一道高考题思考后的思考
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：
一
：
１ 若 ＝ ０ 则 由 （） 得 ２。 Ｔ＋２ ｏ 。 ， ３可 ｂ ０Ｉ ａ ｙｍ ， ０ ，故 一一，＝ Ｚ ｏ 求 得直 线 ＥＦ 的斜 率 为 ｒ ＂ ｂｘ ｌ ｆ
—
，
定理 ２ 过椭 圆 ａ ＋ ｏ。 ＝ １ａ＞ｂ ） （ ＞０上
旧直角 坐标 系 中 Ｏｘ 轴、Ｏｙ 方 向相 同， 轴 则椭 圆
ｒ ● ” 口，
Ａ 的斜 率 互 为相 反 数， 明直线 Ｆ 的 斜 率 为 证
定 值， 并求 出这 个 定 佤 ”进 行 了思考， 获得 了如
下 的定 理．
定理 １ 过 圆锥 曲线 上 一 定 点 （ 点 不是
ｎ ＝ ０ ｙ） ．
相反数， 可换一种说法： Ｅ、Ａ “ Ａ Ｆ的斜率之和为 ０， ” 将这一说法改为“ Ｅ、Ａ Ｆ的斜率之和为一 个常数 ， ” 还有“ 直线ＥＦ的斜率为定值” 吗？
整理得 ａ ＋２ ２ｏ ）＇＋（ ＋２ ｏ ｘ 。 ａ ｙｎｙ２ ６ ｂｘ ｍ） ＋ ２。 ｏ ｆ６Ｘ ｎ＋２ ｏ ｘＹ ＝ ０ ａ Ｙｍ） ．
一
０ Ｙ ｏ
ｎ
定点 Ａ ｘ ，ｏ （ Ａ不是椭 圆顶点） （ｏｙ）点 作两条直
，
ａ— ０ Ｙ
是 定值；
２ ２ ｏ 一 ２ ０ ： Ａ 。＋ ２ 。 ｙ ｎ ｂＸ ｎ ａＹ ｍ ａ ａ Ａ ０
线分别交椭圆于 Ｅ 、Ｆ两点， 使这两条直线的斜 率之和等于 （ 为常数）则 ，
１ 。入＝ ０时， 直线 Ｅ Ｆ的斜率为定值， 且定
＋ ＝１ 在新坐标系中的方程为
圆锥曲线的顶点） 作斜率互为相反数的两条直线， 分别交曲线于 Ｅ、Ｆ两点， 则直线ＥＦ的斜率为 定值， 且该定值等于点 处切线斜率的相反数．
（ ＋ｘ ） ，（ ＋Ｙ ） ｏ。 Ｙ ｏ
— 一 十 — — 一
１
一 一
即ａｙ。 ２ ＋２２ ０ ＋２ ０ ． （） ２ ＋ｂｘ。 ｂｘ ａＹＹ ＝０ １
２ 若 ≠０ 则 由（） 。 ， ３可得
一
．
・ ．
． 一
ｍ
一
（ ＋ｏ－ ２／ ， ｙｔ ）
２ １年第 ９ ００ 期
数 学教 学
即 ２。 ０ 一２ ｙ札＝ Ａ ２ ｂＸ ｍ ａＡ０ ａ 一ｂ．
９ —７
（） ５
将 此等式与 ＥＦ的方程 ｍ ＋ ｎ ＝ １ ｙ 比 较， 知直线 Ｅ Ｆ过 定点， 点在新系 中的坐标为 此
显然， 直线 Ｅ Ｆ不可能经过 Ｄ ， 故可设其在
笔者认真研读文 ［ ， １ 发现这道高考题的背景 ］
丰 富， 仍有 再 思考 之 空 间． 再 思 考 ｌ 定理 １ ＡＥ、 Ｆ的斜 率 互 为 中，
新系中的方程为 ｍ ＋ｎ １ 代入 （） ｙ＝ ， １得 ａｙ。 ２ ＋（ｂｘ ｚ ＋２ ｏ ｒｘ ＋ ２ ＋ｂｘ ２２ ｏ ａＹ Ｙ （ ） ｅ
＋（ ＋２ ｏ ｔ＝０ ６ 。 ｂＸＴ） ． ｉ （） ２
方程 （） ２ 是一个关于 的二次方程， 此方程
的根 就 是 Ｅ、 Ｆ在新 系 中 的斜率 ． 显然 ， ＡＥ、
再思考２ 文 ［提供的证明文 ［结论１ １ ］ １ ］ 、结
论２ 的方 法 是 不是 解 决 Ｅ、Ａ 的斜 率 之 和 为 常数 问题 的通法 呢 ？可 能 不是 ．
９４ －６
数 学教 学
２ １ 年第 ９ ００ 期
一
道 高考题思 考后 的思考
２６ ０ 江苏省如皋市教师进修学校 徐 道 ２０ ５
文 ［ 对２０ 年全 国高考辽宁理科卷的一道 １ ０９ ］
／ ０、
值为
；
ห้องสมุดไป่ตู้
题：“ 已知椭圆ｃ过点Ａ Ｉ ， ／ 昙ｌ ＼ ｌ ，两个焦点为
两条 直 线 分 别 交双 曲线 于 Ｅ、Ｆ两 点， 这 两条 使
① 若 Ａ 。一ｂ ０ 即 ＝ ａ 。： ， 时， ５ 得 由（）
２２ ０ 一２ ２． ｂｘ ｍ ０ ｏ ｎ＝ ０ 即 一 ＝ 一一 ， ， Ｙ 得 ｏ
定理 ３ 过双 曲线 一 １ ＝ １ ｎ＞ ０ｂ＞ ４ （ ，
０ 上一定点 Ａ（ｏｙ ）点 Ａ不是双曲线顶 点） ） ｘ ，ｏ （ 作
Ｆ在新系、旧系中的斜率不变， 由已知条件 故
及 一元 二 次方 程 根 与 系数关 系得
～ —
事实上， 借助坐标轴平移， 我们可构造出以 Ａ Ｆ的斜率为根 的一元二次方程， Ｅ、 从而使 Ｅ、Ａ Ｆ的斜率之和为常数的问题获解．具体 的有 以 下结 论．
２ ｂｘ ｏ ２ ２ ｎ ＋ ２ａ ｙｏｍ ａ２ ＋ ２ａ ｎ ２
此 方 程两 端 同 除 以Ｘ 得 ，
沿用文 ［ 中证明文 【 结论 １ １ ］ １ ］ 的方法， 来解
决这个问题． 很快发觉运算十分繁杂， 有深陷泥 潭难以 自拔之感． 在经历多次 曲折， 数次失败之
后， 我不 得 不再 思考 ：
（２ｏ（）（ ｏ２ ａａｎ ２ｂｎ。 ２２） ＋２＋ ） ＋ｙ ２ ｘ
由 （） ４ 可得 ｂ ＋２ ０ ＝ Ａ 。 ａ Ａ ｏ ， ｂ ｍ ａ ＋２ ｙｎ
５ 一 。 （ｙ 一 ）在 系的标 Ａａ 我们想在 （）两端 同除 以Ａａ。一ｂ。： ０及 一ｏ ， ２ ， 旧 中坐 为 一 ｂ 等不等于 ０，故 要分 Ａａ ｂ，但不知 ２一 。 Ａ ≠０ ａ 一ｂ 的两种情形讨论： （一ｏ 一） 理 完 ｘ ， 珈． ２ ． 。２一 ｙ 定 证 双曲线、抛物线也有类似结论．
（ ，） （，） Ｉ求椭 圆ｃ的方程； Ⅱ Ｅ、Ｆ －１０， １０．（ ） （）
是椭 圆 上 的 两个 动 点， 果 直线 Ｅ 的斜 率 与 如
２ ≠ ０时， 线 ＥＦ恒过 一 个 定 点， 。 直 且定
点 （ ２ 一 ） 为 ｙ ． ｏ ，
证 明：以 为坐标原点建立新直角坐标系 ０¨ 且新直 角坐标系中 ０ Ｘ 轴、 ０ Ｙ轴与 Ｙ，
—
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：
一
：
１ 若 ＝ ０ 则 由 （） 得 ２。 Ｔ＋２ ｏ 。 ， ３可 ｂ ０Ｉ ａ ｙｍ ， ０ ，故 一一，＝ Ｚ ｏ 求 得直 线 ＥＦ 的斜 率 为 ｒ ＂ ｂｘ ｌ ｆ
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，
定理 ２ 过椭 圆 ａ ＋ ｏ。 ＝ １ａ＞ｂ ） （ ＞０上
旧直角 坐标 系 中 Ｏｘ 轴、Ｏｙ 方 向相 同， 轴 则椭 圆
ｒ ● ” 口，
Ａ 的斜 率 互 为相 反 数， 明直线 Ｆ 的 斜 率 为 证
定 值， 并求 出这 个 定 佤 ”进 行 了思考， 获得 了如
下 的定 理．
定理 １ 过 圆锥 曲线 上 一 定 点 （ 点 不是
ｎ ＝ ０ ｙ） ．
相反数， 可换一种说法： Ｅ、Ａ “ Ａ Ｆ的斜率之和为 ０， ” 将这一说法改为“ Ｅ、Ａ Ｆ的斜率之和为一 个常数 ， ” 还有“ 直线ＥＦ的斜率为定值” 吗？
整理得 ａ ＋２ ２ｏ ）＇＋（ ＋２ ｏ ｘ 。 ａ ｙｎｙ２ ６ ｂｘ ｍ） ＋ ２。 ｏ ｆ６Ｘ ｎ＋２ ｏ ｘＹ ＝ ０ ａ Ｙｍ） ．
一
０ Ｙ ｏ
ｎ
定点 Ａ ｘ ，ｏ （ Ａ不是椭 圆顶点） （ｏｙ）点 作两条直
，
ａ— ０ Ｙ
是 定值；
２ ２ ｏ 一 ２ ０ ： Ａ 。＋ ２ 。 ｙ ｎ ｂＸ ｎ ａＹ ｍ ａ ａ Ａ ０
线分别交椭圆于 Ｅ 、Ｆ两点， 使这两条直线的斜 率之和等于 （ 为常数）则 ，
１ 。入＝ ０时， 直线 Ｅ Ｆ的斜率为定值， 且定
＋ ＝１ 在新坐标系中的方程为
圆锥曲线的顶点） 作斜率互为相反数的两条直线， 分别交曲线于 Ｅ、Ｆ两点， 则直线ＥＦ的斜率为 定值， 且该定值等于点 处切线斜率的相反数．
（ ＋ｘ ） ，（ ＋Ｙ ） ｏ。 Ｙ ｏ
— 一 十 — — 一
１
一 一
即ａｙ。 ２ ＋２２ ０ ＋２ ０ ． （） ２ ＋ｂｘ。 ｂｘ ａＹＹ ＝０ １
２ 若 ≠０ 则 由（） 。 ， ３可得
一
．
・ ．
． 一
ｍ
一
（ ＋ｏ－ ２／ ， ｙｔ ）
２ １年第 ９ ００ 期
数 学教 学
即 ２。 ０ 一２ ｙ札＝ Ａ ２ ｂＸ ｍ ａＡ０ ａ 一ｂ．
９ —７
（） ５
将 此等式与 ＥＦ的方程 ｍ ＋ ｎ ＝ １ ｙ 比 较， 知直线 Ｅ Ｆ过 定点， 点在新系 中的坐标为 此
显然， 直线 Ｅ Ｆ不可能经过 Ｄ ， 故可设其在
笔者认真研读文 ［ ， １ 发现这道高考题的背景 ］
丰 富， 仍有 再 思考 之 空 间． 再 思 考 ｌ 定理 １ ＡＥ、 Ｆ的斜 率 互 为 中，
新系中的方程为 ｍ ＋ｎ １ 代入 （） ｙ＝ ， １得 ａｙ。 ２ ＋（ｂｘ ｚ ＋２ ｏ ｒｘ ＋ ２ ＋ｂｘ ２２ ｏ ａＹ Ｙ （ ） ｅ
＋（ ＋２ ｏ ｔ＝０ ６ 。 ｂＸＴ） ． ｉ （） ２
方程 （） ２ 是一个关于 的二次方程， 此方程
的根 就 是 Ｅ、 Ｆ在新 系 中 的斜率 ． 显然 ， ＡＥ、
再思考２ 文 ［提供的证明文 ［结论１ １ ］ １ ］ 、结
论２ 的方 法 是 不是 解 决 Ｅ、Ａ 的斜 率 之 和 为 常数 问题 的通法 呢 ？可 能 不是 ．
９４ －６
数 学教 学
２ １ 年第 ９ ００ 期
一
道 高考题思 考后 的思考
２６ ０ 江苏省如皋市教师进修学校 徐 道 ２０ ５
文 ［ 对２０ 年全 国高考辽宁理科卷的一道 １ ０９ ］
／ ０、
值为
；
ห้องสมุดไป่ตู้
题：“ 已知椭圆ｃ过点Ａ Ｉ ， ／ 昙ｌ ＼ ｌ ，两个焦点为
两条 直 线 分 别 交双 曲线 于 Ｅ、Ｆ两 点， 这 两条 使
① 若 Ａ 。一ｂ ０ 即 ＝ ａ 。： ， 时， ５ 得 由（）
２２ ０ 一２ ２． ｂｘ ｍ ０ ｏ ｎ＝ ０ 即 一 ＝ 一一 ， ， Ｙ 得 ｏ
定理 ３ 过双 曲线 一 １ ＝ １ ｎ＞ ０ｂ＞ ４ （ ，
０ 上一定点 Ａ（ｏｙ ）点 Ａ不是双曲线顶 点） ） ｘ ，ｏ （ 作
Ｆ在新系、旧系中的斜率不变， 由已知条件 故
及 一元 二 次方 程 根 与 系数关 系得
～ —
事实上， 借助坐标轴平移， 我们可构造出以 Ａ Ｆ的斜率为根 的一元二次方程， Ｅ、 从而使 Ｅ、Ａ Ｆ的斜率之和为常数的问题获解．具体 的有 以 下结 论．
２ ｂｘ ｏ ２ ２ ｎ ＋ ２ａ ｙｏｍ ａ２ ＋ ２ａ ｎ ２
此 方 程两 端 同 除 以Ｘ 得 ，
沿用文 ［ 中证明文 【 结论 １ １ ］ １ ］ 的方法， 来解
决这个问题． 很快发觉运算十分繁杂， 有深陷泥 潭难以 自拔之感． 在经历多次 曲折， 数次失败之
后， 我不 得 不再 思考 ：
（２ｏ（）（ ｏ２ ａａｎ ２ｂｎ。 ２２） ＋２＋ ） ＋ｙ ２ ｘ
由 （） ４ 可得 ｂ ＋２ ０ ＝ Ａ 。 ａ Ａ ｏ ， ｂ ｍ ａ ＋２ ｙｎ
５ 一 。 （ｙ 一 ）在 系的标 Ａａ 我们想在 （）两端 同除 以Ａａ。一ｂ。： ０及 一ｏ ， ２ ， 旧 中坐 为 一 ｂ 等不等于 ０，故 要分 Ａａ ｂ，但不知 ２一 。 Ａ ≠０ ａ 一ｂ 的两种情形讨论： （一ｏ 一） 理 完 ｘ ， 珈． ２ ． 。２一 ｙ 定 证 双曲线、抛物线也有类似结论．
（ ，） （，） Ｉ求椭 圆ｃ的方程； Ⅱ Ｅ、Ｆ －１０， １０．（ ） （）
是椭 圆 上 的 两个 动 点， 果 直线 Ｅ 的斜 率 与 如
２ ≠ ０时， 线 ＥＦ恒过 一 个 定 点， 。 直 且定
点 （ ２ 一 ） 为 ｙ ． ｏ ，
证 明：以 为坐标原点建立新直角坐标系 ０¨ 且新直 角坐标系中 ０ Ｘ 轴、 ０ Ｙ轴与 Ｙ，