第五章 精确线性化方法

最后一个坐标η( x) 选为满足下列条件
∂η
∂x
g(x) =
∂η
∂ x1
cosx2
+
∂η
∂ x2
=0
注意到该偏微分方程的一个解是
η(x) = x1 − sinx2 = Φ3 (x)
当然其余解可以通过在 η( x)
上加常量来获得。该变换的 雅可比矩阵是
∂Φ
∂x
=
⎜⎛ 0 ⎜0 ⎜⎝ 1
0 1 − cosx2
经过下面的计算可知该系统有相对阶2。
Lg h(x) = 0,
L f h(x) = x2
Lg L f h(x) = 1, L2f h(x) = x2 + sinx3
为获得标准形的坐标我们选择
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非线性控制系统理论与应用 华南理工大学
ξ1 = Φ1(x) = h(x) = x3 ξ2 = Φ2 (x) = L f h(x) = x2
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非线性控制系统理论与应用 华南理工大学
本章重点
精确线性化的含义 精确线性化的主要思想 输入输出精确线性化 状态反馈精确线性化
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精确线性化方法含义
在线性化过程中没有忽略掉任何高阶非线 性项, 因此这种线性化不仅是精确的, 而 且是整体的, 即线性化 对变换有定义的整 个区域都适用。
状态反馈精确线性化的目的
通过反馈u = α (x)+ β (x)u及状态变换z = Φ(x)使得系统变化为能控的线性系统：
z& = Az + bv
也即寻求α (x), β (x),Φ(x)使得
⎜⎛ ∂Φ ( f (x)+ g(x)α (x))⎟⎞
= Az
⎝ ∂x
⎠ x=Φ−1 (z )
⎜⎛ ∂Φ g(x)β (x)⎟⎞
⎪ ⎪
y = ξ1
⎪⎭
(5.31)
选取反馈律
u
=
1
a(ξ
)
[−
b(ξ
)+
v]
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状态反馈精确线性化
( ) 状态变换 Φ : x → ξ = h,L, Lnf−1h T
[ ]
反馈变换
u
=
1
( ) Lg
Ln−1h f
x
− Lnf h(x)+ v
Lg Lif h(x) ≡ 0,∀x ∈U ,i = 0,L,γ − 2; ( ) Lg Lγf−1h x ≠ 0
则成系统在点x0具有严相对阶γ。
与线性系统的对应
x& = Ax + bu⎫
y = cx
⎬ ⎭
C(sI
−
)A −1b
=
cb s
+
cAb s2
+
cA2b s3
+L
cb = cAb = L = cAγ −2b = 0,且cAγ −1b ≠ 0时系统有相对阶γ
其中
( ) b(ξ ,η ) = Lγf h, a(ξ ,η ) = Lg Lγf−1h, q(ξ ,η ) = (qi (ξ ,η )) = Lfηi
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SISO非线性系统的标准形
⎡ h(x) ⎤
⎡ h(x) ⎤
⎢ ⎢
L
f
h(x
)
⎥ ⎥
g
,L,
ad
γ f
−1
g是线性无关的（γ
≤
n）。
定义如下非线性变换：Φ为局部微分同胚变换
⎡ h(x) ⎤
Φ
:
x
→
⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢
L Lγf
f
h(x
)
⎥ ⎥
M⎥
−1h(x)⎥⎥,
η1
⎥ ⎥
M⎥
⎡ ⎢
令ξ＝⎢⎢
⎢ ⎢⎣
h(x) ⎤
L
f
h(x
M
)
⎥
⎥⎥,η
Lγf ( −1h x)⎥⎦⎥
=
单输入仿射非线性系统的精确
线性化
1.
计算ad f
g,L, ad n−2 g, ad n−1g,并检验条件1)是否满足，如满足进行下一步；
f
f
[ ] 2. 计算 ad i g, ad j g (i < j,i, j = 0,1,L, n − 2), 并检验是否满足
f
f
( [ ] ) rank
g
,
ad
η& = q(ξ ,η )
⎪ ⎪
y = ξ1
⎪⎭
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例5.2 考虑下列控制系统
⎧ ⎪⎪x& ⎨ ⎪
=
⎛⎜ ⎜ ⎜ ⎝
x2
− x13 + sinx3 x2
⎞⎟ ⎟ ⎟ ⎠
+
⎛⎜ ⎜ ⎜⎝
cosx2 1
0
⎞⎟ ⎟u ⎟⎠
⎪⎩y = h(x) = x3
⎢ ⎢ ⎢
L2f
h(x) ⎥
M
⎥ ⎥
⎢⎣ ( Lnf−1h x)⎥⎦
( ) 及反馈变换u
=
1
( ) Lg Lnf−1h x
− Lnf h(x)+ v
即可将单输入仿射非线性系统化为线性系统的能控标准形。
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例5.3
考虑以下系统
x&
⎜⎛ =⎜
+
u
⎪⎪⎩η& = (η + sinξ2 )3 − cosξ2 (ξ2 + sinξ1)
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状态反馈精确线性化
当系统（5.1）的相对阶恰好为n时，其标准形为
ξ&1 = ξ2 ξ&2 = ξ3
M
⎫ ⎪ ⎪⎪ ⎬
ξ&n
=
b(ξ
)+
a(ξ
)u
∂g ∂x
f (x)− ∂f
∂x
g(x)
( ) L[ f ,g]λ = Lf Lgλ − Lg Lf λ，λ ∈ C ∞ Rn
结论5.1
⎧ ⎨ ⎩0
Lg Lkf ≤k≤
h(x) ≡ 0
μ,∀x ∈U
⎫ ⎬ ⎭
⇔
⎧ ⎨⎩0
L ad
≤k
k f
g
≤
h(x) ≡ 0
μ,∀x ∈U
⎫ ⎬ ⎭
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y& = Lf h(x)+ Lgh(x)u
Lg h(x )
≠
0时，u
=
1
Lg h(x )
(−
Lf
h(x)+
v)⇒
y&
=
v
Lgh(x) ≡ 0？
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SISO系统的输入输出线性化
相对阶
对于单输入单输出系统5.1，当x0 ∈U时，如果存在整数γ使得
2)
g(x), ad f
g
(x),L,
ad
n−3 f
g
(x
),
ad
n−2 f
g
(x)张成的分布（局部）具有常数秩n
−
1
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单输入仿射非线性系统精确状 态线性化问题有解的条件
1. （能控性条件）
{ } rank
g,
ad
f
g,L,
ad
n−2
f
⎡ ⎢ ⎢
η1
M
⎢⎣ηn−γ
⎤ ⎥ ⎥ ⎥⎦
⎢⎣ ηn−γ ⎥⎦
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SISO非线性系统的标准形
ξ&1 = ξ2 ξ&2 = ξ3
⎫ ⎪ ⎪
M
⎪⎪
ξ&γ
=
b(ξ
,η
)
+
a(ξ
,η
)u
⎬ ⎪
η& = q(ξ ,η )
⎪ ⎪
y = ξ1
⎪⎭
(5.29)
Lg
M
( Lγf−1h x0
)
L
( ) L L h x ad
γ f
−2
g
f
0
M
*
( ) L h ad
γ f
−1
g
*
x0
⎤ ⎥ ⎥
*⎥ ⎥
* ⎥⎦
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SISO非线性系统的标准形
结论5.3
假设单输入单输出非线性系统具有相对阶γ，则向量场
g, ad f
Lg Lif h(x) = cAib,i = 0,1,2,L
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例5.1 考虑下列二阶非线性系统
x&
=
⎜⎜⎛⎝
−
x2 x2 −
x13
⎟⎟⎞⎠
+
⎜⎛ ⎝
0 1
⎟⎞u ⎠
如果输出函数为 y = h(x) = x1
Lg h( x)
=
∂h ∂x
g(x)
第五章 精确线性化 方法
2012年4月12日星期四5时0 分6秒
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本章安排
SISO系统 输入/输出线性化，SISO非线性系统的标 准形，状态反馈精确线性化，系统零动态
MIMO系统 输入输出精确线性化，状态精确线性化，
MIMO系统的动态扩展 鲁棒输入/输出线性化问题
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SISO非线性系统的标准形
定义
Φ1(x) = h(x) ⎫
Φ2
(x
)
= M
L
f
h(
x
)
⎪⎪ ⎬ ⎪
Φγ (x) = Lγf−1h(x)⎪⎭
结论5.2（部分坐标变换）
导数dΦi (x)(i = 1,2,L,γ −1)在U中是线性无关的。
( ) ( ) ( )
f
g
,L,
ad
n−2
f
g
,
ad i f
g, ad j g f
(i <
j, i,
j
= 0,1,L, n − 2)
= n −1
如果满足，转下一步；
[ ] 3.
求偏微分方程 ∂h ∂x
g(x),
ad
f
g,L,
ad
n−2
f
g
= 0的解h(x);
⎡ h(x) ⎤
⎢ ⎢
L
f
h(x
)
⎥ ⎥
4.
构造非线性变换z
=
Φ(x) =
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精确线性化主要思想
通过适当的非线性状态和反馈变换,实现 状态或输入/输出的精确线性化，将复杂 的非线性系统综合问题转化为线性系统的 综合问题。
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微分几何回顾
切空间 向量场 李括号、李导数 分布和协分布 Frobinus定理：一个正则分布完全可积的
⎜⎝
x1 x1
0 − +
x3 x32
⎟⎞ ⎟ ⎟⎠
+
⎛⎜ex2 ⎜0 ⎜⎜⎝ex2
⎞⎟ ⎟⎟u ⎟⎠
输出为 y = h ( x ) = x 2
。则有
L f h(x) = x1 − x3; Lg h(x) = 0
1 ⎟⎞ 0⎟ 0 ⎟⎠
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该变换阵是一非奇异阵。因此该变换是一全局微分同胚。
其逆变换为
⎧ x1 = η + sin ξ 2
⎪ ⎨ x2
= ξ2
⎪ ⎩
x
3wk.baidu.com
=
ξ1
在新的坐标系中，系统的状态方程为
⎪⎪⎨⎧ξξ&&12
= ξ2 = ξ2
+
sinξ1
x& = f (x)+ g(x)u
能否找到y=h(x)使其具有相对阶n？
系统在点x0具有相对阶n的条件
[ ] ∂h
∂x
g
(
x
),
ad
f
g
(x
),L,
ad
n−2 f
g
(x)
=0
☆
保证上式有解的充要条件
1)
g
(x
),
ad
f
g
(x
),L
,
ad
n−2 f
g
(x
),
ad
n f
−1 g
(x
)在x0线性无关
选取输入 v = −α0ξ1 − α1ξ2 −L − αn−1ξn 使原非线性系统具有期望动态特性的非线性状态
反馈为
[ ] u
=
1
( ) Lg
Ln f
−1h
x
−
Lnf
h(x)－α0h(x)−L−αn−1 ( Lnf−1h x)
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状态反馈精确线性化
g,
ad
n −1 g
f
= n;
1)
2. （能精确线性化条件）
{ } ∑ 分布
D
=
span
g, ad
f
g,L, ad
n−2 g
f
=
⎧ ⎨
p
⎩
|
p
=
n−2 k =0
ck
ad
k f
g
⎫ ⎬
⎭
是对合分布。
2)
h(x)可解的充要条件 a) 线性无关 b) 对合性
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⎢M⎥
⎢
ξ＝⎢⎢
L
f
h(x)
M
⎥ ⎥ ⎥
Φ
:
x
→
⎢ ⎢
Lγf
−1h(x
)⎥⎥，令
⎢ ⎣⎢
Lγf
( −1h
x
)⎥⎥⎦
⎢ ⎢
η1
⎥ ⎥
⎢M⎥
⎢⎣ ηn−γ ⎥⎦
η
=
⎡ ⎢ ⎢
η1
M
⎤ ⎥ ⎥
⎢⎣ηn−γ ⎥⎦
ξ&1 = ξ2 ξ&2 = ξ3
⎫ ⎪ ⎪
⇒ ξ&γ
=
b(ξ
M
,η )
+
a(ξ
,η
⎪⎪
)u⎪⎬
=b
⎝ ∂x
⎠ x=Φ−1 (z )
结论5.4 状态反馈精确线性化定理
状态精确线性化问题有解，当且仅当存在函数h(x)使得系统
⎧x& = f (x)+ g(x)u
⎨ ⎩
y
=
h(x)
在点x0的相对阶为n。
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状态反馈精确线性化
对于未定义输出的系统
充要条件是它是对合的。
----某些类型分布或向量场对于的偏微分 方程解的存在性定理。
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SISO系统的输入输出线性化
单输入单输出仿射非线性控制系统
x&
=
f y
(x
=
)+ g(x h(x)
)u
⎬⎫，x ⎭
∈
Rn , f , g是Rn上充分光滑的向量场 h是充分光滑的非线性函数
当i
+
j
=γ
−
1时，L ad
i f
g
L
j f
h
x0
=
−1 γ −1− j Lg Lγf−1h x0
≠0
⎡ dh(x0 ) ⎤
[ ⎢
⎢ ⎢
dL f
h(x0
M
)
⎥ ⎥ ⎥
g (x0
)
⎣⎢⎢dLγf ( −1h x0 )⎥⎥⎦
ad f g(x0 )
L
⎡0
] ( ) ad
γ f
−1g
x0
=
⎢ ⎢
0
⎢ ⎢ ⎢⎣
=
0
Lf
h(x)
=
∂h ∂x
f
(x)
=
x2
, 则可得
Lg L f h(x) = 1
因此，对于该输出，系统在x0为任何值时有相对阶2
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SISO非线性系统的标准形
SISO非线性系统在x0相对阶γ≤n
李括号
ad f g
=[f ,g]=