2020年北京中考数学复习课件§7.4 代数压轴综合题

解析 (1)将x=0代入y=4x+4得y=4,
∴B(0,4).
∵点B向右平移5个单位长度得到点C,
∴C(5,4).
(2)将y=0代入y=4x+4得x=-1,
∴A(-1,0).
将点A(-1,0)代入抛物线解析式y=ax2+bx-3a得0=a-b-3a,即b=-2a,
∴抛物线的对称轴为直线x=- b =- 2a =1.
思路分析 (1)求出点B、C的坐标,用待定系数法求直线BC的表达式.(2)先借助抛物线的对称性确定x1+x2的 值,再画出函数图象,确定x3的范围,从而得解.
4.(2019北京西城一模,26)在平面直角坐标系xOy中,已知抛物线y=x2-mx+n.
令抛物线上的点C

1 2
,
yC

.
∵当x<1时,y随x的增大而增大,
∴yC>- 1a .
令抛物线上的点D(xD,yD)

xD
1,
yD
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1 a

,
∵当x>1时,y随x的增大而减小,
∴xD<2.结合函数图象,可知抛物线与线段PQ恰有一个公共点.综上所述,a的取值范围为a≤- 12 .
1.(2019北京,26,6分)在平面直角坐标系xOy中,抛物线y=ax2+bx- 1 与y轴交于点A,将点A向右平移2个单位长 a
度,得到点B,点B在抛物线上.
(1)求点B的坐标(用含a的式子表示);
(2)求抛物线的对称轴;
(3)已知点P 12 ,
1 a

,Q(2,2).若抛物线与线段PQ恰有一个公共点,结合函数图象,求a的取值范围.
解析 (1)∵抛物线y=ax2+bx- 1 与y轴交于点A, a
∴点A的坐标为

0,

1 a

.
∵将点A向右平移2个单位长度,得到点B,
∴点B的坐标为
2,

1 a

.
(2)∵点B 2,
1 a

在抛物线上,
图1
∴4a+2b- 1 =- 1 ,即b=-2a. aa
3.(2017北京,27,7分)在平面直角坐标系xOy中,抛物线y=x2-4x+3与x轴交于点A,B(点A在点B的左侧),与y轴交 于点C. (1)求直线BC的表达式; (2)垂直于y轴的直线l与抛物线交于点P(x1,y1),Q(x2,y2),与直线BC交于点N(x3,y3).若x1<x2<x3,结合函数的图象, 求x1+x2+x3的取值范围.
图3
∵当x>1时,y随着x的增大而减小,
∴xD>2.
结合函数图象,可知抛物线与线段PQ没有公共点.
(ii)当a=- 12 时,A(0,2),B(2,2),P 12 ,2 ,Q(2,2),如图3.
图4
结合函数图象,可知抛物线与线段PQ恰有一个公共点Q(2,2).
(iii)当a<- 12 时,0<- 1a <2,如图4.
∴a<- 4 . 3
若抛物线的顶点在线段BC上,则顶点为(1,4),如图3.
图2 图3
将点(1,4)代入抛物线的解析式得4=a-2a-3a, ∴a=-1.
综上所述,a≥13 或a<-43 或a=-1.
思路分析 (1)先求B点坐标,由B点向右平移5个单位长度确定C点坐标. (2)确定A点坐标,代入抛物线的解析式,利用公式确定对称轴. (3)结合图象和抛物线的对称性解答. 解题关键 解决本题第(3)问的关键是要先确定题目中抛物线所过的定点,进而通过临界点求出a的取值范 围.同时不要忽略抛物线顶点是公共点的情况.
∴
3k b b 3,

0,
解得
k b

1, 3,
∴直线BC的表达式为y=-x+3.
(2)∵y=x2-4x+3=(x-2)2-1,
∴抛物线的顶点坐标为(2,-1),对称轴为直线x=2.
由题意可知,点P(x1,y1),Q(x2,y2)(x1<x2)关于直线x=2对称, ∴x2-2=2-x1, ∴x1+x2=4. 由x1<x2<x3,结合函数的图象,可得-1<y3<0, 即-1<-x3+3<0, 解得3<x3<4. ∴7<x1+x2+x3<8.
∴抛物线的对称轴为x=1.
(3)点A

0,

1 a

,B

2,

1 a

,P

1 2
,

1 a

.
当a>0时,- 1 <0,如图1.
a
图2
令抛物线上的点C

1 2
,
yC

.
∵当x<1时,y随x的增大而减小,
∴yC<- 1a .
令抛物线上的点D(xD,2)(xD>1).
解析 (1)令y=0,即0=x2-4x+3, 解得x=1或x=3. ∵抛物线y=x2-4x+3与x轴交于点A,B(点A在点B的左侧), ∴点A,B的坐标分别为(1,0),(3,0). 令x=0,得y=3. ∵抛物线y=x2-4x+3与y轴交于点C, ∴点C的坐标为(0,3). 设直线BC的表达式为y=kx+b,k≠0,
图1
2a 2a
(3)抛物线始终过点A(-1,0),且对称轴为直线x=1,由抛物线的对称性可知抛物线也过点A关于直线x=1的对称
点(3,0).
①a>0时,如图1.
将x=5代入抛物线的解析式得y=12a,
1
∴12a≥4,∴a≥ 3.
②a<0,且抛物线顶点不在线段BC上时,如图2.
将x=0代入抛物线得y=-3a, ∵抛物线与线段BC恰有一个公共点, ∴-3a>4,
思路分析 本题第(3)问需要对a的大小进行分类讨论,同时要关注抛物线与y轴的交点坐标.
解题关键 解决本题的关键是分情况讨论后精准画图,要在探究的过程中发现点P与点A,B纵坐标相等的 关系,进而关注点Q与抛物线的关系.
2.(2018北京,26,6分)在平面直角坐标系xOy中,直线y=4x+4与x轴、y轴分别交于点A,B,抛物线y=ax2+bx-3a经 过点A,将点B向右平移5个单位长度,得到点C. (1)求点C的坐标; (2)求抛物线的对称轴; (3)若抛物线与线段BC恰有一个公共点,结合函数图象,求a的取值范围.
∵当x>1时,y随x的增大而增大,
∴xD>2. 结合函数图象,可知抛物线与线段PQ没有公共点.
当a<0时,
(i)当- 1 <a<0时,- 1 >2,如图2.
2
a
令抛物线上的点C

1 2
,
yC

.
∵当x<1时,y随x的增大而增大,
∴yC>- 1 . a
令抛物线上的点D(xD,2)(xD>1).