换元法在不等式证明中的应用(姜本超)

换元法证明不等式例说

姜本超

换元法是指对结构相对比较复杂的不等式，通过恰当引入新的变量，来代换原命题中的部分式子，通过代换达到减元的目的，以达到简化结构、便于研究的形式.

换元法在不等式的证明中应用广泛，是证明不等式的常用方法之一.常采用的方法有：三角换元法、均值换元法、几何换元法、增量换元法及整体换元法.下面我们举例分析。

1、 三角换元法：

把代数形式转化为三角形式，利用三角函数的性质解决. 例1. 若122≤+y x ，求证：2

|2|22≤

-+y xy x 证：设)10(,

cos ,

sin ≤≤α=α=r r y r x ，

则|sin sin cos 2cos ||2|2222222α-αα+α=-+r r r y xy x

2

242cos 2|2sin 2cos |2

2

2

≤≤

⎪⎭⎫ ⎝

⎛π-α≤

α+α=r

r r

三角换元常的一些常见形式如下： 若0≤x ≤1，则可令x = sin θ (2

0π≤

θ≤)或x = sin 2θ (2

2

π≤

θ≤π-

).

若122=+y x ，则可令x = cos θ , y = sin θ (π≤θ≤20). 若122=-y x ，则可令x = sec θ, y = t a n θ (π≤θ≤20). 若x ≥1，则可令x = sec θ (2

0π<

θ≤).

若x ∈R ，则可令x = t a n θ (22π<

θ<π-

).

2、 均值换元法：

使用均值换元法减少变元，也可以简化问题的结构，使证明更加简捷直观有效。

例2. 已知且，求证：2

2

25(2)(2)2

a b +++≥

证明：因为且

所以设

则：

即2225(2)(2)2

a b +++≥

原不等式得证。

3. 几何换元法：

例：设a 、b 、c 是三角形的三边长，求证()()().abc b c a c a b a b c ≥+-+-+- 证明： ,,,a x y b y z c z x =+=+=+其中,,x y z 均大于0，则欲证的不等式等价于

()()()2228.x y y z z x z x y xyz +++≥⋅⋅=

而()()()x y y z z x +++

8.xyz ≥=证毕.

在△ABC 中，,,AB c BC a CA b ===，内切圆交AB 、BC 、CA 分别于D 、E 、F ，

如图，则可设,,a x y b y z c z x =+=+=+，其中,,x y z 均大于0，几何换元法能达到利用等式反映出三角形任意两边之和大于第三边的不等关系的功效.

4. 增量换元法：

若一变量在某一常量附近变化时，可设这一变量为该常量加上另一个变量。 例4. 已知，求证：

证明：设

显然

则

故

5．整体换元法

对于不等式中较为复杂的式子，有时可用一个字母来表示，可使不等式的形式得以简化，便于观察，寻找思路 例5：设,,,.a b c d R +∈且 22222

2

2

2

11111a

b

c

d

a

b

c

d

+

+

+

=++++

求证：19

abcd ≤ 证明：令222212342

2

2

2

,,,1111a

b

c

d

m m m m a

b

c

d

=

=

=

=

++++

则：22

2

2

31241

2

3

4

,,,1111m m m m a b c d

m m m m =

=

=

=

----

且：12341m m m m +++=

12342134312441231111m m m m m m m m m m m m m m m m -=++≥-=++≥-=++≥-=++≥

将上面四个式子相乘得：

123

4

123(1)(1)(1)(1)81m m m m m m m m

--

--≥ 即： 3

1

2412341(

)()()()111181

m m m m m m m m ≤----

2

2

2

2

181

19

a b c d abcd ≤

≤

利用代换法解决不等式问题，可以起到事半功倍的效果，大大的提高了解题的速度，降

低了试题的难度，但如何选取合理的代换方式，还有待与研究和深思，寻求合理的代换方式

将是进一步研究的方向。