各种各样的曲线相切

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各种各样的曲线相切
题1 (2014年高考安徽卷文科第15题)若直线l 与曲线C 满足下列两个条件: (i)直线l 在点()00,y x P 处与曲线C 相切;(ii)曲线C 在P 附近位于直线l 的两侧,则称直线l 在点P 处“切过”曲线C .
下列命题正确的是_________(写出所有正确命题的编号).
①直线0:=y l 在点()0,0P 处“切过”曲线C :3
x y = ②直线1:−=x l 在点()0,1−P 处“切过”曲线C :2
)1(+=x y ③直线x y l =:在点()0,0P 处“切过”曲线C :x y sin =
④直线x y l =:在点()0,0P 处“切过”曲线C :x y tan = ⑤直线1:−=x y l 在点()0,1P 处“切过”曲线C :x y ln =
答案 ①③④
解 求出切线方程后作图观察;对于⑤,还需用到常用不等式1ln −≤x x (当且仅当1=x 时取等号).
这是一道新颖别致、内涵丰富的好题:
由命题③,④,⑤还分别介绍了常用不等式
1ln ,20tan ),0(sin −≤
<<<><x x x x x x x x π(当且仅当1=x 时取等号). 学生最先是从“圆的切线”接触“切线”的,紧接着又学习了“抛物线的切线”,这就使得很多初中生对于“直线与曲线相切时,曲线在切线的一侧”毋容置疑、根深蒂固,到了高中也无法改变.
下面的问题,你思考过吗:
(1)直线与曲线相切时,曲线一定在切线的一侧吗?直线与二次曲线相切时,这条二次曲线一定在切线的一侧吗(请注意二次曲线包括双曲线)?
(2)求过已知二次曲线上一已知点(且该已知点为切点)的该曲线的切线方程都可用“0=∆”来求解吗?若直线与二次曲线有唯一公共点,则它们一定相切吗?
(3)直线能与双曲线的一支相切又与另一支相交吗?直线能与双曲线的两支均相切吗?
(4)直线有切线吗?
(5)函数图像的切线能是铅垂线吗?
(6)若直线与曲线有唯一公共点,则它们一定相切吗?直线能与曲线既相切又相交吗?
(7)过一点最多(最少)可作∈n n (N *)次曲线的几条切线?
(8)过二(三)次曲线上的一点可作该曲线的几条切线?
(9)直线与曲线相切时,能有无限个切点吗?
(10)何谓曲线与曲线相切?
读罢本文,就可找到它们的全部答案.
1 直线与曲线相切
全日制普通高级中学教科书《数学·第三册(选修II)》(2006年人民教育出版社)第118页给出了曲线的切线的定义:
如图1所示,设曲线C 是函数()y f x =的图像,在曲线C 上取一点00(,)P x y 及邻近的一点00(,)Q x x y y +∆+∆,过,P Q 两点作割线,并分别过,P Q 两点作x 轴与y 轴的平行线,MP MQ ,又设割线PQ 的倾斜角为β,那么
,MP x MQ y =∆=∆
tan y x
β∆=∆ 这就是说,y x
∆∆就是割线的斜率.
图1 图2
如图2所示,当点00(,)Q x x y y +∆+∆沿着曲线逐渐向点00(,)P x y 接近时,割线PQ 将绕着点P 逐渐转动.当点Q 沿着曲线无限接近于点P 即0x ∆→时,如果割线PQ 有一个极限位置PT ,那么直线PT 叫做曲线在点P 处的切线.
由此定义可知,切线是割线的极限位置.所以直线与曲线相切是局部概念,因而直线l 与曲线C 可以同时相切于点A 和相交于点B ,比如曲线3x y =与直线23+=x y 在点(1,1)−−处相切,在点(2,8)处相交(见图3).
图3 图4
题2 (2004年重庆卷文科第15题)已知曲线314+33
y x =,则过点(2,4)P 的切线方程是 .
当时给出的参考答案是440y x −+=,实际上,正确答案应当是440y x −+=和20x y −+=(见图4).应当注意“曲线在某一点处的切线”与“曲线过该点的切线”的区别.
下面再举出多姿多彩的直线与曲线相切的各种情形.
(1)直线与曲线相切(且切点唯一)不相交(如图5所示,曲线4y x =与x 轴相切不相交,切点为坐标原点):可以证明,直线与二次曲线相切时均是这种情形.
图5
(2)直线与曲线相切(且切点有无数个)不相交(如图6所示,正弦曲线与直线1y =在公共点2,1(2k k ππ
+∈
Z )处均相切.
图6
(3)直线与曲线既相切又相交且切点、交点均唯一(见图3).
(4)函数图像的切线可以是铅垂线.
图7 图8 图9
图7即曲线 ≤<−−≤≤−+−=)20()1(1)02()1(122x x x x y 在坐标原点(0,0)处的切线是0=x (即
y 轴);
图8即曲线 ≤<−−−≤≤−+−=)20()
1(1)02()1(122x x x x y 在坐标原点(0,0)处的切线是
0=x (即y 轴); 图9即曲线3x y =在坐标原点(0,0)处的切线是0=x (即y 轴),证明如下:因为用导数可以求得曲线3x y =在坐标原点(0,0)处的切线是0=y (即x 轴),所以曲线3
x y =关于直线x y =对称的曲线3x y =在坐标原点(0,0)处的切线是x 轴关于直线x y =对称的直线
y 轴.
(5)设直线l 与曲线C 相切于点00(,)P x y ,曲线C 在点P 两侧以P 为端点的各一段图像可在直线l 的同侧(比如图3,图4,图5).
(6)设直线l 与曲线C 相切于点00(,)P x y ,曲线C 在点P 两侧以P 为端点的各一段的图像可在直线l 的异侧(比如图7,图8,图9).
2 曲线与曲线相切
一般认为,“曲线与曲线相切”的定义是:若曲线1C 与曲线2C 有公共点00(,)P x y ,且它们在该点处的切线重合,就说曲线1C 与曲线2C 在点P 处相切(曲线与曲线相切包括了直线与曲线相切的情形).
(1)曲线与曲线相切(且切点唯
一)不相交(如图10,曲线211x y −−=与曲线242x y −−=相切不相交,切点为坐标原点).
图10
(2)曲线与曲线相切(且切点有无数个)
不相交(如图11所示,曲线1sin −=x y 与曲线
x y sin 1−=在公共点∈
+k k (0,22ππZ
)处均相切). 图11
(3)曲线与曲线即相切又相交且切点、交点均唯一(如图12,曲线1(11)1(1)
x y x −−≤≤= > 与曲线242x y −−=相切又相交).
图12
(4)设曲线1C 与曲线2C 上相切于点00(,)P x y ,曲线1C 在点P 两侧以P 为端点的各一段
图像可在曲线2C 的同侧(比如图10). (5)设曲线1C 与曲线2C 上相切于点00(,)P x y ,曲线1C 在点P 两侧以P 为端点的各一段图像可在曲线2C 的异侧(比如图13).
可证曲线x y )e (e −=与曲线x y e
e log −=有唯一的公共点(该点是
e 1,e 1)(可见文献[1]),且它们在该点相切(因为它们在该点处有相同的切线e 2=+y x ). 图13
题3 (2007年高考湖南卷文科第21题)已知函数bx ax x x f ++=232
131)(在区间]3,1(),1,1[−内各有一个极值点.
(1)求b a 42
−的最大值;
(2)当842=−b a 时,设函数)(x f y =在点))1(,1(f A 处的切线为l ,若l 在点A 处穿过函数函数)(x f y =的图象(即动点在点A 附近沿曲线)(x f y =运动,经过点A 时,从l 的一侧进入另一侧),求函数)(x f 的表达式.
解 (1)由题设可得函数b ax x x f ++=′2)(在区间]3,1(),1,1[−内各有一个实根(分别设为21,x x ),可得b a x x 4212−=−,且4012≤−<x x ,所以16402≤−<b a ,当且仅当)3,1(),(21−=x x 即)3,2(),(−−=b a 时取等号,所以b a 42−的最大值是16.
(2)可求得切线3
221)1(:−−++=a x b a y l . 因为切线l 在点))1(,1(f A 处穿过函数)(x f y =的图象,所以
3
221)1(2131]3221)1[()()(23++++−++=−−++−=a x b a bx ax x a x b a x f x g 在1=x 两边附近的函数值异号,即1=x 不是函数)(x g 的极值点.
可得)1)(1()(a x x x g ++−=′.
若)1(1a +−≠,则1=x 是函数)(x g 的极值点.所以2),1(1−=+−=a a .再由842=−b a ,得1−=b ,所以x x x x f −−=233
1)(. 注 三次曲线在拐点(即对称中心,也即二阶导数的零点)处的切线穿过该曲线,其余的点处的切线均不会穿过该曲线.。

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