln 43ln 6ln 416

)ln 1ln 1(

)(x x dx x x x x x A 0

2

00416)(x x x A +-

=' 由 0)(0='x A 得 40=x 最小面积为∴： 3ln 62ln 44-+=A .

3．求由曲线y y x 22

2

-=+绕y=2旋转一周所成旋转体的体积。 解：1)1(2

2

=++y x 112--±=x y

⎰--------=1

2222])211()211([2dx x x V ππ

21

264

241122ππ

ππ=⋅

=-=⎰dx x

综合练习题

1． 过点P(1,0)作抛物线2-=

x y 的切线，该切线与上述抛物线及x 轴所围成一平面图形，

求此图形的面积及绕x 轴旋转一周所成旋转体的体积。 2． 设有一底半径为R 的圆柱，被一与圆柱的底交成角)2

0(π

αα<<且过底的直径的平面

所截，求截下的几何体的体积。

3． 在摆线)cos 1(),sin (t a y t t a x -=-=上求分摆线第一拱弧长成1：3的点的坐标。 4． 证明：由平面图形)(0,0x f y b x a ≤≤≤≤≤绕y 轴旋转一周所成旋转体的体积为

⎰=b

a

dx x xf V )(2π，并利用此公式求由x y sin = )0(π≤≤x 与x 轴所围平面图形绕

y 轴旋转一周所成旋转体的体积。

答案：

1．解：设切点为),(00y x

⎩⎨⎧==⎪⎪⎪⎩

⎪

⎪⎪⎨⎧

-=

-=-=13:2212)

1(0000000

y x x k x y x k y 解得 ∴切线为：)1(2

1-=x y 6])2()1(41[)1(4132222

12

ππππ=---+-=⎰⎰dx x x dx x V

2．解：⎰-⋅-=R dx tg x R x R V 02222212α=ααtg R dx x R tg R 30223

2

)(=-⎰

3．解：设分点为),(00y x ，对应的参数为0t

⎰

⎰

'+'='+'π

22

20

2

20

)()()()(3t t dt y x dt y x , ⎰⎰

=π20

2

sin 22sin 23t t dt t

a dt t a

π20

02

cos

2cos

3t t t t

=∴ 3

2,212cos

00π==∴t t )2332(0-=∴πa x , a a y 2

3

)211(0=+=

4．证明：20

2)sin (2)cos cos (2sin 2πππππ

π

π

π

π

=+=+-==⎰⎰

x xdx x x xdx x V

第三节

定积分在物理上的应用

1．一物体按规律3

t x =作直线运动，媒质的阻与速度的平方成正比（比例系数为k ），计算物体由0=x 移至a x =时，克服媒质阻力所作的功。

解 速度为 ==dt

dx υ32t ,阻力为,942kt k f -=-=υ而31x t =，

所以()34

9kx x f -=， 功元素 (),93

4dx kx dx x f dw =-= 所求的功为

3

7

03

4

7

279ka dx kx w a

=

=⎰. 2..在一倒立的等腰三角形水槽（m m m 2032，水槽长为，腰长为

上边长）内装满水,若将水槽内的水全部吸尽, 问要做多少功？

解 由水槽的，，腰长为上边长m m 32可得高为2m 2. 取坐标系如图，A 、B 两点

的坐标分别为（0,22）、（0，1），过A 、B 两点的直线方程为22(2

21-=

x y ），

功元素dx x x g gx ydx dw )22(2102022

-=⋅=，

所求的功为 ⎰

-=

2

20

2)22(210dx x x g w

).(7.5223

160

kJ g ≈=

3．有一半径为1m 的圆形薄板,垂直放在水中,圆板的圆心与水平面的距离为2m,求圆板一侧所受的水压力.

解 取坐标系如图，压力元素为

dy y y g dP 2

1)2(2--= 所求的压力为 dy y g dy y y g P ⎰⎰

-=--=

-1

21

1

2181)2(2