讲义2012-有限元分析的后处理

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第7章 电磁场数值计算的后处理

各种数值计算模型，最终都归结为一个以节点或棱边物理量为未知数的离散化代数方程组。求解这一方程组，就得到所研究区域内各节点或棱边物理量的值。通常这些物理量是电位或磁位，或场矢量与电、磁位的组合。但是电位和磁位只是为简化计算而引入的辅助量，还不能直接供研究者和设计工程师使用。为了应用数值分析的结果进行电气设备的设计和优化，需要根据已经求出的节点或棱边物理量，进一步算出诸如磁感应强度、电流密度、电磁力与力矩、磁场能量、损耗等局部和总体电磁量。此外，由于上述计算结果所形成的大量数据难于检索分析，还需要将它们转化成图形形式。这些工作统称为数值分析的后处理。本章主要介绍节点有限元分析的后处理方法，包括局部与总体电磁量的计算和力与力矩计算，这些方法容易推广到其它数值分析方法的后处理过程中去。关于矢量场的图示，可参考文献[1]、[2] 和其它有关计算机图示学文献。

7.1 局部与总体电磁量的计算

下面以正弦稳态涡流场为例，由已知节点矢量磁位A

和标量电位ϕ ，给出各种电磁量的离散化表达式。对于静态磁场，则与电导率有关的项应消失。

在2.3.2节中已经指出，对于任一单元e ，矢量磁位e A

的插值函数可用该单元各节点处的磁位近似表示为

()

∑∑++=≈g

k=kz ky e k kx e k g

k=k e k e A N A N A N N 1

e k 1

k j i A A (7-1)

上式亦即

∑

=g

k=kx e

k e x

A N A 1

， ∑

=g

k=ky e

k e y

A N A 1

， ∑=g

k=kz

e k e z

A N A 1

(7-2)

类似地，单元中标量电位e ϕ

的插值函数为 ∑=g

k=e

k e k e

N 1ϕ

ϕ (7-3)

7.1.1磁感应强度

由于 A B ⨯∇=，因而单元磁感强度e B 的三个分量e x B 、e y

B 、e z B 分别为 z A y A B e y e z e x

∂∂-∂∂= ， x

A z A

B e z e x e y

∂∂-∂∂= ， y A x A B e x e y e z ∂∂-∂∂= (7-4)

164

将式 (7-1) 代入 (7-4) ，有

⎪⎪⎪⎪⎭

⎪

⎪⎪⎪⎬⎫

⎪

⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂-∂∂=⎪⎪

⎭

⎫

⎝⎛∂∂-∂∂=⎪

⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂-∂∂=∑∑∑g

k=kx e k ky e k e z

g k=kz e k kx e k e y g k=ky e k

kz e k e x A y N A x N B A x N A z

N B A z N A y

N B 111 (7-5) 7.1.2 电流密度

考虑到式 (1-11)和(1-20)，单元电流密度e J

与e A 和e ϕ 的关系为 ()

e s

e e e j J A J +∇+-=ϕωσ (7-6) 其中e s

J 为单元源电流密度。将式(7-1)、(7-2) 代入上式，可得单元电流密度的各分量为 ⎪⎪⎪⎪⎭

⎪⎪⎪⎪⎬⎫+⎪⎪⎭⎫ ⎝

⎛

∂∂+-=+⎪⎪⎭

⎫ ⎝⎛

∂∂+-=+⎪⎪⎭

⎫ ⎝⎛∂∂+-=∑∑∑===e sz g k k e k kz e

k

e z

e sy g k k e k ky e

k

e y e sx g

k k e k kx e

k

e x J z N A N j J J y N A N j J J x N A N j J 111ϕωσϕωσϕ

ωσ (7-7) 7.1.3 电感、能量与涡流损耗

根据经典电磁理论，当媒质为线性时，磁场能量密度的瞬时值为

()2

2

121H H H μμ=⋅=

m w (7-8) 其中H 为磁场强度的瞬时值。在正弦电磁场中，H 可表示为

()()()k j i H γωβωαω+++++=t H t H t H t zm ym xm cos cos cos )( (7-9)

磁场强度瞬时值与复数值的关系为

()()()()

t j zm

t j ym t j xm e H e H e H t ωωω Re Re Re k j i H ++= (

)

[]()

t j t j zm ym xm e e

H H H ωωH k j i Re Re =++= (7-10) 式中R e 表示取实部算符；ω为电角频率；H

为最大值复矢量，又称复振幅， =H k j i k j i γβαj zm j ym j xm zm ym xm e H e H e

H H H H ++=++= (7-11)

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式(7-10)是磁场强度复矢量的定义式，但不便于用来进行运算。()t H 对时间的依赖关系还可用更简单的缩写形式表示[3]

：

()()

t j t

j e e t ωω-+=

*2

1H H H (7-12) 式中 *H 为H

的复共轭矢量。式(7-12)方便地解决了场量的瞬时值与复数值的混合运算问题。将(7-12)代入(7-8)，有

()()()*

21

1

1R 2

4

4

j t

m e

w e ωμ

μ

μ=⋅=⋅+⋅H H H

H H

H (7-13) 上式的第二项展开后为随时间变化的二倍频率余弦函数，在一周期内的平均值为零；第一项不随时间变化，正好等于磁能密度在一周期内的平均值，记为(av)m w ，

()()

*

***(av)1

14

4

m xm

xm ym ym zm zm w H H H H H H μ

μ=⋅=++H

H

2

2224141H μμ=⎪⎭⎫ ⎝

⎛++=

zm

ym xm H H H (7-14) 式中，符号2H

表示复矢量H 各复数分量模平方的和，它等于瞬时值矢量()t H 的模平方平均值的两倍。根据式(7-14)，体积V 内的磁场能量的时间平均值(av)m w 为

(av)m w v H H H zm ym xm V

d 41222⎪⎭

⎫

⎝⎛++=⎰

μ ∑⎰

=⎪⎭

⎫ ⎝⎛++=E

i V zm ym xm ei i

v H H H 1

222d 41 μ ()222222

R I R I R I

1

14E e e e e e e ei xm xm ym ym zm zm i

i H H H H H H V

μ==+++++∆∑

(7-15)

式中H 的下标R 和I 分别表示复矢量相应分量的实部和虚部，上标e 表示单元值；i V ∆为单元i 的体积，E 表示体积V 内的单元总数，ei μ为单元i 中的有效磁导率（参见8.3节）。

平均磁场能量得到之后，容易求出相应的电感参数。由于

2(av)1

2

m W L I =

(7-16) 因而

(av)

2

2m W L I

=

(7-17)

其中I 表示源电流的正弦有效值。