各种各样的曲线相切

各种各样的曲线相切
题1 (2014年高考安徽卷文科第15题)若直线l 与曲线C 满足下列两个条件： (i)直线l 在点()00,y x P 处与曲线C 相切；(ii)曲线C 在P 附近位于直线l 的两侧，则称直线l 在点P 处“切过”曲线C ．
下列命题正确的是_________(写出所有正确命题的编号)．
①直线0:=y l 在点()0,0P 处“切过”曲线C ：3
x y = ②直线1:−=x l 在点()0,1−P 处“切过”曲线C ：2
)1(+=x y ③直线x y l =:在点()0,0P 处“切过”曲线C ：x y sin =
④直线x y l =:在点()0,0P 处“切过”曲线C ：x y tan = ⑤直线1:−=x y l 在点()0,1P 处“切过”曲线C ：x y ln =
答案 ①③④
解 求出切线方程后作图观察；对于⑤，还需用到常用不等式1ln −≤x x (当且仅当1=x 时取等号)．
这是一道新颖别致、内涵丰富的好题：
由命题③，④，⑤还分别介绍了常用不等式
1ln ,20tan ),0(sin −≤
<<<><x x x x x x x x π(当且仅当1=x 时取等号)． 学生最先是从“圆的切线”接触“切线”的，紧接着又学习了“抛物线的切线”，这就使得很多初中生对于“直线与曲线相切时，曲线在切线的一侧”毋容置疑、根深蒂固，到了高中也无法改变．
下面的问题，你思考过吗：
(1)直线与曲线相切时，曲线一定在切线的一侧吗？直线与二次曲线相切时，这条二次曲线一定在切线的一侧吗(请注意二次曲线包括双曲线)？
(2)求过已知二次曲线上一已知点(且该已知点为切点)的该曲线的切线方程都可用“0=∆”来求解吗？若直线与二次曲线有唯一公共点，则它们一定相切吗？
(3)直线能与双曲线的一支相切又与另一支相交吗？直线能与双曲线的两支均相切吗？
(4)直线有切线吗？
(5)函数图像的切线能是铅垂线吗？
(6)若直线与曲线有唯一公共点，则它们一定相切吗？直线能与曲线既相切又相交吗？
(7)过一点最多(最少)可作∈n n (N *)次曲线的几条切线？
(8)过二(三)次曲线上的一点可作该曲线的几条切线？
(9)直线与曲线相切时，能有无限个切点吗？
(10)何谓曲线与曲线相切？
读罢本文，就可找到它们的全部答案．
1 直线与曲线相切
全日制普通高级中学教科书《数学·第三册(选修II)》(2006年人民教育出版社)第118页给出了曲线的切线的定义：
如图1所示，设曲线C 是函数()y f x =的图像，在曲线C 上取一点00(,)P x y 及邻近的一点00(,)Q x x y y +∆+∆，过,P Q 两点作割线，并分别过,P Q 两点作x 轴与y 轴的平行线,MP MQ ，又设割线PQ 的倾斜角为β，那么
,MP x MQ y =∆=∆
tan y x
β∆=∆ 这就是说，y x
∆∆就是割线的斜率．
图1 图2
如图2所示，当点00(,)Q x x y y +∆+∆沿着曲线逐渐向点00(,)P x y 接近时，割线PQ 将绕着点P 逐渐转动．当点Q 沿着曲线无限接近于点P 即0x ∆→时，如果割线PQ 有一个极限位置PT ，那么直线PT 叫做曲线在点P 处的切线．
由此定义可知，切线是割线的极限位置．所以直线与曲线相切是局部概念，因而直线l 与曲线C 可以同时相切于点A 和相交于点B ，比如曲线3x y =与直线23+=x y 在点(1,1)−−处相切，在点(2，8)处相交(见图3)．
图3 图4
题2 (2004年重庆卷文科第15题)已知曲线314+33
y x =，则过点(2,4)P 的切线方程是 ．
当时给出的参考答案是440y x −+=，实际上，正确答案应当是440y x −+=和20x y −+=(见图4)．应当注意“曲线在某一点处的切线”与“曲线过该点的切线”的区别．
下面再举出多姿多彩的直线与曲线相切的各种情形．
(1)直线与曲线相切(且切点唯一)不相交(如图5所示，曲线4y x =与x 轴相切不相交，切点为坐标原点)：可以证明，直线与二次曲线相切时均是这种情形．
图5
(2)直线与曲线相切(且切点有无数个)不相交(如图6所示，正弦曲线与直线1y =在公共点2,1(2k k ππ
+∈
Z )处均相切．
图6
(3)直线与曲线既相切又相交且切点、交点均唯一(见图3)．
(4)函数图像的切线可以是铅垂线．
图7 图8 图9
图7即曲线 ≤<−−≤≤−+−=)20()1(1)02()1(122x x x x y 在坐标原点(0，0)处的切线是0=x (即
y 轴)；
图8即曲线 ≤<−−−≤≤−+−=)20()
1(1)02()1(122x x x x y 在坐标原点(0，0)处的切线是
0=x (即y 轴)； 图9即曲线3x y =在坐标原点(0，0)处的切线是0=x (即y 轴)，证明如下：因为用导数可以求得曲线3x y =在坐标原点(0，0)处的切线是0=y (即x 轴)，所以曲线3
x y =关于直线x y =对称的曲线3x y =在坐标原点(0，0)处的切线是x 轴关于直线x y =对称的直线
y 轴．
(5)设直线l 与曲线C 相切于点00(,)P x y ，曲线C 在点P 两侧以P 为端点的各一段图像可在直线l 的同侧(比如图3，图4，图5)．
(6)设直线l 与曲线C 相切于点00(,)P x y ，曲线C 在点P 两侧以P 为端点的各一段的图像可在直线l 的异侧(比如图7，图8，图9)．
2 曲线与曲线相切
一般认为，“曲线与曲线相切”的定义是：若曲线1C 与曲线2C 有公共点00(,)P x y ，且它们在该点处的切线重合，就说曲线1C 与曲线2C 在点P 处相切(曲线与曲线相切包括了直线与曲线相切的情形)．
(1)曲线与曲线相切(且切点唯
一)不相交(如图10，曲线211x y −−=与曲线242x y −−=相切不相交，切点为坐标原点)．
图10
(2)曲线与曲线相切(且切点有无数个)
不相交(如图11所示，曲线1sin −=x y 与曲线
x y sin 1−=在公共点∈
+k k (0,22ππZ
)处均相切)． 图11
(3)曲线与曲线即相切又相交且切点、交点均唯一(如图12，曲线1(11)1(1)
x y x −−≤≤= > 与曲线242x y −−=相切又相交)．
图12
(4)设曲线1C 与曲线2C 上相切于点00(,)P x y ，曲线1C 在点P 两侧以P 为端点的各一段
图像可在曲线2C 的同侧(比如图10)． (5)设曲线1C 与曲线2C 上相切于点00(,)P x y ，曲线1C 在点P 两侧以P 为端点的各一段图像可在曲线2C 的异侧(比如图13)．
可证曲线x y )e (e −=与曲线x y e
e log −=有唯一的公共点(该点是
e 1,e 1)(可见文献[1])，且它们在该点相切(因为它们在该点处有相同的切线e 2=+y x )． 图13
题3 (2007年高考湖南卷文科第21题)已知函数bx ax x x f ++=232
131)(在区间]3,1(),1,1[−内各有一个极值点.
(1)求b a 42
−的最大值；
(2)当842=−b a 时，设函数)(x f y =在点))1(,1(f A 处的切线为l ，若l 在点A 处穿过函数函数)(x f y =的图象(即动点在点A 附近沿曲线)(x f y =运动，经过点A 时，从l 的一侧进入另一侧)，求函数)(x f 的表达式.
解 (1)由题设可得函数b ax x x f ++=′2)(在区间]3,1(),1,1[−内各有一个实根(分别设为21,x x )，可得b a x x 4212−=−，且4012≤−<x x ，所以16402≤−<b a ，当且仅当)3,1(),(21−=x x 即)3,2(),(−−=b a 时取等号，所以b a 42−的最大值是16.
(2)可求得切线3
221)1(:−−++=a x b a y l . 因为切线l 在点))1(,1(f A 处穿过函数)(x f y =的图象，所以
3
221)1(2131]3221)1[()()(23++++−++=−−++−=a x b a bx ax x a x b a x f x g 在1=x 两边附近的函数值异号，即1=x 不是函数)(x g 的极值点.
可得)1)(1()(a x x x g ++−=′.
若)1(1a +−≠，则1=x 是函数)(x g 的极值点.所以2),1(1−=+−=a a .再由842=−b a ，得1−=b ，所以x x x x f −−=233
1)(. 注 三次曲线在拐点(即对称中心，也即二阶导数的零点)处的切线穿过该曲线，其余的点处的切线均不会穿过该曲线.。