高中数学必修2立体几何专题-线面垂直专题典型例题精选精讲

线面垂直的证明中的找线技巧
◆
通过计算,运用勾股定理寻求线线垂直
１ 如图1,在正方体1111ABCD A B C D -
中,M 为1CC 的中点,ＡＣ交BD 于点O ,求证:1A O ⊥平面ＭＢD .
证明:连结MO ，1A M
，∵D Ｂ⊥
1A A ,D Ｂ⊥ＡC ，1A A
AC A =，
∴DB ⊥平面
11A ACC ，而1
AO ⊂平面11A ACC ∴ＤB ⊥1A O . 设正方体棱长为a ，则22132A O a =,2
234MO a =.
在Rt △11A C M 中,2
21
94
A M a =．∵22211A O MO A M +=，∴1
AO OM ⊥． ∵OM ∩D Ｂ=O ，∴ 1A O ⊥平面MBD . 评注：在证明垂直关系时，有时可以利用棱长、角度大小等数据，通过计算来证明.
◆
利用面面垂直寻求线面垂直
２ 如图2,P 是△A ＢC 所在平面外的一点,且PA ⊥平面ABC ,平面PAC ⊥平面PBC .求证：B Ｃ⊥平面ＰＡC .
证明：在平面PAC 内作A Ｄ⊥PC 交ＰC 于Ｄ.
因为平面PAC ⊥平面PB Ｃ，且两平面交于P Ｃ,
AD ⊂平面PAC ,且A Ｄ⊥PC ， 由面面垂直的性质，得ＡD ⊥平面PB Ｃ． 又∵
BC ⊂平面P ＢC ，∴AD ⊥BC .
∵PA ⊥平面AB Ｃ，BC ⊂平面ABC ，∴PA ⊥ＢC .
∵AD ∩PA =A ，∴BC ⊥平面PAC ．
(另外还可证BC 分别与相交直线AD ，A Ｃ垂直,从而得到BC ⊥平面PAC ）.
评注：已知条件是线面垂直和面面垂直,要证明两条直线垂直,应将两条直线中的一
条纳入一个平面中,使另一条直线与该平面垂直，即从线面垂直得到线线垂直．在空间图形中,高一级的垂直关系中蕴含着低一级的垂直关系，通过本题可以看到，面面垂直⇒线面垂直⇒线线垂直．
一般来说,线线垂直或面面垂直都可转化为线面垂直来分析解决,其关系为:线线垂直−−−→←−−−判定性质
线面垂直−−−→←−−−
判定
性质
面面垂直.这三者之间的关系非常密切,可以互相转化，从前面推出后面是判定定理，而从后面推出前面是性质定理．同学们应当
学会灵活应用这些定理证明问题.下面举例说明．
3 如图1所示，ABCD 为正方形，SA ⊥平面AB ＣD ,过A 且垂直于SC 的平面分别交SB SC SD ，，于E F G ，，．
求证:AE SB ⊥,AG SD ⊥．
证明：∵SA ⊥平面ＡBCD , ∴SA BC ⊥.∵
AB BC ⊥，∴BC ⊥平面SAB ．又∵AE ⊂平面SAB ，∴
BC AE ⊥．∵SC ⊥平面AEFG ,∴SC AE ⊥．∴AE ⊥平面ＳBC ．∴AE SB ⊥.同理可证AG SD ⊥．
评注：本题欲证线线垂直，可转化为证线面垂直，在线线垂直与线面垂直的转化中,平面起到了关键作用，同学们应多注意考虑线和线所在平面的特征，从而顺利实现证明所需要的转化.
４ 如图2，在三棱锥A －BCD 中，BC ＝AC ,AD =BD ,作BE ⊥CD ,E 为垂足，作ＡH ⊥B Ｅ于H ．求证：AH ⊥平面B ＣＤ.
证明：取A Ｂ的中点Ｆ，连结CF ，ＤF . ∵AC
BC =,∴CF AB ⊥．
∵AD BD =,∴DF AB ⊥.
又CF DF F =，∴AB ⊥平面ＣＤF ． ∵CD ⊂平面CD Ｆ，∴CD AB ⊥． 又CD BE ⊥，BE AB B =, ∴CD ⊥平面A ＢE ，CD AH ⊥．
∵AH CD ⊥，AH BE ⊥,CD BE E =,
∴ AH ⊥平面ＢCD ．
评注:本题在运用判定定理证明线面垂直时,将问题转化为证明线线垂直;而证明线线垂直时，又转化为证明线面垂直．如此反复,直到证得结论.
5 如图３，AB 是圆O 的直径,C 是圆周上一点，PA ⊥平面ABC .若AE ⊥PC ，E 为垂足,F 是P Ｂ上任意一点， 求证：平面AEF ⊥平面PBC ．
证明：∵AB 是圆O 的直径,∴AC BC ⊥.
∵PA ⊥平面AB Ｃ,BC
⊂平面A ＢC ，
∴PA BC ⊥．∴BC ⊥平面ＡPC . ∵BC ⊂平面P ＢC ，
∴平面AP Ｃ⊥平面ＰＢC ．
∵AE ⊥ＰC ，平面APC ∩平面P ＢC =P Ｃ， ∴AE ⊥平面PBC .
∵AE ⊂平面AE Ｆ，∴平面AE Ｆ⊥平面PB Ｃ． 评注:证明两个平面垂直时，一般可先从现有的直线中寻找平面的垂线，即证线面垂直,而证线面垂直则需从已知条件出
发寻找线线垂直的关系.
6. 空间四边形ABCD 中,若ＡB ⊥CD ，BC ⊥AD,求证:ＡC ⊥ＢＤ
A
D B O C
证明：过A 作ＡO ⊥平面ＢＣD 于O 。

AB CD CD BO ⊥∴⊥， 同理BC ⊥DO ∴Ｏ为△ABC 的垂心
7． 证明:在正方体ABC Ｄ-A 1Ｂ1C 1Ｄ1中，A 1Ｃ⊥平面BC 1Ｄ
A
C
证明:连结AC
BD AC ⊥
A Ｃ为A 1C 在平面AC 上的射影
∴⊥⊥⎫
⎬⎭⇒⊥BD A C
A C BC A C BC D
11111同理可证平面
8． 如图，PA ⊥平面ＡB ＣＤ,ＡB ＣＤ是矩形,M 、N 分别是AB 、P Ｃ的中点，求证:MN AB ⊥
C
．
证：取P Ｄ中点E,则
EN DC //
12
C
⇒EN AM //
∴AE MN //
又平面平面平面 CD AD PA AC CD PAD AE PAD ⊥⊥⎫
⎬⎭⇒⊥⊂⎫
⎬
⎭
⇒⊥⎫
⎬⎪
⎭⎪⇒⊥CD AE CD AB AE MN MN AB ////
9如图在ΔABC 中， AD ⊥B Ｃ， ED=2AE ， 过E 作FG ∥BC ， 且将ΔAFG 沿FG 折起，使∠Ａ'ED ＝60°，求证：A ＇Ｅ⊥平面Ａ'ＢC
分析:弄清折叠前后,图形中各元素之间的数量关系和位置关系。

解：
∵FG ∥BC ，ＡＤ⊥B Ｃ ∴Ａ'Ｅ⊥ＦG
∴A 'E ⊥BC
设A 'Ｅ=a,则ED=2ａ 由余弦定理得: A ＇D ２＝A 'E 2+ED 2-2•Ａ＇E •E Ｄｃｏｓ6０°=3a ２
∴ＥD 2=A 'Ｄ２+A 'Ｅ2
∴A 'D ⊥A 'E
∴A 'Ｅ⊥平面A ＇ＢC
10如图, 在空间四边形S ＡＢC 中， SA ⊥平面A ＢC , ∠AB Ｃ = 90︒, AN ⊥SB 于N , AM ⊥ＳＣ于M 。

求证： ①AN ⊥BC; ②SC ⊥平面ANM 分析：
①要证AN ⊥BC , 转证, BC ⊥平面SAB 。

②要证SC ⊥平面ANM ， 转证, SC 垂直于平面ＡNM 内的两条相交直线, 即证SC ⊥A Ｍ, S Ｃ⊥AN 。

要证SC ⊥AN , 转证AN ⊥平面SBC , 就可以了。

证明:
①∵SA ⊥平面AB Ｃ
ﻩ ∴SA ⊥BC
ﻩﻩ又∵BC ⊥ＡB , 且AB ＳA = A ﻩﻩ∴BC ⊥平面SA Ｂ ﻩ∵AN ⊂平面S ＡB ﻩﻩ∴A Ｎ⊥BC
ﻩﻩ②∵AN ⊥ＢC , A Ｎ⊥SB , 且SB BC = B ﻩ∴A Ｎ⊥平面SBC ﻩ ∵ＳCC 平面SBC ∴AN ⊥SC ﻩ 又∵AM ⊥SC , 且AM AN ＝ A ∴S Ｃ⊥平面A ＮＭ
11已知如图，Ｐ∉平面ABC,ＰＡ=ＰB=PC ，∠APB=∠APC=６０°，∠BPC=９0 °求证:平面ABC ⊥平面ＰBC
分析:要证明面面垂直,只要在其呈平面内找一条线，然后证明直线与另一平面垂直即可。

显然BC 中点Ｄ,证明AD 垂直平ＰBC 即可
证明：取BC 中点D 连结AD 、ＰD ∵PA=PB;∠ＡＰB=60° ∴ΔPAB 为正三角形ﻩ
同理ΔＰAC 为正三角形 设ＰA=ａ 在RT ΔBP Ｃ中，ＰB=ＰC=a
B Ｃ=
2a
∴PD=
2
2ａ 在ΔA ＢC 中 A Ｄ=
2
2BD AB -
=
2
2a ∵A Ｄ
２
+PD 2＝2
2
22
22⎪⎪⎭
⎫
⎝
⎛+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛a a ＝ａ2=AP 2
∴ΔAPD 为直角三角形即A Ｄ⊥D Ｐ又∵A Ｄ⊥BC
∴AD ⊥平面PBC
∴平面ABC ⊥平面ＰBC 12. 如图,直角BAC 在α外，
α//AB ,C AC =⋂α,求证：BAC ∠在α内射影B A C ''∠为直角。

A B
C
D
F E
G A'
证：如图所示,
C A A AB A A AB B A A A B A AB AB AB '⊥⇒⎪⎪⎪
⎪⎬'⊥⇒⎪⎪
⎭
⎪
⎪
⎬'
'⊥''⇒⎪⎭⎬⊂⋂面////αββα⇒13 A.平面ABD ⊥平面A ＤC B.平面A ＢＤ⊥平面ＡBC C.平面AD Ｃ⊥平面BCD D.平面ＡBC ⊥平面ＢCD
【解析】由AD ⊥BC,ＢD ⊥AD ⇒AD ⊥平面BCD,面ＡD ⊂平面AD Ｃ∴平面ＡDC ⊥平面ＢCD.【答案】C 2.直三棱柱A ＢC —A １B 1C 1中，∠AC Ｂ=９0°,ＡC=AA 1=ａ，则点Ａ到平面A 1BC 的距离是( )
Ａ．a B ．2a ﻩ C ．2
2a ﻩＤ．3a
【解析】取A １C 的中点O,连结AO,∵ＡＣ=AA 1，∴AO ⊥A １C,又该三棱柱是直三棱柱．∴平面A 1Ｃ⊥平面ABC ．又
2
3.三个平面两两垂直,它们的三条交线交于一点Ｏ，P 到三个面的距离分别是3，4，5，则ＯP 的长为( ）
A.53 ﻩﻩB ．52 ﻩ Ｃ．35 ﻩﻩD ．25
【解析】构造一个长方体,ＯP 为对角线.【答案】Ｂ 4.在两个互相垂直的平面的交线上，有两点Ａ、B,ＡC 和BD 分别是这两个平面内垂直于ＡB 的线段,AC=6,AB=8，BD=24,则C 、Ｄ间距离为_＿＿__．
【解析】如图,ＣD=2
2
AD CA +=2
2
2
BD AB CA ++=2
2
2
2486++=676=２6
5．设两个平面α、β，直线ｌ，下列三个条件：①ｌ⊥α，②l ∥β,③ α⊥β．若以其中两个作为前提,另一个作为结论,则可构成三个命题,这三个命题中正确的命题个数为( )
A.3 ﻩﻩ B ．2 ﻩC ．１ ﻩ ﻩＤ．0
【解析】①②⇒③，其余都错【答案】C 【典型例题精讲】
［例1] 如图9—39,过S 引三条长度相等但不共面的线段SA 、S Ｂ、SC,且∠ＡSB=∠ASC=6０°,∠B ＳC=9０°，求证：平面ＡBC ⊥平面ＢSC ．
图9—３9
【证明】∵S Ｂ＝SA=ＳC ，∠AS Ｂ=∠ASC ＝60°∴A Ｂ＝SA=A Ｃ取ＢＣ的中点O ，连AO 、SO ，则ＡO ⊥BC,S Ｏ⊥ＢC,
∴∠AOS 为二面角的平面角,设SA=SB ＝SC ＝ａ，又∠BS Ｃ=90°,∴BC=
2ａ，ＳO ＝
2
2a ，
A Ｏ2=AC 2－OC 2=a 2－21ａ2=2
1
a 2，∴S Ａ２
＝A Ｏ2＋OS 2，∴∠AOS=９0°，从而平面AB Ｃ⊥平面BSC.
【评述】要证两平面垂直，证其二面角的平面角为直角.这也是证两平面垂直的常用方法． ［例２］如图９—4０,在三棱锥S —AB Ｃ中，SA ⊥平面ABC,平面SAB ⊥平面S ＢC ．
图9—40
(1)求证:ＡB ⊥BC ；(2）若设二面角Ｓ—BC —A 为4５°,S Ａ=BC ，求二面角A —SC —Ｂ的大小.
（1）【证明】作AＨ⊥SB于H，∵平面SAＢ⊥平面SBＣ．平面SAB∩平面SBC=ＳＢ,∴AＨ⊥平面SBC,
又SA⊥平面ABC,∴SA⊥BC，而SＡ在平面SＢＣ上的射影为SＢ，∴BＣ⊥SＢ，又SA∩SB=S,
∴BC⊥平面SAＢ．∴BC⊥AB．
（2）【解】∵SA⊥平面ABC,∴平面SAB⊥平面ABC,又平面SAB⊥平面SBＣ,∴∠ＳBＡ为二面角S—BC—A的平面角,
∴∠SＢA＝45°.设SＡ=AB=BC=ａ，
作AＥ⊥ＳＣ于Ｅ,连EH，则EＨ⊥SC，∴∠ＡEH为二面角A—SＣ—B的平面角,而ＡH＝2
2
ａ,AＣ=
2a，
SC=
3a,AＥ=3
6
a
∴ｓiｎ∠AEＨ=
2
3
，二面角A—ＳC—Ｂ为60°.
【注】三垂线法是作二面角的平面角的常用方法.
［例３］如图9—41，PＡ⊥平面ABCＤ,四边形ABCD是矩形,PA＝AD=a，M、Ｎ分别是AＢ、PＣ的中点．
(1)求平面ＰＣD与平面ABCD所成的二面角的大小;(2)求证：平面MND⊥平面ＰCD
(1)【解】PA⊥平面ABCD,ＣＤ⊥AＤ，
∴PD⊥CD,故∠ＰDA为平面ABＣD与平面PCD所成二面角的平面角，在Rt△PAＤ中,PA=AD，
∴∠PDA=４5°
（2)【证明】取PD中点E，连结ＥN，ＥＡ，则EN
2
1
CD ＡM,∴四边形EＮMA是平行四边形，∴EA∥MN．∵AE⊥PD，AE⊥CＤ,∴AＥ⊥平面PＣＤ,从而MＮ⊥平面PCD，∵MN 平面MND,∴平面ＭND⊥平面ＰCＤ. 【注】证明面面垂直通常是先证明线面垂直,本题中要证MN⊥平面PCＤ较困难，转化为证明AE⊥平面PCＤ就较简
单了.另外,在本题中，当AＢ的长度变化时，可求异面直线PC与AD所成角的范围．
[例4］如图9—42,正方体ABCＤ—Ａ1Ｂ１C1D1中，Ｅ、F、Ｍ、N分别是A１B1、BC、Ｃ1D1、B1Ｃ１的中点．
图9—42
（1）求证：平面MNＦ⊥平面ENF．(2)求二面角M—EF—N的平面角的正切值．
（1)【证明】∵M 、N 、E 是中点，∴M C NC N B EB 1111===∴︒=∠=∠45MNC ENB 11
∴︒=∠90MNE 即M Ｎ⊥ＥN,又NF ⊥平面A 1C 1，11C A MN 平面⊂∴MN ⊥ＮF ，从而MN ⊥平面ENF.∵ＭN ⊂
平面ＭＮＦ，
∴平面MNF ⊥平面E ＮＦ．
（2)【解】过N 作ＮＨ⊥EF 于H ，连结M Ｈ.∵MN ⊥平面ENF,N Ｈ为MH 在平面EN Ｆ内的射影,
∴由三垂线定理得ＭH ⊥EF ，∴∠MH Ｎ是二面角M —ＥF —N 的平面角.在Rt △ＭＮH 中,求得MN=
2
2
a,ＮＨ=
33a ，
∴tan ∠MHN=26=
NH
MN ，即二面角M —E Ｆ—N 的平面角的正切值为26
．
［例5]在长方体AB ＣD —A １B 1C 1D 1中，底面ABC Ｄ是边长为
2的正方形，侧棱长为3，E 、F 分别是AB 1、CB 1
的中点,求证：平面D 1EF ⊥平面ＡB １C ．
【证明】如图9—43，∵Ｅ、F 分别是ＡＢ1、C Ｂ１的中点,
图9—4３∴EF ∥ＡＣ．∵ＡＢ1=CB 1，O 为AC 的中点．∴B 1Ｏ⊥ＡＣ.故B 1Ｏ⊥ＥＦ．在R ｔ△B 1BO 中，∵BB 1＝3，
BO=1.
∴∠ＢＢ１O ＝3０°,从而∠ＯB １D 1=6０°，又B 1D 1=2，Ｂ1O １=2
1OB 1=1（O 1为BO 与EF 的交点)
∴△Ｄ１B 1O 1是直角三角形，即Ｂ1O ⊥D 1O １，∴B 1O ⊥平面D 1EF ．又Ｂ1Ｏ⊂平面AB 1C ，∴平面D 1EF ⊥平面AB 1C ．
1．棱长都是2的直平行六面体A ＢCD —A 1B 1C 1Ｄ1中,∠BAD ＝60°，则对角线Ａ1C 与侧面DCC 1D 1所成角的正弦值为＿____.
【解】过A 1作A 1Ｇ⊥C 1D １于Ｇ，由于该平行六面体是直平行六面体,∴Ａ1G ⊥平面D 1C ，连结CG ，∠A 1CG 即为A 1
Ｃ与侧面ＤＣC 1D 1所成的角.
∵Ａ1G= A 1 D １ ·sin ∠Ａ1 Ｄ1 Ｇ=2s ｉn ６0°=2·
23
=3而AC ＝
︒⋅⋅-+120cos 222BC AB BC AB =
3
2)21
(2222222=-⨯⨯⨯-+∴Ａ
1C=
4124221=+=+AC A A ,
∴si ｎ∠A 1C Ｇ=
4311=C A G A ．【答案】43
２.E 、F 分别是正方形ＡB ＣＤ的边ＡＢ和ＣD 的中点，ＥＦ、BD 相交于O,以EF 为棱将正方形折成直二面角,则∠BO Ｄ=____＿．
【解析】设正方形的边长为2a ．
则ＤO ２=ａ2+a 2=2ａ２OB ２=a 2+a 2=2a 2DB 2=DF 2+FB ２=a 2+４a ２+a ２
=６a 2∴ｃ
ｏs ∠DO Ｂ=21
222622222-
=⋅⋅-+a
a a a a ，∴∠DO Ｂ=12０°
3．如图9—4４,已知斜三棱柱ABC —A 1Ｂ１Ｃ１
的各棱长均为2,侧棱与底面成3π
的角，侧面ABB
１
A 1垂直于底面，
图9—4４
(1）证明:Ｂ1C ⊥C 1A ．（2)求四棱锥B —ACC 1A 1的体积.
（1)【证明】过B 1作B 1O ⊥AB 于O ，∵面ABB 1A 1⊥底面ＡＢC,面AB ABC A ABB 11=面 ∴Ｂ１O ⊥面ABC ，∴
∠B １
BA 是侧棱与底面所成角,∴∠B 1ＢＡ=3π
,又各棱长均为2,∴Ｏ为AB 的中点,连CO,则ＣＯ⊥ＡＢ,而OB 1∩CO=O,
∴AB ⊥平面B １OC ，又Ｂ1C ⊂平面ＯB 1Ｃ,∴Ｂ1C ⊥ＡB,连ＢＣ1,∵ＢC Ｃ1B 1为边长为2的菱形,∴Ｂ1C ⊥B Ｃ1，而ＡB ∩BC １＝B,
∴Ｂ１C ⊥面A ＢC １∵A 1C ⊂面ＡＢC 1∴B １C ⊥A Ｃ1
（2）【解】在Rt △BB １O 中，BB 1=２,BO=1,B １O=
3,V
柱
=Sh=
43·4·3=3,∴111C B A B V -=31Ｖ
柱
=1，
C
C AA B V 11-=Ｖ柱-111C B A B V
-＝3-1＝２
4.如图9—4５,四棱锥P —ABCD 的底面是边长为a 的正方形,P Ａ⊥底面A ＢＣD,E 为A Ｂ的中点，且ＰA ＝AB ．
图９—４５
（１)求证:平面ＰCE ⊥平面ＰＣD;(2）求点A 到平面PCE 的距离.
(1）【证明】PA ⊥平面A ＢCD,AD 是PD 在底面上的射影, 又∵四边形ABCD 为矩形,∴CD ⊥ＡＤ，∴CD ⊥PD,∵A Ｄ∩PD=D ∴CD ⊥面PAD,∴∠PD Ａ为二面角P —C Ｄ—Ｂ的平面角,∵PA=P Ｂ＝AD ，PA ⊥AD ∴∠PDA=45°，取Ｒt △ＰAD 斜边PD 的中点Ｆ,则AF ⊥P Ｄ,∵ＡF ⊂面P ＡD ∴ＣＤ
⊥AF,又PD ∩CD=D ∴AF ⊥平面PCD,取P Ｃ的中点G,连G Ｆ、ＡG 、E Ｇ，则G Ｆ
2
1C Ｄ又AE
2
1CD,
∴GF AE ∴四边形AG ＥＦ为平行四边形∴ＡF ∥EG ，∴EG ⊥平面PDC 又EG ⊂平面ＰEC ，∴平面PEC ⊥平面PC Ｄ．
(2）【解】由（1)知ＡF ∥平面PE Ｃ,平面ＰCD ⊥平面PE Ｃ，过F 作FH ⊥ＰＣ于Ｈ，则ＦＨ⊥平面PEC ∴FH 为F 到平面ＰEC 的距离,即为A 到平面PEC 的距离．在△PF Ｈ与 △PCD 中，∠P 为公共角，
而∠ＦHP=∠CD Ｐ=90°，∴△P ＦH ∽△PCD.∴
PC PF
CD FH =,设AD=2，∴ＰF=2,ＰC=
324822=+=+CD PD ，∴FH ＝3623
22=
⋅∴Ａ到平面PE Ｃ的距离为
3
6
．
５．已知直四棱柱ABC Ｄ—Ａ1B 1C １D 1的底面是菱形，对角线AC=2，BD=23，Ｅ、F 分别为棱C Ｃ1、ＢB 1上的点,
且满足EC=BC=2ＦB ．
图９—4６
(1)求证：平面AEF ⊥平面Ａ1AC Ｃ1;(２)求异面直线E Ｆ、A １C １所成角的余弦值.
（１)【证明】∵菱形对角线ＡC=2，BD=２
3∴BC=２,EC=2,F Ｂ=１,取AE 中点Ｍ，连结MF,设BD 与ＡC 交于点
O,M Ｏ
2
1EC
FB ⇒
(２)在AA １上取点N ，使AN=2,连结NE,则ＮE A ＣA 1Ｃ1
故∠ＮEF 为异面直线Ａ1C 1与EF 所成的角,连结NF,在直角梯形ＮA ＢF 中易求得ＮF ＝5，同理求得EF=5.
在△E ＮF 中,cos ∠NEF ＝55522543=⋅⋅-+,即ＥF 与Ａ1Ｃ1所成角的余弦值为55．
【解题指导】在证明两平面垂直时，一般方法是先从现有的直线中寻找平面的垂线；若没有这样的直线,则可通过作辅助线来解决，而作辅助线则应有理论根据并且要有利于证明，不能随意添加．在有平面垂直时,一般要用性质定理，在一个平面内作交线的垂线,使之转化为线面垂直．解决这类问题的关键是熟练掌握“线线垂直”“线面垂直”“面面垂直”间的转化条件和转化应用．
【拓展练习】
一、备选题
1．如图,AB 是圆O 的直径，C 是圆周上一点，PA ⊥平面AB Ｃ．
（１）求证:平面PAC ⊥平面PBC ；
(2)若Ｄ也是圆周上一点，且与Ｃ分居直径AB 的两侧,试写出图中所有互相垂直的各对平面.
（1）【证明】∵C 是A Ｂ为直径的圆O 的圆周上一点，AB 是圆O 的直径
∴BC ⊥AC ；
又PA ⊥平面ABC ，B Ｃ⊂平面A ＢＣ,
∴BC ⊥PA ，从而BC ⊥平面P ＡC ．
∵B Ｃ ⊂平面ＰBC,
∴平面PAC ⊥平面PBC.
(2)【解】平面ＰAC ⊥平面A ＢＣＤ;平面PAC ⊥平面PB Ｃ;平面ＰAD ⊥平面PBD ；平面PAB ⊥平面ABCD;平面PAD ⊥平面ＡＢC Ｄ．
2．ＡＢＣ—Ａ′B ′C ′是正三棱柱，底面边长为a,D,E 分别是ＢB ′，C Ｃ′上的一点，ＢＤ＝21
ａ，EC=a.
（1)求证：平面ＡDE ⊥平面ＡＣＣ′Ａ′;
（2）求截面△ＡD Ｅ的面积．
(1）【证明】分别取A ′C ′、AC 的中点M 、N ，连结M Ｎ,
则MN ∥A ′A ∥B ′B ，
∴Ｂ′、M 、Ｎ、B 共面，∵Ｍ为Ａ′Ｃ′中点，B ′C ′=B ′Ａ′，∴Ｂ′M ⊥Ａ′C ′,又B ′M ⊥AA ′且ＡＡ′∩A ′C ′＝Ａ′
∴B ′M ⊥平面A ′ＡC Ｃ′．
设ＭN 交AE 于P ，
∵ＣE ＝AC ，∴PN ＝N Ａ=2a
．
又DB=21
a ，∴PN ＝BD ．
∵PN ∥BD ， ∴PNBD 是矩形,于是PD ∥B Ｎ，B Ｎ∥B ′M ，
∴PD ∥Ｂ′M ．
∵B ′M ⊥平面ACC ′A ′，
∴PD ⊥平面A ＣC ′A ′,而PD ⊂平面ADE,
∴平面ADE ⊥平面ACC ′Ａ′.
(２）【解】∵ＰD ⊥平面ＡCC ′Ａ′,
∴PD ⊥AE ，而ＰＤ=B ′M=23
ａ, AE=2a ．
∴Ｓ△AD Ｅ=21
×AE ×ＰD =21×2
46232a a a =⨯.。